الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 108 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 4 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 108 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُسقَط الكرة A من السكون من ارتفاع 10 m. في اللحظة نفسها تُقذف الكرة B رأسيًا إلى الأعلى من الأرض تحتها مباشرةً بسرعة 28 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². متى تلتقي الكرتان؟ أوجد t.

H = 10 mv_0B = 28 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

صندوق كتلته 50 kg يُدفع إلى أعلى منحدر يميل 15° عن الأفق بسرعة ثابتة، بقوة موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الدفع F.

m = 50 kgθ = 15°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

F = N

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 6,5 kg على منحدر يميل 20° موصول بخيط خفيف يمرّ فوق بكرة عديمة الاحتكاك أعلى المنحدر بكتلة معلّقة مقدارها 8 kg. الكتلة المعلّقة تتحرّك إلى الأسفل. المنحدر عديم الاحتكاك. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 8 kgθ = 20°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُركل كرة من أرض مستوية بسرعة 16 m/s وبزاوية 40° فوق الأفق نحو جدار على بعد 8 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y تمرّ الكرة بالجدار؟

v₀ = 16 m/sθ = 40°x = 8 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 55° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 10 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 25 m/sθ = 55°h = 10 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

يريد مهندس طرق أن تسلك السيارات منعطفًا نصف قطره 300 m بسرعة 50 km/h دون الاعتماد على الاحتكاك. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زاوية الميل θ.

r = 300 mv = 50 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.الحركة الدائريةصعبة

عربة كتلتها 4,5 kg تُترك من السكون على ارتفاع 1,8 m على مسار عديم الاحتكاك وتمرّ بحلقة رأسية نصف قطرها 0,5 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N_bottom التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قاع الحلقة.

m = 4,5 kgh = 1,8 mR = 0,5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 2,5 kg مسافة 4 m على منحدر يميل بزاوية 35° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,2. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 2,5 kgθ = 35°μ = 0,2d = 4 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 4 kg من السكون على ارتفاع 1,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 3 m (μ = 0,25) ثم يصطدم بنابض (k = 5000 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 4 kgh = 1,5 mL = 3 mμ = 0,25k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

سيارة كتلتها 1700 kg تتحرّك بسرعة 19 m/s تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 600 kg وتلتحمان معًا. ما النسبة المئوية ΔK/K المفقودة من الطاقة الحركية الأصلية؟

m₁ = 1700 kgv₁ = 19 m/sm₂ = 600 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

سيارة كتلتها 1600 kg تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1100 kg. يلتحم الحطامان وينزلقان 10,5 m قبل التوقّف. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,8. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة السيارة الأولى v₁ قبيل التصادم.

m₁ = 1600 kgm₂ = 1100 kgd = 10,5 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 10 kg وطوله 1,1 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ويُترك من السكون في وضع أفقي. أهمل الاحتكاك واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الطرف الحر v لحظة مرور القضيب بالوضع الرأسي.

m = 10 kgL = 1,1 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل أسطوانة مصمتة كتلته 5,5 kg يتدحرج دون انزلاق بسرعة 3 m/s. أوجد طاقته الحركية الدورانية E_rot.

m = 5,5 kgv = 3 m/sI = ½·m·r²

E_rot = J

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

عمودان متوازيان المسافة بينهما 36 mm. يجب وصلهما بزوج من التروس المستقيمة بموديول 1,5 mm وتخفيض سرعة 2 : 1. كم سنًّا N₂ يجب أن يكون للترس الكبير؟

a = 36 mmm = 1,5 mmi = 2

N₂ =

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدور الترس A (12 سنًّا) على عمود الدخل بسرعة 3000 rpm ويدير الترس B (48 سنًّا). الترس C (30 سنًّا) مثبَّت على عمود B نفسه ويدير الترس D على عمود الخرج. يجب أن يدور الخرج بسرعة 562,5 rpm. كم سنًّا N_D يجب أن يكون للترس D؟

n_in = 3000 rpmA = 12B = 48C = 30n_out = 562,5 rpm

N_D =

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 3,7 kg على نابض k = 430 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 13 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 4 cm من موضع الاتزان.

m = 3,7 kgk = 430 N/mA = 13 cmx = 4 cm

v = m/s

18.النوابض والبندولاتصعبة

تُربط كتلة مقدارها 2 kg بالطرف السفلي لنابض رأسي غير ممطوط k = 440 N/m وتُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر سرعة v_max للكتلة.

m = 2 kgk = 440 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 50 mm بعد 2 دورات قمةٌ مقدارها 38,9 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 50 mmx₂ = 38,9 mmn = 2

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 80 kN/m والسفلي k₂ = 15 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 50 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 112,5 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·4) = 112,5 m

الإجابة

s = 112,5 m

2.علم الحركة

الإجابة: t = 0,3571 s

زمن الالتقاء

الاتجاه إلى الأعلى موجب، والأرض عند y = 0.

10 − ½g·t² = 28·t − ½g·t² → t = 10/28 = 0,3571 s

الإجابة

t = 0,3571 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: F = 269,1 N

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

سرعة ثابتة: القوى متوازنة.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

قوة الدفع

F = 127 + 142,1 = 269,1 N

الإجابة

F = 269,1 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 3,908 m/s²

القوى على امتداد الخيط

m₂·g = 78,48 N

m₁·g·sin θ = 21,81 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

تسارع النظام

a = (78,48 − 21,81 − 0)/14,5 = 3,908 m/s²

الإجابة

a = 3,908 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: y = 4,623 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

الزمن حتى الجدار

v_x = 16·cos 40° = 12,26 m/s

t = x/v_x = 8/12,26 = 0,6527 s

الارتفاع في تلك اللحظة

y = 10,28·0,6527 − ½·9,81·0,6527² = 4,623 m

الإجابة

y = 4,623 m

الكرة لا تزال ترتفع عند الجدار.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 66,2 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 55° = 14,34 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 55° = 20,48 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 10 + 20,48·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20,48 + √(419,4 + 196,2))/9,81 = 4,617 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 14,34·4,617 = 66,2 m

الإجابة

x = 66,2 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: θ = 3,75 °

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الوحدات

v = 50/3,6 = 13,89 m/s

زاوية الميل

tan θ = v²/(r·g) = 13,89²/(300·9,81) = 0,06555

θ = 3,75°

الإجابة

θ = 3,75°

8.الحركة الدائرية

الإجابة: N_bottom = 362 N

السرعة من حفظ الطاقة

v² = 2·9,81·1,8 = 35,32 m²/s²

القوى

الاتجاه نحو المركز موجب.

N = m·v²/R + m·g = 4,5·35,32/0,5 + 44,15 = 362 N

الإجابة

N_bottom = 362 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 16,07 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 24,53·0,8192 = 20,09 N

F = μN = 0,2·20,09 = 4,018 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 4,018·4 = 16,07 J

الإجابة

W_f = 16,07 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 10,85 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 39,24·(1,5 − 0,25·3) = 29,43 J

أقصى انضغاط

½kx² = 29,43 → x = √(2·29,43/5000) = 0,1085 m = 10,85 cm

الإجابة

x = 10,85 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: ΔK/K = 26,09 %

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

السرعة المشتركة

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1700·19/2300 = 14,04 m/s

الطاقة الحركية قبل وبعد

K_before = ½·1700·19² = 306850 J

K_after = ½·2300·14,04² = 226802 J

الكسر المفقود

ΔK/K = 80048/306850 = 26,09 %

الإجابة

ΔK/K = 26,09 %

تذهب الطاقة المفقودة إلى التشوّه والحرارة والصوت.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v₁ = 21,66 m/s

السرعة بعد التصادم

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·10,5) = 12,84 m/s

كمية الحركة في التصادم

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2700·12,84/1600 = 21,66 m/s

الإجابة

v₁ = 21,66 m/s

(77,99 km/h)

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: v = 5,69 m/s

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

الفقد في طاقة الوضع

m·g·L/2 = 10·9,81·0,55 = 53,96 J

عزم القصور الذاتي حول المسمار

I_O = m·L²/3 = 10·1,1²/3 = 4,033 kg·m²

موازنة الطاقة

½·I_O·ω² = 53,96 → ω = √(2·53,96/4,033) = 5,172 rad/s

v = ω·L = 5,172·1,1 = 5,69 m/s

الإجابة

v = 5,69 m/s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: E_rot = 12,38 J

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

الجزآن الانتقالي والدوراني

E_trans = ½·m·v² = ½·5,5·3² = 24,75 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,5·m·r²·(v/r)² = 0,5·24,75 = 12,38 J

الإجابة

E_rot = 12,38 J

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N₂ = 32

هندسة التروس: الموديول m يحدّد حجم السن. الترس ذو N سنًّا قطر خطوته d = m·N، والترسان المتعشّقان لهما الموديول نفسه، والمسافة بين مركزيهما a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. سرعة خط الخطوة v = π·d·n/60، وقوة السن المماسية تُستنتج من العزم: F_t = 2T/d.

العدد الكلي للأسنان

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·36/1,5 = 48

قسّم وفق النسبة

N₁ = 48/(1 + 2) = 16

N₂ = 2·16 = 32

الإجابة

N₂ = 32

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N_D = 40

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

سرعة العمود الوسيط

n_B = n_C = 3000·12/48 = 750 rpm

أسنان الترس D

N_D = C·n_C/n_out = 30·750/562,5 = 40

الإجابة

N_D = 40

17.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 1,333 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(430/3,7) = 10,78 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 10,78·√(0,13² − 0,04²) = 1,333 m/s

الإجابة

v = 1,333 m/s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 0,6614 m/s

الاتزان والسعة

x₀ = m·g/k = 2·9,81/440 = 0,04459 m = A

أكبر سرعة

تكون السرعة أكبر ما يمكن عند موضع الاتزان.

ω = √(440/2) = 14,83 rad/s

v_max = A·ω = 0,04459·14,83 = 0,6614 m/s

الإجابة

v_max = 0,6614 m/s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,01997

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/2)·ln(50/38,9) = 0,1255

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1255/√(39,48 + 0,01575) = 0,01997

الإجابة

ζ = 0,01997

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 12,63 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/15 → k_eq = 80·15/(80 + 15) = 12,63 kN/m

الإجابة

k_eq = 12,63 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics