أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
سيارة مسرعة بسرعة ثابتة 35 m/s تمرّ بسيارة شرطة متوقّفة. في تلك اللحظة تنطلق سيارة الشرطة وتتسارع بانتظام بمقدار 3 m/s². على أيّ بعد من نقطة انطلاقها تلحق سيارة الشرطة بها؟ أوجد d.
تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 20 m/s من حافة سطح يرتفع 20 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.
كتلتان مقدارهما 10 kg و 3,5 kg معلّقتان على جانبي بكرة خفيفة عديمة الاحتكاك، موصولتان بخيط خفيف. يُترك النظام من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.
جسم كتلته 7,5 kg على منحدر يميل 20° موصول بخيط خفيف يمرّ فوق بكرة عديمة الاحتكاك أعلى المنحدر بكتلة معلّقة مقدارها 6 kg. الكتلة المعلّقة تتحرّك إلى الأسفل. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.
تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 22 m/s ويجب أن تهبط على بعد 30 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.
تُقذف كرة بزاوية 20° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 20 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.
تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 50 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,7. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة vmax يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.
كرة مربوطة بخيط طوله 1,2 m تُدار في دائرة رأسية. استخدم g = 9,81 m/s². ما أصغر سرعة vmin عند القمة يبقى عندها الخيط مشدودًا بالكاد؟
لقاذف ألعاب نابض رأسي صلابته 2000 N/m. توضع عليه كرة كتلتها 0,05 kg ويُضغط النابض بمقدار 6 cm ثم يُترك. بإهمال مقاومة الهواء وكتلة النابض، أوجد الارتفاع h الذي ترتفعه الكرة، مقيسًا من موضعها عندما كان النابض مضغوطًا.
يُترك جسم كتلته 2,5 kg من السكون على ارتفاع 1 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 1,5 m (μ = 0,3) ثم يصطدم بنابض (k = 5000 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.
منزلق كتلته 1,5 kg يتحرك بسرعة 11 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 4 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′1 بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).
عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 1200 kg تسير شرقًا بسرعة 13 m/s بسيارة كتلتها 2000 kg تسير شمالًا بسرعة 8 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد اتجاه الحطام θ مباشرةً بعد التصادم، مقيسًا شمال الشرق.
حدّافة عزم قصورها الذاتي 25,5 kg·m² تدور بسرعة 2600 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 90 N·m. كم من الوقت t تستغرق حتى تتوقّف؟
جسم على شكل طوق رقيق كتلته 18 kg يتدحرج دون انزلاق بسرعة 4,5 m/s. ما النسبة المئوية p من طاقته الحركية الكلية التي هي دورانية؟
محرك قدرته 0,75 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 24 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 40 سنًّا. كفاءة زوج التروس 97%. أوجد عزم الخرج T2 على عمود الترس.
يصل سير مفتوح بين بكرة قطرها 100 mm وبكرة قطرها 250 mm والمسافة بين مركزيهما 800 mm. أوجد زاوية الالتفاف θ على البكرة الأصغر بالدرجات.
كتلة مقدارها 1 kg على نابض k = 290 N/m تُسحب 14 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد إزاحتها x عن موضع الاتزان عند t = 1,4 s (مع الإشارة).
كتلة مقدارها 2 kg على نابض k = 260 N/m تُسحب 4 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى تسارع لها amax.
كتلة 5 kg يحملها نابض جساءته 100 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 570 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.
كتلة 25 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 12 kN/m و k₂ = 100 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة keq لنظام النوابض بالـ kN/m.
الإجابة: d = 816,7 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
في تلك اللحظة تتحرّك سيارة الشرطة بسرعة 2v = 70 m/s.
الإجابة: t = 4,908 s
الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.
الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.
الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.
الإجابة: T = 50,87 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
القوة الدافعة المحصّلة هي الفرق بين الوزنين؛ وهي تحرّك الكتلة الكلية.
الإجابة: a = 1,984 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
الإجابة: θ = 18,72 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
الحل الآخر 90° − θ = 71,28°.
الإجابة: x = 43,09 m
حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = vxt و y = h + vyt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.
السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.
حلّ y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.
الإجابة: vmax = 18,53 m/s
الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.
الإجابة: vmin = 3,431 m/s
الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.
الإجابة: h = 7,339 m
مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).
الإجابة: x = 7,345 cm
مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).
المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.
الإجابة: v′1 = −5 m/s
حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.
حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.
الإشارة السالبة تعني أن المنزلق الأول يرتد إلى الخلف.
الإجابة: θ = 45,73 °
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
الإجابة: t = 77,14 s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
الإجابة: p = 50 %
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
الحصة تعتمد على الشكل فقط، لا على الكتلة أو السرعة.
الإجابة: T2 = 7,985 N·m
مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.
الإجابة: θ = 169,2 °
نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = eμθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.
الإجابة: x = 3,858 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
الإجابة: amax = 5,2 m/s²
الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².
الإجابة: ζ = 0,4031
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.
الإجابة: keq = 112 kN/m
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics