الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 36 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 3,5 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 36 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُسقَط الكرة A من السكون من ارتفاع 60 m. في اللحظة نفسها تُقذف الكرة B رأسيًا إلى الأعلى من الأرض تحتها مباشرةً بسرعة 20 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y فوق الأرض تلتقيان؟

H = 60 mv_0B = 20 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

كتلتان مقدارهما 6 kg و 1,5 kg معلّقتان على جانبي بكرة خفيفة عديمة الاحتكاك، موصولتان بخيط خفيف. يُترك النظام من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 6 kgm₂ = 1,5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 5,5 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 6 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 6 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 20 m/s ويجب أن تهبط على بعد 25 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 20 m/sR = 25 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 31 m/s وبزاوية 40° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 10 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع H فوق الأرض عند أسفل الجرف.

v₀ = 31 m/sθ = 40°h = 10 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

في لعبة الدوّار بمدينة الملاهي يقف الراكبون مستندين إلى جدار أسطوانة رأسية نصف قطرها 4 m. عندما تدور بسرعة كافية تنخفض الأرضية ويثبّتهم الاحتكاك. معامل الاحتكاك السكوني 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر معدّل دوران n بالدورات في الدقيقة.

r = 4 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة مربوطة بخيط طوله 1 m تُدار في دائرة رأسية. استخدم g = 9,81 m/s². ما أصغر سرعة v_min عند القمة يبقى عندها الخيط مشدودًا بالكاد؟

r = 1 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

لقاذف ألعاب نابض رأسي صلابته 500 N/m. توضع عليه كرة كتلتها 0,1 kg ويُضغط النابض بمقدار 10 cm ثم يُترك. بإهمال مقاومة الهواء وكتلة النابض، أوجد الارتفاع h الذي ترتفعه الكرة، مقيسًا من موضعها عندما كان النابض مضغوطًا.

m = 0,1 kgk = 500 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 5 kg من السكون على ارتفاع 1,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 2 m (μ = 0,25) ثم يصطدم بنابض (k = 2000 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 5 kgh = 1,5 mL = 2 mμ = 0,25k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 5 kg يتحرك بسرعة 6 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 4 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,45 kg تصطدم بجدار بسرعة 19 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 18 m/s. يدوم التلامس 40 ms. أوجد مقدار الدفع J الذي يعطيه الجدار للكرة.

m = 0,45 kgv_in = 19 m/sv_out = 18 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

جسم كتلته 1,5 kg معلّق بحبل خفيف ملفوف حول بكرة، وهي قرص مصمت منتظم كتلته 16,5 kg ونصف قطره 0,15 m يدور على محور أفقي عديم الاحتكاك. يُترك الجسم من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد التسارع الزاوي α للبكرة.

m = 1,5 kgM = 16,5 kgR = 0,15 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل كرة مجوّفة كتلته 2,5 kg يتدحرج دون انزلاق بسرعة 8,5 m/s. ما النسبة المئوية p من طاقته الحركية الكلية التي هي دورانية؟

m = 2,5 kgv = 8,5 m/sI = (2/3)·m·r²

p = %

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 15 kW يعمل بسرعة 1500 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 18 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 30 سنًّا. أهمل الفواقد. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 15 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 18N₂ = 30η = 100%

T₁ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس كوكبية للترس الشمسي 24 سنًّا ولكل ترس كوكبي 12 سنًّا. الحامل الكوكبي مثبَّت والترس الشمسي يُدار بسرعة 3000 rpm. أوجد سرعة الترس الحلقي n_r (مقدارها).

N_s = 24N_p = 12n_s = 3000 rpm

n_r = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 2 kg على نابض k = 40 N/m تُسحب 8 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد سرعتها v عند t = 0,5 s (مع الإشارة).

m = 2 kgk = 40 N/mA = 8 cmt = 0,5 s

v = m/s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 3,9 kg على نابض k = 270 N/m تُسحب 11 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى تسارع لها a_max.

m = 3,9 kgk = 270 N/mA = 11 cm

a_max = m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 200 kg على نابض جساءته 20 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,7. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 200 kgk = 20 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 5 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 10 kN/m و k₂ = 30 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 5 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 14,29 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·3,5) = 14,29 m

الإجابة

s = 14,29 m

2.علم الحركة

الإجابة: y = 15,86 m

زمن الالتقاء

الاتجاه إلى الأعلى موجب، والأرض عند y = 0.

60 − ½g·t² = 20·t − ½g·t² → t = 60/20 = 3 s

ارتفاع الالتقاء

y = 20·3 − ½·9,81·3² = 15,86 m

الإجابة

y = 15,86 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 23,54 N

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

التسارع

القوة الدافعة المحصّلة هي الفرق بين الوزنين؛ وهي تحرّك الكتلة الكلية.

a = (6 − 1,5)·9,81/(6 + 1,5) = 5,886 m/s²

الشدّ من الكتلة الأخف

T − m₂·g = m₂·a → T = 1,5·(9,81 + 5,886) = 23,54 N

الإجابة

T = 23,54 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 33,78 N

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 10,79)/11,5 = 4,18 m/s²

قوة الشد من الجسم الموجود على الطاولة

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5,5·4,18 + 10,79 = 33,78 N

الإجابة

T = 33,78 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 18,91 °

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·25/20² = 0,6131

الزاوية

2θ = 37,82° → θ = 18,91°

الإجابة

θ = 18,91°

الحل الآخر 90° − θ = 71,09°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 30,24 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

سرعة القذف الرأسية

v_y = 31·sin 40° = 19,93 m/s

الارتفاع فوق الجرف

Δh = v_y²/(2g) = 19,93²/(2·9,81) = 20,24 m

الارتفاع فوق الأرض

H = 10 + 20,24 = 30,24 m

الإجابة

H = 30,24 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: n = 21,15 rpm

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى على الراكب

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

السرعة الزاوية

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,5·4)) = 2,215 rad/s

معدّل الدوران

n = ω·60/(2π) = 21,15 rpm

الإجابة

n = 21,15 rpm

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 3,132 m/s

قوة الشد صفر عند القمة

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1) = 3,132 m/s

الإجابة

v_min = 3,132 m/s

9.الشغل والطاقة

الإجابة: h = 2,548 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

طاقة النابض

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·500·0,1² = 2,5 J

الارتفاع

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 2,5/0,981 = 2,548 m

الإجابة

h = 2,548 m

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 22,15 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 49,05·(1,5 − 0,25·2) = 49,05 J

أقصى انضغاط

½kx² = 49,05 → x = √(2·49,05/2000) = 0,2215 m = 22,15 cm

الإجابة

x = 22,15 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = 0,6667 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·6 = 0,6667 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·6 = 6,667 m/s

الإجابة

v′₁ = 0,6667 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: J = 16,65 N·s

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,45·(18 + 19) = 16,65 N·s

الإجابة

J = 16,65 N·s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: α = 10,06 rad/s²

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

الجسم والبكرة

الجسم: m·g − T = m·a

البكرة: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

التسارع

a = m·g/(m + M/2) = 1,5·9,81/(1,5 + 8,25) = 1,509 m/s²

التسارع الزاوي

α = a/R = 1,509/0,15 = 10,06 rad/s²

الإجابة

α = 10,06 rad/s²

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: p = 40 %

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

الجزآن الانتقالي والدوراني

E_trans = ½·m·v² = ½·2,5·8,5² = 90,31 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,6667·m·r²·(v/r)² = 0,6667·90,31 = 60,21 J

حصة الدوران

p = 60,21/150,5·100% = c/(1 + c)·100% = 40%

الإجابة

p = 40 %

الحصة تعتمد على الشكل فقط، لا على الكتلة أو السرعة.

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 95,49 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/157,1 = 95,49 N·m

الإجابة

T₁ = 95,49 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_r = 1500 rpm

مجموعات التروس الكوكبية: ترتبط سرعات الشمس والحلقة والحامل بمعادلة ويليس (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: من منظور الحامل، المجموعة مجموعة تروس عادية والكواكب تروس وسيطة. تثبيت أحد العناصر يحوّل المجموعة إلى مخفّض بنسبة واحدة.

أسنان الترس الحلقي

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·12 = 48

معادلة ويليس مع تثبيت الحامل

مع n_c = 0 يدير الترس الشمسي الحلقة عبر الكواكب، التي تعمل كتروس وسيطة.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −3000·24/48 = −1500 rpm

|n_r| = 1500 rpm

الإجابة

n_r = 1500 rpm

تدور الحلقة عكس اتجاه الشمس.

17.النوابض والبندولات

الإجابة: v = −0,2815 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(40/2) = 4,472 rad/s

ω·t = 4,472·0,5 = 2,236 rad

السرعة المتجهة

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,08·4,472·sin(2,236) = −0,2815 m/s

الإجابة

v = −0,2815 m/s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: a_max = 7,615 m/s²

التردد الزاوي

ω = √(270/3,9) = 8,321 rad/s

أقصى تسارع

a_max = A·ω² = 0,11·8,321² = 7,615 m/s²

الإجابة

a_max = 7,615 m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 1,137 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(20000/200) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,7²) = 1,137 Hz

الإجابة

f_d = 1,137 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 40 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 30 = 40 kN/m

الإجابة

k_eq = 40 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics