الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 36 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 6,5 m/s² حتى تتوقف. كم يستغرق الكبح؟ أوجد t.

v₀ = 36 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

t = s

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 5 m/s من حافة سطح يرتفع 5 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 5 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 14 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 25° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 14 kgθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 2 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 3,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 2 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 38 m/s ويجب أن تهبط على بعد 75 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 38 m/sR = 75 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 25° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 5 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 15 m/sθ = 25°h = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

سيارة كتلتها 1200 kg تمرّ فوق قمة نتوء في الطريق بسرعة 5 m/s. قمة النتوء قوس دائري نصف قطره 25 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها الطريق على السيارة عند القمة.

m = 1200 kgv = 5 m/sr = 25 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 0,7 kg مربوطة بخيط طوله 0,8 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 5,5 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 0,7 kgr = 0,8 mv = 5,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم من السكون على منحدر يميل بزاوية 25° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,35. أوجد سرعته v بعد أن ينزلق 14 m على المنحدر.

θ = 25°μ = 0,35d = 14 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 1 kg من السكون على ارتفاع 3 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 4,5 m (μ = 0,3) ثم يصطدم بنابض (k = 4000 N/m) على سطح أملس. أوجد سرعة v الجسم عندما يصل إلى النابض.

m = 1 kgh = 3 mL = 4,5 mμ = 0,3k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 5 kg يتحرك بسرعة 6 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 4,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 5 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 20 g أفقيًا في كتلة مقدارها 2,5 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 0,8 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 10° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 20 gM = 2,5 kgL = 0,8 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

حدّافة عزم قصورها الذاتي 12 kg·m² تدور بسرعة 1700 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 90 N·m. كم من الوقت t تستغرق حتى تتوقّف؟

I = 12 kg·m²n = 1700 rpmT_b = 90 N·m

t = s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قرص مصمت منتظم (كتلته 2 kg، ونصف قطره 0,25 m) يدور بحرية بسرعة 800 rpm حول عمود رأسي عديم الاحتكاك. تُسقَط عليه من السكون حلقة رقيقة كتلتها 8 kg ولها نصف القطر نفسه، متمركزة على العمود، وسرعان ما يدوران معًا. أوجد سرعتهما المشتركة n₂ بوحدة rpm.

M_disc = 2 kgM_ring = 8 kgR = 0,25 mn₁ = 800 rpm

n₂ = rpm

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

عمودان متوازيان المسافة بينهما 270 mm. يجب وصلهما بزوج من التروس المستقيمة بموديول 3 mm وتخفيض سرعة 5 : 1. كم سنًّا N₁ يجب أن يكون للترس الصغير؟

a = 270 mmm = 3 mmi = 5

N₁ =

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس كوكبية للترس الشمسي 30 سنًّا ولكل ترس كوكبي 20 سنًّا. الحامل الكوكبي مثبَّت والترس الشمسي يُدار بسرعة 1800 rpm. أوجد سرعة الترس الحلقي n_r (مقدارها).

N_s = 30N_p = 20n_s = 1800 rpm

n_r = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كم يجب أن يكون طول بندول بسيط ليكون زمنه الدوري 2,8 s؟ استخدم g = 9,81 m/s². أوجد L.

T = 2,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.النوابض والبندولاتصعبة

تُربط كتلة مقدارها 2,3 kg بالطرف السفلي لنابض رأسي غير ممطوط k = 250 N/m وتُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر استطالة x_max للنابض بوحدة cm.

m = 2,3 kgk = 250 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 12 kg يحملها نابض جساءته 50 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 770 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 12 kgk = 50 kN/mc = 770 N·s/m

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 100 kg معلّقة بالنابض k₃ = 80 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 10 kN/m و k₂ = 80 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 100 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: t = 1,538 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

زمن الكبح

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/6,5 = 1,538 s

الإجابة

t = 1,538 s

2.علم الحركة

الإجابة: t = 1,641 s

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−5 = 5·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 5·t − 5 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (5 + √(5² + 2·9,81·5))/9,81 = 1,641 s

الإجابة

t = 1,641 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 1,479 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 25° − 0,3·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,2719) = 1,479 m/s²

الإجابة

a = 1,479 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 5,351 m/s²

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 4,905)/5,5 = 5,351 m/s²

الإجابة

a = 5,351 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 15,32 °

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·75/38² = 0,5095

الزاوية

2θ = 30,63° → θ = 15,32°

الإجابة

θ = 15,32°

الحل الآخر 90° − θ = 74,68°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 25,08 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 25° = 13,59 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 25° = 6,339 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 5 + 6,339·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6,339 + √(40,19 + 98,1))/9,81 = 1,845 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 13,59·1,845 = 25,08 m

الإجابة

x = 25,08 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: N = 10572 N

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى عند القمة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأسفل) موجب.

m·g − N = m·v²/r

N = 1200·9,81 − 1200·5²/25 = 11772 − 1200 = 10572 N

الإجابة

N = 10572 N

تبدو السيارة أخفّ: يدفعها الطريق إلى الأعلى بأقل من وزنها.

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 33,34 N

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,7·9,81 + 0,7·5,5²/0,8 = 6,867 + 26,47 = 33,34 N

الإجابة

T = 33,34 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 5,381 m/s

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

موازنة الطاقة على المنحدر

ينخفض الجسم مسافة رأسية d·sin θ بينما يسلب الاحتكاك μmg·cos θ·d. تُختصر الكتلة.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·14·(0,4226 − 0,35·0,9063)) = 5,381 m/s

الإجابة

v = 5,381 m/s

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 5,69 m/s

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 9,81·(3 − 0,3·4,5) = 16,19 J

السرعة عند النابض

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,65) = 5,69 m/s

الإجابة

v = 5,69 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 6,316 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (5 − 4,5)/(5 + 4,5)·6 = 0,3158 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4,5)·6 = 6,316 m/s

الإجابة

v′₂ = 6,316 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 61,53 m/s

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 0,8·(1 − cos 10°) = 0,01215 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,01215) = 0,4883 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 2,52·0,4883/0,02 = 61,53 m/s

الإجابة

v = 61,53 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: t = 23,74 s

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·1700/60 = 178 rad/s

التباطؤ والزمن

α = T_b/I = 90/12 = 7,5 rad/s²

t = ω/α = 178/7,5 = 23,74 s

الإجابة

t = 23,74 s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: n₂ = 88,89 rpm

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

عزوم القصور الذاتي

I₁ = ½·2·0,25² = 0,0625 kg·m²

I₂ = 8·0,25² = 0,5 kg·m²

حفظ كمية الحركة الزاوية

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 800·0,0625/0,5625 = 88,89 rpm

الإجابة

n₂ = 88,89 rpm

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N₁ = 30

هندسة التروس: الموديول m يحدّد حجم السن. الترس ذو N سنًّا قطر خطوته d = m·N، والترسان المتعشّقان لهما الموديول نفسه، والمسافة بين مركزيهما a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. سرعة خط الخطوة v = π·d·n/60، وقوة السن المماسية تُستنتج من العزم: F_t = 2T/d.

العدد الكلي للأسنان

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·270/3 = 180

قسّم وفق النسبة

N₁ = 180/(1 + 5) = 30

الإجابة

N₁ = 30

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_r = 771,4 rpm

مجموعات التروس الكوكبية: ترتبط سرعات الشمس والحلقة والحامل بمعادلة ويليس (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: من منظور الحامل، المجموعة مجموعة تروس عادية والكواكب تروس وسيطة. تثبيت أحد العناصر يحوّل المجموعة إلى مخفّض بنسبة واحدة.

أسنان الترس الحلقي

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·20 = 70

معادلة ويليس مع تثبيت الحامل

مع n_c = 0 يدير الترس الشمسي الحلقة عبر الكواكب، التي تعمل كتروس وسيطة.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1800·30/70 = −771,4 rpm

|n_r| = 771,4 rpm

الإجابة

n_r = 771,4 rpm

تدور الحلقة عكس اتجاه الشمس.

17.النوابض والبندولات

الإجابة: L = 1,948 m

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

احسب الطول

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,8/2π)² = 1,948 m

الإجابة

L = 1,948 m

18.النوابض والبندولات

الإجابة: x_max = 18,05 cm

الاتزان والسعة

x₀ = m·g/k = 2,3·9,81/250 = 0,09025 m = A

أدنى نقطة

x_max = 2A = 0,1805 m = 18,05 cm

الإجابة

x_max = 18,05 cm

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,497

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·12) = 1549 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 770/1549 = 0,497

الإجابة

ζ = 0,497

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 3,275 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 10 + 80 = 90 kN/m

k_eq = 90·80/(90 + 80) = 42,35 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(42353/100) = 20,58 rad/s

f_n = 20,58/(2π) = 3,275 Hz

الإجابة

f_n = 3,275 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics