الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 36 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 7 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 36 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 5 m/s من حافة سطح يرتفع 30 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max فوق الأرض.

v₀ = 5 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 2 kg إلى أسفل منحدر أملس يميل بزاوية 40° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 2 kgθ = 40°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 3 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 3,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 3 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُركل كرة من أرض مستوية بسرعة 22 m/s وبزاوية 35° فوق الأفق نحو جدار على بعد 32 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y تمرّ الكرة بالجدار؟

v₀ = 22 m/sθ = 35°x = 32 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 15° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 55 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 17 m/sθ = 15°h = 55 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 55 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,8. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 55 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1,3 kg مربوطة بخيط طوله 1,4 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 5,5 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 1,3 kgr = 1,4 mv = 5,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم من السكون على منحدر يميل بزاوية 40° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,35. أوجد سرعته v بعد أن ينزلق 10 m على المنحدر.

θ = 40°μ = 0,35d = 10 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.الشغل والطاقةصعبة

جسم كتلته 3 kg يستقر على طاولة أفقية خشنة (μ = 0,1). يمتدّ منه خيط خفيف فوق بكرة ملساء عند حافة الطاولة إلى جسم معلّق كتلته 3 kg. يُترك النظام من السكون. أوجد سرعة الجسمين v بعد أن يهبط الجسم المعلّق 2,5 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 3 kgμ = 0,1d = 2,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

تُطلق رصاصة كتلتها 20 g أفقيًا في كتلة خشبية مقدارها 1 kg معلّقة بخيوط خفيفة، وتستقر داخلها. تتأرجح الكتلة إلى الأعلى حتى تصبح أعلى بمقدار 11 cm من البداية. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 20 gM = 1 kgh = 11 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

سيارة كتلتها 1100 kg تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1500 kg. يلتحم الحطامان وينزلقان 25 m قبل التوقّف. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,6. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة السيارة الأولى v₁ قبيل التصادم.

m₁ = 1100 kgm₂ = 1500 kgd = 25 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 8 kg وطوله 0,9 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ومُمسَك أفقيًا. يُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة الرأسية R التي يؤثّر بها المسمار على القضيب مباشرةً بعد تركه.

m = 8 kgL = 0,9 mg = 9,81 m/s²

R = N

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل طوق رقيق كتلته 2,5 kg يتدحرج دون انزلاق بسرعة 9 m/s. أوجد طاقته الحركية الدورانية E_rot.

m = 2,5 kgv = 9 m/sI = m·r²

E_rot = J

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 1,5 kW يعمل بسرعة 1440 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 25 سنًّا وموديول 3 mm. أوجد القوة المماسية F_t على أسنان الترس الصغير.

P = 1,5 kWn = 1440 rpmN₁ = 25m = 3 mm

F_t = N

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدور الترس A (18 سنًّا) على عمود الدخل بسرعة 3000 rpm ويدير الترس B (50 سنًّا). الترس C (25 سنًّا) مثبَّت على عمود B نفسه ويدير الترس D على عمود الخرج. يجب أن يدور الخرج بسرعة 900 rpm. كم سنًّا N_D يجب أن يكون للترس D؟

n_in = 3000 rpmA = 18B = 50C = 25n_out = 900 rpm

N_D =

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 1,3 kg على نابض k = 280 N/m تُسحب 13 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد إزاحتها x عن موضع الاتزان عند t = 0,35 s (مع الإشارة).

m = 1,3 kgk = 280 N/mA = 13 cmt = 0,35 s

x = cm

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 0,7 kg على نابض k = 250 N/m تُسحب 3 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد الطاقة الكلية E للاهتزاز.

m = 0,7 kgk = 250 N/mA = 3 cm

E = J

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 20 mm بعد دورة واحدة قمةٌ مقدارها 14,6 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 20 mmx₁ = 14,6 mmn = 1

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بالنابض k₃ = 12 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 20 kN/m و k₂ = 30 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 10 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 7,143 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·7) = 7,143 m

الإجابة

s = 7,143 m

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 31,27 m

الارتفاع فوق السطح

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 5²/(2·9,81) = 1,274 m

الارتفاع فوق الأرض

h_max = 30 + 1,274 = 31,27 m

الإجابة

h_max = 31,27 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 6,306 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0) = 6,306 m/s²

الإجابة

a = 6,306 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 4,377 m/s²

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 5,886)/6,5 = 4,377 m/s²

الإجابة

a = 4,377 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: y = 6,941 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

الزمن حتى الجدار

v_x = 22·cos 35° = 18,02 m/s

t = x/v_x = 32/18,02 = 1,776 s

الارتفاع في تلك اللحظة

y = 12,62·1,776 − ½·9,81·1,776² = 6,941 m

الإجابة

y = 6,941 m

الكرة في طريقها إلى الأسفل أصلًا عند الجدار.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 62,84 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 15° = 16,42 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 15° = 4,4 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 55 + 4,4·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4,4 + √(19,36 + 1079))/9,81 = 3,827 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 16,42·3,827 = 62,84 m

الإجابة

x = 62,84 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 20,78 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·55) = 20,78 m/s

الإجابة

v_max = 20,78 m/s (74,79 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 40,84 N

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,3·9,81 + 1,3·5,5²/1,4 = 12,75 + 28,09 = 40,84 N

الإجابة

T = 40,84 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 8,574 m/s

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

موازنة الطاقة على المنحدر

ينخفض الجسم مسافة رأسية d·sin θ بينما يسلب الاحتكاك μmg·cos θ·d. تُختصر الكتلة.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·10·(0,6428 − 0,35·0,766)) = 8,574 m/s

الإجابة

v = 8,574 m/s

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 4,698 m/s

الطاقة المحرَّرة والمفقودة

m₂g·d = 29,43·2,5 = 73,58 J

μ·m₁g·d = 0,1·29,43·2,5 = 7,357 J

الطاقة الحركية للجسمين

½(m₁ + m₂)v² = 66,22 → v = √(2·66,22/6) = 4,698 m/s

الإجابة

v = 4,698 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 74,92 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

التأرجح بعد الاصطدام

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,11) = 1,469 m/s

تصادم

m·v = (m + M)·V → v = (0,02 + 1)·1,469/0,02 = 74,92 m/s

الإجابة

v = 74,92 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v₁ = 40,55 m/s

السرعة بعد التصادم

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·25) = 17,16 m/s

كمية الحركة في التصادم

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·17,16/1100 = 40,55 m/s

الإجابة

v₁ = 40,55 m/s

(146 km/h)

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: R = 19,62 N

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

العزوم حول المسمار

لحظة الترك ω = 0، لذا لا يوجد تسارع مركزي ويتسارع المركز رأسيًا إلى الأسفل.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·0,9) = 16,35 rad/s²

القوى الرأسية

a_G = α·L/2 = 7,357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 8·(9,81 − 7,357) = 19,62 N

الإجابة

R = 19,62 N

R = m·g/4، مستقلة عن الطول.

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: E_rot = 101,3 J

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

الجزآن الانتقالي والدوراني

E_trans = ½·m·v² = ½·2,5·9² = 101,3 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·101,3 = 101,3 J

الإجابة

E_rot = 101,3 J

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: F_t = 265,3 N

هندسة التروس: الموديول m يحدّد حجم السن. الترس ذو N سنًّا قطر خطوته d = m·N، والترسان المتعشّقان لهما الموديول نفسه، والمسافة بين مركزيهما a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. سرعة خط الخطوة v = π·d·n/60، وقوة السن المماسية تُستنتج من العزم: F_t = 2T/d.

العزم على الترس الصغير

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 1500/150,8 = 9,947 N·m

قطر الخطوة

d = m·N = 3·25 = 75 mm

القوة المماسية

F_t = 2T/d = 2·9,947/0,075 = 265,3 N

الإجابة

F_t = 265,3 N

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N_D = 30

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

سرعة العمود الوسيط

n_B = n_C = 3000·18/50 = 1080 rpm

أسنان الترس D

N_D = C·n_C/n_out = 25·1080/900 = 30

الإجابة

N_D = 30

17.النوابض والبندولات

الإجابة: x = 5,351 cm

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(280/1,3) = 14,68 rad/s

ω·t = 14,68·0,35 = 5,137 rad

الإزاحة

x = A·cos(ω·t) = 13·cos(5,137) = 5,351 cm

الإجابة

x = 5,351 cm

18.النوابض والبندولات

الإجابة: E = 0,1125 J

التردد الزاوي

ω = √(250/0,7) = 18,9 rad/s

الطاقة

E = ½·k·A² = ½·250·0,03² = 0,1125 J

الإجابة

E = 0,1125 J

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,05003

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/1)·ln(20/14,6) = 0,3147

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3147/√(39,48 + 0,09904) = 0,05003

الإجابة

ζ = 0,05003

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 4,951 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 20 + 30 = 50 kN/m

k_eq = 50·12/(50 + 12) = 9,677 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(9677/10) = 31,11 rad/s

f_n = 31,11/(2π) = 4,951 Hz

الإجابة

f_n = 4,951 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics