الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سائقة تسير بسرعة 108 km/h ترى عائقًا. زمن ردّ فعلها 0,7 s، تكبح السيارة بعده بتباطؤ ثابت 4 m/s². أوجد مسافة التوقّف الكلية d من لحظة رؤيتها العائق.

v₀ = 108 km/ht_r = 0,7 sa = −4 m/s²

d = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 16 m/s من حافة سطح يرتفع 35 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 16 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

زلّاجة كتلتها 25 kg تُسحب على ثلج مستوٍ بحبل يميل 35° فوق الأفق بقوة 180 N. معامل الاحتكاك الحركي 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الزلّاجة a.

m = 25 kgF = 180 Nθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 5,5 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 4,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 20° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 40 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

t = s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 22 m/s وبزاوية 35° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 20 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع H فوق الأرض عند أسفل الجرف.

v₀ = 22 m/sθ = 35°h = 20 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

في لعبة الدوّار بمدينة الملاهي يقف الراكبون مستندين إلى جدار أسطوانة رأسية نصف قطرها 3 m. عندما تدور بسرعة كافية تنخفض الأرضية ويثبّتهم الاحتكاك. معامل الاحتكاك السكوني 0,7. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر سرعة زاوية ω بوحدة rad/s.

r = 3 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.الحركة الدائريةصعبة

تُترك عربة صغيرة من السكون على مسار عديم الاحتكاك وتدخل حلقة رأسية نصف قطرها 9,5 m. من أيّ ارتفاع أدنى h_min فوق قاع الحلقة يجب أن تبدأ كي تبقى على المسار عند قمة الحلقة؟

R = 9,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.الشغل والطاقةمتوسطة

لقاذف ألعاب نابض رأسي صلابته 2000 N/m. توضع عليه كرة كتلتها 0,15 kg ويُضغط النابض بمقدار 2 cm ثم يُترك. بإهمال مقاومة الهواء وكتلة النابض، أوجد الارتفاع h الذي ترتفعه الكرة، مقيسًا من موضعها عندما كان النابض مضغوطًا.

m = 0,15 kgk = 2000 N/mx = 2 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 1 kg من السكون على ارتفاع 2 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 3,5 m (μ = 0,1) ثم يصطدم بنابض (k = 500 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 1 kgh = 2 mL = 3,5 mμ = 0,1k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 2,5 kg يتحرك بسرعة 10 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 2 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 2,5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,2 kg تصطدم بجدار بسرعة 9 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 20 m/s. يدوم التلامس 50 ms. أوجد متوسط القوة F_avg التي يؤثر بها الجدار على الكرة.

m = 0,2 kgv_in = 9 m/sv_out = 20 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 3 kg وطوله 0,7 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ويُترك من السكون في وضع أفقي. أهمل الاحتكاك واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الطرف الحر v لحظة مرور القضيب بالوضع الرأسي.

m = 3 kgL = 0,7 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل أسطوانة مصمتة يبدأ من السكون ويتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 40° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعته v بعد أن يتدحرج 7,5 m على امتداد المنحدر.

θ = 40°s = 7,5 mI = ½·m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

دودة لها 3 مدخل (مداخل) تدور بسرعة 1450 rpm وتدير عجلة دودية لها 40 سنًّا. أوجد سرعة العجلة n_w.

z = 3N_w = 40n = 1450 rpm

n_w = rpm

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (18 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 960 rpm الترسَ B (48 سنًّا). الترس C (15 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (50 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 960 rpmA = 18B = 48C = 15D = 50

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 1,7 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 1,7 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 1,3 kg على نابض k = 20 N/m تُسحب 11 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد الطاقة الكلية E للاهتزاز.

m = 1,3 kgk = 20 N/mA = 11 cm

E = J

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 40 mm بعد 3 دورات قمةٌ مقدارها 15,6 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 40 mmx₃ = 15,6 mmn = 3

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 100 kg معلّقة بالنابض k₃ = 10 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 50 kN/m و k₂ = 30 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 100 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: d = 133,5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

الوحدات

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

مسافة ردّ الفعل

d₁ = v₀·t_r = 30·0,7 = 21 m

مسافة الكبح

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·4) = 112,5 m

المجموع

d = 21 + 112,5 = 133,5 m

الإجابة

d = 133,5 m

2.علم الحركة

الإجابة: t = 4,761 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−35 = 16·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 16·t − 35 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (16 + √(16² + 2·9,81·35))/9,81 = 4,761 s

الإجابة

t = 4,761 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 4,194 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوة العمودية

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 180·sin 35° = 142 N

القوى الأفقية

m·a = F·cos θ − μ·N = 147,4 − 42,6

a = 104,8/25 = 4,194 m/s²

الإجابة

a = 4,194 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 3,066 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 13,49)/10 = 3,066 m/s²

الإجابة

a = 3,066 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 2,789 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 20° = 37,59 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 20° = 13,68 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·13,68/9,81 = 2,789 s

الإجابة

t = 2,789 s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 28,12 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

سرعة القذف الرأسية

v_y = 22·sin 35° = 12,62 m/s

الارتفاع فوق الجرف

Δh = v_y²/(2g) = 12,62²/(2·9,81) = 8,116 m

الارتفاع فوق الأرض

H = 20 + 8,116 = 28,12 m

الإجابة

H = 28,12 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: ω = 2,161 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

القوى على الراكب

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

السرعة الزاوية

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,7·3)) = 2,161 rad/s

الإجابة

ω = 2,161 rad/s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: h_min = 23,75 m

الشرط عند القمة

m·g = m·v²/R → v² = g·R

حفظ الطاقة

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·9,5 = 23,75 m

الإجابة

h_min = 23,75 m

9.الشغل والطاقة

الإجابة: h = 0,2718 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

طاقة النابض

x = 2 cm = 0,02 m

½kx² = ½·2000·0,02² = 0,4 J

الارتفاع

m·g = 0,15·9,81 = 1,472 N

h = ½kx²/(mg) = 0,4/1,472 = 0,2718 m

الإجابة

h = 0,2718 m

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 25,45 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 9,81·(2 − 0,1·3,5) = 16,19 J

أقصى انضغاط

½kx² = 16,19 → x = √(2·16,19/500) = 0,2545 m = 25,45 cm

الإجابة

x = 25,45 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = 1,111 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (2,5 − 2)/(2,5 + 2)·10 = 1,111 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 2)·10 = 11,11 m/s

الإجابة

v′₁ = 1,111 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: F_avg = 116 N

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,2·(20 + 9) = 5,8 N·s

متوسط القوة

F_avg = J/Δt = 5,8/0,05 = 116 N

الإجابة

F_avg = 116 N

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: v = 4,539 m/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

الفقد في طاقة الوضع

m·g·L/2 = 3·9,81·0,35 = 10,3 J

عزم القصور الذاتي حول المسمار

I_O = m·L²/3 = 3·0,7²/3 = 0,49 kg·m²

موازنة الطاقة

½·I_O·ω² = 10,3 → ω = √(2·10,3/0,49) = 6,484 rad/s

v = ω·L = 6,484·0,7 = 4,539 m/s

الإجابة

v = 4,539 m/s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: v = 7,941 m/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

الارتفاع المهبوط

h = s·sin θ = 7,5·sin 40° = 4,821 m

موازنة الطاقة مع التدحرج

التدحرج دون انزلاق: ω = v/r، والاحتكاك لا يبذل شغلًا عند نقطة التلامس.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,5)

v = √(2·9,81·4,821/1,5) = 7,941 m/s

الإجابة

v = 7,941 m/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_w = 108,8 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العجلة

n_w = n·z/N_w = 1450·3/40 = 108,8 rpm

الإجابة

n_w = 108,8 rpm

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 108 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 960·18/48 = 360 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 360·15/50 = 108 rpm

الإجابة

n_out = 108 rpm

النسبة الكلية = 8,889 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 2,616 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(1,7/9,81) = 2,616 s

الإجابة

T = 2,616 s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: E = 0,121 J

التردد الزاوي

ω = √(20/1,3) = 3,922 rad/s

الطاقة

E = ½·k·A² = ½·20·0,11² = 0,121 J

الإجابة

E = 0,121 J

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,04989

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/3)·ln(40/15,6) = 0,3139

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3139/√(39,48 + 0,09851) = 0,04989

الإجابة

ζ = 0,04989

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 1,501 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 50 + 30 = 80 kN/m

k_eq = 80·10/(80 + 10) = 8,889 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(8889/100) = 9,428 rad/s

f_n = 9,428/(2π) = 1,501 Hz

الإجابة

f_n = 1,501 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics