الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تبدأ طائرة من السكون وتتسارع بانتظام بمقدار 2,5 m/s² على مدرج. أوجد سرعتها v بعد 900 m.

v₀ = 0a = 2,5 m/s²s = 900 m

v = m/s

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 14 m/s من حافة سطح يرتفع 10 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max فوق الأرض.

v₀ = 14 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 2 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 45° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 2 kgθ = 45°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 7 kg على منحدر يميل 30° موصول بخيط خفيف يمرّ فوق بكرة عديمة الاحتكاك أعلى المنحدر بكتلة معلّقة مقدارها 7 kg. الكتلة المعلّقة تتحرّك إلى الأسفل. المنحدر عديم الاحتكاك. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 7 kgm₂ = 7 kgθ = 30°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 30 m/s ويجب أن تهبط على بعد 55 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 30 m/sR = 55 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُرمى كرة من مستوى الأرض بسرعة 37 m/s وبزاوية 65° فوق الأفق. تهبط على السطح المستوي لمبنى ارتفاعه 18 m، وهي في طريقها إلى الأسفل. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد المسافة الأفقية x من نقطة القذف إلى موضع هبوطها.

v₀ = 37 m/sθ = 65°h_roof = 18 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

سيارة كتلتها 1500 kg تمرّ فوق قمة نتوء في الطريق بسرعة 8 m/s. قمة النتوء قوس دائري نصف قطره 55 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها الطريق على السيارة عند القمة.

m = 1500 kgv = 8 m/sr = 55 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة مربوطة بخيط طوله 0,5 m تُدار في دائرة رأسية. استخدم g = 9,81 m/s². ما أصغر سرعة v_min عند القمة يبقى عندها الخيط مشدودًا بالكاد؟

r = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم من السكون على منحدر يميل بزاوية 20° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. أوجد سرعته v بعد أن ينزلق 16 m على المنحدر.

θ = 20°μ = 0,2d = 16 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 0,5 kg من السكون على ارتفاع 4,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 1,5 m (μ = 0,3) ثم يصطدم بنابض (k = 800 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 0,5 kgh = 4,5 mL = 1,5 mμ = 0,3k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 3,5 kg يتحرك بسرعة 2 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 1,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 5 g أفقيًا في كتلة مقدارها 4 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 1,8 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 15° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 5 gM = 4 kgL = 1,8 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

حدّافة عزم قصورها الذاتي 24 kg·m² تدور بسرعة 1000 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 150 N·m. كم من الوقت t تستغرق حتى تتوقّف؟

I = 24 kg·m²n = 1000 rpmT_b = 150 N·m

t = s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قضيب نحيف منتظم كتلته 5,5 kg وطوله 0,5 m معلّق ساكنًا من محور ارتكاز عديم الاحتكاك عند طرفه العلوي. رصاصة كتلتها 50 g تتحرّك أفقيًا بسرعة 440 m/s تصطدم بالقضيب على بعد 0,25 m تحت محور الارتكاز وتنغرس فيه. أوجد السرعة الزاوية ω للقضيب مباشرةً بعد الاصطدام.

M = 5,5 kgL = 0,5 mm = 50 gv = 440 m/sd = 0,25 m

ω = rad/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 3 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 12 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 50 سنًّا. كفاءة زوج التروس 95%. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 3 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 12N₂ = 50η = 95%

T₁ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس كوكبية للترس الشمسي 16 سنًّا ولكل ترس كوكبي 12 سنًّا. الترس الحلقي مثبَّت والترس الشمسي يُدار بسرعة 900 rpm. أوجد سرعة الحامل الكوكبي n_c.

N_s = 16N_p = 12n_s = 900 rpm

n_c = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 2,7 kg على نابض k = 270 N/m تُسحب 4 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد إزاحتها x عن موضع الاتزان عند t = 1 s (مع الإشارة).

m = 2,7 kgk = 270 N/mA = 4 cmt = 1 s

x = cm

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 3,4 kg على نابض k = 350 N/m تُسحب 12 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى سرعة لها v_max.

m = 3,4 kgk = 350 N/mA = 12 cm

v_max = m/s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 100 kg على نابض جساءته 100 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,7. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 100 kgk = 100 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 20 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 25 kN/m والسفلي k₂ = 10 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 20 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: v = 67,08 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

السرعة بعد المسافة

v = √(2·a·s) = √(2·2,5·900) = 67,08 m/s

الإجابة

v = 67,08 m/s

(241,5 km/h)

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 19,99 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الارتفاع فوق السطح

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9,81) = 9,99 m

الارتفاع فوق الأرض

h_max = 10 + 9,99 = 19,99 m

الإجابة

h_max = 19,99 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 5,896 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 45° − 0,15·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1061) = 5,896 m/s²

الإجابة

a = 5,896 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 2,453 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوى على امتداد الخيط

m₂·g = 68,67 N

m₁·g·sin θ = 34,33 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

تسارع النظام

a = (68,67 − 34,33 − 0)/14 = 2,453 m/s²

الإجابة

a = 2,453 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 18,42 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·55/30² = 0,5995

الزاوية

2θ = 36,83° → θ = 18,42°

الإجابة

θ = 18,42°

الحل الآخر 90° − θ = 71,58°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 97,72 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 15,64 m/s, v_y = 33,53 m/s

الزمن حتى الهبوط على السطح

الجذر الأكبر: الكرة نازلة.

18 = 33,53·t − 4,905·t²

t = (33,53 + √(33,53² − 2·9,81·18))/9,81 = 6,249 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 15,64·6,249 = 97,72 m

الإجابة

x = 97,72 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: N = 12970 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

القوى عند القمة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأسفل) موجب.

m·g − N = m·v²/r

N = 1500·9,81 − 1500·8²/55 = 14715 − 1745 = 12970 N

الإجابة

N = 12970 N

تبدو السيارة أخفّ: يدفعها الطريق إلى الأعلى بأقل من وزنها.

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 2,215 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

قوة الشد صفر عند القمة

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,5) = 2,215 m/s

الإجابة

v_min = 2,215 m/s

9.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 6,955 m/s

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

موازنة الطاقة على المنحدر

ينخفض الجسم مسافة رأسية d·sin θ بينما يسلب الاحتكاك μmg·cos θ·d. تُختصر الكتلة.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·16·(0,342 − 0,2·0,9397)) = 6,955 m/s

الإجابة

v = 6,955 m/s

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 22,29 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 4,905·(4,5 − 0,3·1,5) = 19,87 J

أقصى انضغاط

½kx² = 19,87 → x = √(2·19,87/800) = 0,2229 m = 22,29 cm

الإجابة

x = 22,29 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = 0,8 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (3,5 − 1,5)/(3,5 + 1,5)·2 = 0,8 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 1,5)·2 = 2,8 m/s

الإجابة

v′₁ = 0,8 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 878,7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 1,8·(1 − cos 15°) = 0,06133 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,06133) = 1,097 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 4,005·1,097/0,005 = 878,7 m/s

الإجابة

v = 878,7 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: t = 16,76 s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

التباطؤ والزمن

α = T_b/I = 150/24 = 6,25 rad/s²

t = ω/α = 104,7/6,25 = 16,76 s

الإجابة

t = 16,76 s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ω = 11,92 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

عزم القصور الذاتي بعد الاصطدام

I = M·L²/3 + m·d² = 5,5·0,5²/3 + 0,05·0,25² = 0,4615 kg·m²

كمية الحركة الزاوية حول محور الارتكاز

قوة محور الارتكاز تمرّ بمحور الارتكاز، لذا ليس لها عزم حوله أثناء الاصطدام.

m·v·d = I·ω → ω = 0,05·440·0,25/0,4615 = 11,92 rad/s

الإجابة

ω = 11,92 rad/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 19,76 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/151,8 = 19,76 N·m

الإجابة

T₁ = 19,76 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_c = 257,1 rpm

مجموعات التروس الكوكبية: ترتبط سرعات الشمس والحلقة والحامل بمعادلة ويليس (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: من منظور الحامل، المجموعة مجموعة تروس عادية والكواكب تروس وسيطة. تثبيت أحد العناصر يحوّل المجموعة إلى مخفّض بنسبة واحدة.

أسنان الترس الحلقي

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·12 = 40

معادلة ويليس مع تثبيت الحلقة

اجعل n_r = 0 وحلّ لإيجاد سرعة الحامل.

(900 − n_c)/(0 − n_c) = −40/16

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 900·16/56 = 257,1 rpm

الإجابة

n_c = 257,1 rpm

يدور الحامل في اتجاه الشمس نفسه.

17.النوابض والبندولات

الإجابة: x = −3,356 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(270/2,7) = 10 rad/s

ω·t = 10·1 = 10 rad

الإزاحة

x = A·cos(ω·t) = 4·cos(10) = −3,356 cm

الإجابة

x = −3,356 cm

18.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 1,218 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(350/3,4) = 10,15 rad/s

أقصى سرعة

v_max = A·ω = 0,12·10,15 = 1,218 m/s

الإجابة

v_max = 1,218 m/s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 3,594 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(100000/100) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,7²) = 3,594 Hz

الإجابة

f_d = 3,594 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 3,008 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/10 → k_eq = 25·10/(25 + 10) = 7,143 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(7143/20) = 18,9 rad/s

f_n = 18,9/(2π) = 3,008 Hz

الإجابة

f_n = 3,008 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics