الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 80 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 7,5 m/s² حتى تتوقف. كم يستغرق الكبح؟ أوجد t.

v₀ = 80 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

t = s

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 14 m/s من حافة سطح يرتفع 35 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max فوق الأرض.

v₀ = 14 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 9 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 45° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 9 kgθ = 45°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 2,5 kg على منحدر يميل 35° موصول بخيط خفيف يمرّ فوق بكرة عديمة الاحتكاك أعلى المنحدر بكتلة معلّقة مقدارها 10 kg. الكتلة المعلّقة تتحرّك إلى الأسفل. المنحدر عديم الاحتكاك. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 10 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 18 m/s ويجب أن تهبط على بعد 15 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 18 m/sR = 15 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 30° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 15 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 27 m/sθ = 30°h = 15 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 70 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,4. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 70 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة مربوطة بخيط طوله 0,8 m تُدار في دائرة رأسية. استخدم g = 9,81 m/s². ما أصغر سرعة v_min عند القمة يبقى عندها الخيط مشدودًا بالكاد؟

r = 0,8 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

كرة كتلتها 0,5 kg معلّقة بخيط خفيف طوله 2 m. تُسحب جانبًا حتى يصنع الخيط 20° مع الرأسي ثم تُترك من السكون. أوجد الشدّ T في الخيط عندما تمرّ الكرة بأدنى نقطة.

m = 0,5 kgL = 2 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

T = N

10.الشغل والطاقةصعبة

عربة كتلتها 5 kg تُترك من السكون على ارتفاع 6,5 m على مسار أملس يؤدي إلى حلقة دائرية رأسية نصف قطرها 2,5 m. أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.

m = 5 kgh = 6,5 mR = 2,5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

سيارة كتلتها 1000 kg تتحرّك بسرعة 22 m/s تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 700 kg وتلتحمان معًا. ما النسبة المئوية ΔK/K المفقودة من الطاقة الحركية الأصلية؟

m₁ = 1000 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 1800 kg تسير شرقًا بسرعة 22 m/s بسيارة كتلتها 1600 kg تسير شمالًا بسرعة 20 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد سرعة الحطام v′ مباشرةً بعد التصادم.

m₁ = 1800 kgv₁ = 22 m/s (E)m₂ = 1600 kgv₂ = 20 m/s (N)

v′ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

ينقل عمود 97,5 kW بسرعة 1400 rpm. أوجد العزم T في العمود.

P = 97,5 kWn = 1400 rpm

T = N·m

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل كرة مصمتة يتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 40° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر معامل احتكاك سكوني μ_s يمنعه من الانزلاق.

θ = 40°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 7,5 kW يعمل بسرعة 1440 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 12 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 16 سنًّا. كفاءة زوج التروس 98%. أوجد عزم الخرج T₂ على عمود الترس.

P = 7,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 12N₂ = 16η = 98%

T₂ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (36 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 1450 rpm الترسَ B (50 سنًّا). الترس C (48 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (60 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 1450 rpmA = 36B = 50C = 48D = 60

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

يجد رائد فضاء على كوكب آخر أن بندولًا بسيطًا طوله 0,5 m زمنه الدوري 1,33 s للتأرجحات الصغيرة. أوجد تسارع الجاذبية g على ذلك الكوكب.

L = 0,5 mT = 1,33 s

g = m/s²

18.النوابض والبندولاتصعبة

تُربط كتلة مقدارها 0,9 kg بالطرف السفلي لنابض رأسي غير ممطوط k = 200 N/m وتُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر سرعة v_max للكتلة.

m = 0,9 kgk = 200 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 10 kg على نابض جساءته 10 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,6. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 10 kgk = 10 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 40 kg معلّقة بالنابض k₃ = 30 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 20 kN/m و k₂ = 100 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 40 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: t = 2,963 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

زمن الكبح

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22,22/7,5 = 2,963 s

الإجابة

t = 2,963 s

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 44,99 m

الارتفاع فوق السطح

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9,81) = 9,99 m

الارتفاع فوق الأرض

h_max = 35 + 9,99 = 44,99 m

الإجابة

h_max = 44,99 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 5,203 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 45° − 0,25·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1768) = 5,203 m/s²

الإجابة

a = 5,203 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 30,87 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوى على امتداد الخيط

m₂·g = 98,1 N

m₁·g·sin θ = 14,07 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

تسارع النظام

a = (98,1 − 14,07 − 0)/12,5 = 6,723 m/s²

الشدّ من الكتلة المعلّقة

m₂·g − T = m₂·a → T = 10·(9,81 − 6,723) = 30,87 N

الإجابة

T = 30,87 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 13,51 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·15/18² = 0,4542

الزاوية

2θ = 27,01° → θ = 13,51°

الإجابة

θ = 13,51°

الحل الآخر 90° − θ = 76,49°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 84,21 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 30° = 23,38 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 30° = 13,5 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 15 + 13,5·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13,5 + √(182,2 + 294,3))/9,81 = 3,601 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 23,38·3,601 = 84,21 m

الإجابة

x = 84,21 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 16,57 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·70) = 16,57 m/s

الإجابة

v_max = 16,57 m/s (59,66 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 2,801 m/s

قوة الشد صفر عند القمة

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,8) = 2,801 m/s

الإجابة

v_min = 2,801 m/s

9.الشغل والطاقة

الإجابة: T = 5,497 N

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). على مسار دائري يجب أن تساوي القوة المحصّلة نحو المركز mv²/r.

السرعة عند الأسفل

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 20°) = 2,366 m²/s²

القوى عند الأسفل

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

T = mg + mv²/L = 4,905 + 0,5·2,366/2 = 5,497 N

الإجابة

T = 5,497 N

تحقّق: T = mg(3 − 2cos θ) = 5,497 N.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: N = 9,81 N

السرعة عند القمة

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(6,5 − 5) = 29,43 m²/s²

القوى عند القمة

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

N = mv²/R − mg = 5·29,43/2,5 − 49,05 = 9,81 N

الإجابة

N = 9,81 N

تكمل العربة الحلقة بالكاد عندما h = 2,5R؛ وعندئذٍ N = 0 عند القمة.

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: ΔK/K = 41,18 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

السرعة المشتركة

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1000·22/1700 = 12,94 m/s

الطاقة الحركية قبل وبعد

K_before = ½·1000·22² = 242000 J

K_after = ½·1700·12,94² = 142353 J

الكسر المفقود

ΔK/K = 99647/242000 = 41,18 %

الإجابة

ΔK/K = 41,18 %

تذهب الطاقة المفقودة إلى التشوّه والحرارة والصوت.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′ = 14,97 m/s

مركّبات كمية الحركة

p_x = 1800·22 = 39600 kg·m/s

p_y = 1600·20 = 32000 kg·m/s

سرعة الحطام

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 50913/3400 = 14,97 m/s

الإجابة

v′ = 14,97 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: T = 665 N·m

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·1400/60 = 146,6 rad/s

العزم

T = P/ω = 97500/146,6 = 665 N·m

الإجابة

T = 665 N·m

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: μ_s = 0,2397

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

معادلات الحركة

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

التسارع

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 40°/1,4 = 4,504 m/s²

الاحتكاك اللازم

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0,4·tan 40°/1,4 = 0,2397

الإجابة

μ_s = 0,2397

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₂ = 64,99 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/150,8 = 49,74 N·m

عزم الخرج

T₂ = 49,74·16/12·0,98 = 64,99 N·m

الإجابة

T₂ = 64,99 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 835,2 rpm

المرحلة الأولى

n_B = 1450·36/50 = 1044 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 1044·48/60 = 835,2 rpm

الإجابة

n_out = 835,2 rpm

النسبة الكلية = 1,736 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: g = 11,16 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

حلّ لإيجاد g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,5/1,33² = 11,16 m/s²

الإجابة

g = 11,16 m/s²

18.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 0,6581 m/s

الاتزان والسعة

x₀ = m·g/k = 0,9·9,81/200 = 0,04415 m = A

أكبر سرعة

تكون السرعة أكبر ما يمكن عند موضع الاتزان.

ω = √(200/0,9) = 14,91 rad/s

v_max = A·ω = 0,04415·14,91 = 0,6581 m/s

الإجابة

v_max = 0,6581 m/s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 4,026 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(10000/10) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,6²) = 4,026 Hz

الإجابة

f_d = 4,026 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 3,898 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 20 + 100 = 120 kN/m

k_eq = 120·30/(120 + 30) = 24 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(24000/40) = 24,49 rad/s

f_n = 24,49/(2π) = 3,898 Hz

الإجابة

f_n = 3,898 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics