الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة مسرعة بسرعة ثابتة 28 m/s تمرّ بسيارة شرطة متوقّفة. في تلك اللحظة تنطلق سيارة الشرطة وتتسارع بانتظام بمقدار 6 m/s². على أيّ بعد من نقطة انطلاقها تلحق سيارة الشرطة بها؟ أوجد d.

v_car = 28 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.علم الحركةصعبة

يُسقَط حجر من السكون في بئر. يُسمع صوت ارتطامه بالماء بعد 1,7 s من إفلاته. سرعة الصوت 343 m/s؛ أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد عمق البئر d.

t_total = 1,7 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق صندوق على أرضية مستوية بسرعة ابتدائية 3,5 m/s ويتوقّف بعد 3,1 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معامل الاحتكاك الحركي μ.

v₀ = 3,5 m/sd = 3,1 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.قوانين نيوتنصعبة

يُدفع جسم فيبدأ الانزلاق إلى أعلى منحدر يميل 20° بسرعة 11 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². ما المسافة d التي ينزلقها على المنحدر قبل أن يتوقّف؟

v₀ = 11 m/sθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُركل كرة من أرض مستوية بسرعة 14 m/s وبزاوية 60° فوق الأفق نحو جدار على بعد 10 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y تمرّ الكرة بالجدار؟

v₀ = 14 m/sθ = 60°x = 10 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 45° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 15 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 12 m/sθ = 45°h = 15 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

سيارة كتلتها 1500 kg تمرّ فوق قمة نتوء في الطريق بسرعة 9 m/s. قمة النتوء قوس دائري نصف قطره 35 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها الطريق على السيارة عند القمة.

m = 1500 kgv = 9 m/sr = 35 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 0,4 kg مربوطة بخيط طوله 0,8 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 6 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 0,4 kgr = 0,8 mv = 6 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 1 kg مسافة 17 m على منحدر يميل بزاوية 30° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,35. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 1 kgθ = 30°μ = 0,35d = 17 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 4 kg من السكون على ارتفاع 4 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 2 m (μ = 0,1) ثم يصطدم بنابض (k = 5000 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 4 kgh = 4 mL = 2 mμ = 0,1k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

قذيفة كتلتها 9 kg تتحرّك أفقيًا بسرعة 11 m/s تنفجر إلى شظيتين تتحرّكان على الخط نفسه. تواصل الشظية ذات الكتلة 3 kg إلى الأمام بسرعة 49 m/s. أوجد سرعة v′₂ الشظية ذات الكتلة 6 kg (موجبة في الاتجاه الأصلي).

M = 9 kgu = 11 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 49 m/sm₂ = 6 kg

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,15 kg تصطدم بجدار بسرعة 14 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 13 m/s. يدوم التلامس 40 ms. أوجد متوسط القوة F_avg التي يؤثر بها الجدار على الكرة.

m = 0,15 kgv_in = 14 m/sv_out = 13 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

يرفع محرّك سرعة حدّافة عزم قصورها الذاتي 19 kg·m² من السكون إلى 400 rpm في 32 s. بإهمال الفواقد، أوجد متوسط القدرة P_avg التي يعطيها، بوحدة kW.

I = 19 kg·m²n = 400 rpmt = 32 s

P_avg = kW

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل أسطوانة مصمتة كتلته 0,5 kg يتدحرج دون انزلاق بسرعة 8 m/s. أوجد طاقته الحركية الكلية E_k.

m = 0,5 kgv = 8 m/sI = ½·m·r²

E_k = J

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 15 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 50 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 80 سنًّا. أهمل الفواقد. أوجد عزم الخرج T₂ على عمود الترس.

P = 15 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 50N₂ = 80η = 100%

T₂ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (48 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 1440 rpm الترسَ B (60 سنًّا). الترس C (20 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (50 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 1440 rpmA = 48B = 60C = 20D = 50

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 2 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 2 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 0,8 kg على نابض k = 40 N/m تُسحب 19 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى سرعة لها v_max.

m = 0,8 kgk = 40 N/mA = 19 cm

v_max = m/s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 25 mm بعد 4 دورات قمةٌ مقدارها 1,2 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 25 mmx₄ = 1,2 mmn = 4

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بالنابض k₃ = 15 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 50 kN/m و k₂ = 30 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: d = 261,3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

تساوي المسافتين

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·28/6 = 9,333 s

المسافة

d = v·t = 28·9,333 = 261,3 m

الإجابة

d = 261,3 m

في تلك اللحظة تتحرّك سيارة الشرطة بسرعة 2v = 56 m/s.

2.علم الحركة

الإجابة: d = 13,53 m

جزآن من الزمن

½·9,81·t₁² = 343·(1,7 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 583,1 = 0

زمن السقوط

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·583,1))/(2·4,905) = 1,661 s

العمق

d = ½·9,81·1,661² = 13,53 m

الإجابة

d = 13,53 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: μ = 0,2014

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

التباطؤ

a = v₀²/(2d) = 3,5²/(2·3,1) = 1,976 m/s²

معامل الاحتكاك

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,976/9,81 = 0,2014

الإجابة

μ = 0,2014

4.قوانين نيوتن

الإجابة: d = 14,15 m

التباطؤ

القوتان تتجهان إلى أسفل المنحدر؛ وتُختصر الكتلة.

a = 9,81·(sin 20° + 0,1·cos 20°) = 4,277 m/s²

المسافة

d = v₀²/(2a) = 11²/(2·4,277) = 14,15 m

الإجابة

d = 14,15 m

5.حركة المقذوفات

الإجابة: y = 7,31 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

الزمن حتى الجدار

v_x = 14·cos 60° = 7 m/s

t = x/v_x = 10/7 = 1,429 s

الارتفاع في تلك اللحظة

y = 12,12·1,429 − ½·9,81·1,429² = 7,31 m

الإجابة

y = 7,31 m

الكرة في طريقها إلى الأسفل أصلًا عند الجدار.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 23,89 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 45° = 8,485 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 45° = 8,485 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 15 + 8,485·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,485 + √(72 + 294,3))/9,81 = 2,816 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 8,485·2,816 = 23,89 m

الإجابة

x = 23,89 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: N = 11244 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

القوى عند القمة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأسفل) موجب.

m·g − N = m·v²/r

N = 1500·9,81 − 1500·9²/35 = 14715 − 3471 = 11244 N

الإجابة

N = 11244 N

تبدو السيارة أخفّ: يدفعها الطريق إلى الأعلى بأقل من وزنها.

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 21,92 N

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,4·9,81 + 0,4·6²/0,8 = 3,924 + 18 = 21,92 N

الإجابة

T = 21,92 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 50,55 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 9,81·0,866 = 8,496 N

F = μN = 0,35·8,496 = 2,973 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 2,973·17 = 50,55 J

الإجابة

W_f = 50,55 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 24,42 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 39,24·(4 − 0,1·2) = 149,1 J

أقصى انضغاط

½kx² = 149,1 → x = √(2·149,1/5000) = 0,2442 m = 24,42 cm

الإجابة

x = 24,42 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = −8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

كمية الحركة قبل التصادم

p = M·u = 9·11 = 99 kg·m/s

كمية الحركة بعد التصادم

99 = 3·49 + 6·v′₂

v′₂ = (99 − 147)/6 = −8 m/s

الإجابة

v′₂ = −8 m/s

إشارة السالب تعني أن الشظية الثانية تطير إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: F_avg = 101,3 N

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,15·(13 + 14) = 4,05 N·s

متوسط القوة

F_avg = J/Δt = 4,05/0,04 = 101,3 N

الإجابة

F_avg = 101,3 N

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: P_avg = 0,5209 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·400/60 = 41,89 rad/s

الطاقة

E = ½·I·ω² = ½·19·41,89² = 16669 J

متوسط القدرة

P_avg = E/t = 16669/32 = 520,9 W = 0,5209 kW

الإجابة

P_avg = 0,5209 kW

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: E_k = 24 J

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

الجزآن الانتقالي والدوراني

E_trans = ½·m·v² = ½·0,5·8² = 16 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,5·m·r²·(v/r)² = 0,5·16 = 8 J

المجموع

E_k = 16 + 8 = 24 J

الإجابة

E_k = 24 J

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₂ = 158,1 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/151,8 = 98,79 N·m

عزم الخرج

T₂ = 98,79·80/50·1 = 158,1 N·m

الإجابة

T₂ = 158,1 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 460,8 rpm

المرحلة الأولى

n_B = 1440·48/60 = 1152 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 1152·20/50 = 460,8 rpm

الإجابة

n_out = 460,8 rpm

النسبة الكلية = 3,125 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 2,837 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(2/9,81) = 2,837 s

الإجابة

T = 2,837 s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 1,344 m/s

التردد الزاوي

ω = √(40/0,8) = 7,071 rad/s

أقصى سرعة

v_max = A·ω = 0,19·7,071 = 1,344 m/s

الإجابة

v_max = 1,344 m/s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,1199

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/4)·ln(25/1,2) = 0,7591

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7591/√(39,48 + 0,5763) = 0,1199

الإجابة

ζ = 0,1199

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 3,577 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 50 + 30 = 80 kN/m

k_eq = 80·15/(80 + 15) = 12,63 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(12632/25) = 22,48 rad/s

f_n = 22,48/(2π) = 3,577 Hz

الإجابة

f_n = 3,577 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics