الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 50 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 5 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 50 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

يُطلق صاروخ نموذجي رأسيًا إلى الأعلى من السكون. يمنحه محرّكه تسارعًا ثابتًا إلى الأعلى مقداره 36 m/s² لمدة 2 s، ثم يتوقّف المحرّك ويتحرّك الصاروخ حرًّا. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max يبلغه الصاروخ.

a = 36 m/s²t₁ = 2 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 19 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 25° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 19 kgθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 6 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 2,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 6 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُركل كرة من أرض مستوية بسرعة 38 m/s وبزاوية 35° فوق الأفق نحو جدار على بعد 28 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y تمرّ الكرة بالجدار؟

v₀ = 38 m/sθ = 35°x = 28 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 22 m/s وبزاوية 20° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 25 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد السرعة v التي ترتطم بها بالأرض.

v₀ = 22 m/sθ = 20°h = 25 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.الحركة الدائريةمتوسطة

منعطف نصف قطره 370 m مائل بزاوية 18°. بأيّ سرعة v يمكن لسيارة أن تسلكه دون أي حاجة إلى الاحتكاك؟ استخدم g = 9,81 m/s².

r = 370 mθ = 18°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

منعطف نصف قطره 140 m مائل بزاوية 10°، ومعامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أعلى سرعة v_max يمكن لسيارة أن تسلك بها المنعطف دون أن تنزلق إلى الأعلى والخارج.

r = 140 mθ = 10°μ_s = 0,2g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

لقاذف ألعاب نابض رأسي صلابته 400 N/m. توضع عليه كرة كتلتها 0,25 kg ويُضغط النابض بمقدار 5 cm ثم يُترك. بإهمال مقاومة الهواء وكتلة النابض، أوجد الارتفاع h الذي ترتفعه الكرة، مقيسًا من موضعها عندما كان النابض مضغوطًا.

m = 0,25 kgk = 400 N/mx = 5 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 10 kg من السكون على ارتفاع 2 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 1 m (μ = 0,25) ثم يصطدم بنابض (k = 2500 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 10 kgh = 2 mL = 1 mμ = 0,25k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 2 kg يتحرك بسرعة 3 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 1,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 2 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

سيارة كتلتها 1700 kg تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1700 kg. يلتحم الحطامان وينزلقان 7,5 m قبل التوقّف. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,7. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة السيارة الأولى v₁ قبيل التصادم.

m₁ = 1700 kgm₂ = 1700 kgd = 7,5 mμ = 0,7g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

يعطي محرّك عزمًا مقداره 1470 N·m بسرعة 1000 rpm. أوجد قدرة خرجه P بوحدة kW.

T = 1470 N·mn = 1000 rpm

P = kW

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

يقف شخص على قرص دوّار عديم الاحتكاك ويمسك ثقلًا يدويًا كتلته 2 kg في كل يد، على بعد 0,8 m من المحور. عزم القصور الذاتي للشخص والقرص الدوّار وحدهما 2,5 kg·m² حول المحور. يدوران بسرعة 40 rpm، ثم يسحب الثقلين إلى 0,2 m من المحور. عامل الثقلين ككتلتين نقطيتين. أوجد السرعة الجديدة n₂ بوحدة rpm.

I₀ = 2,5 kg·m²m = 2 × 2 kgr₁ = 0,8 mr₂ = 0,2 mn₁ = 40 rpm

n₂ = rpm

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

عمودان متوازيان المسافة بينهما 180 mm. يجب وصلهما بزوج من التروس المستقيمة بموديول 2,5 mm وتخفيض سرعة 5 : 1. كم سنًّا N₁ يجب أن يكون للترس الصغير؟

a = 180 mmm = 2,5 mmi = 5

N₁ =

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (30 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 960 rpm الترسَ B (40 سنًّا). الترس C (16 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (24 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 960 rpmA = 30B = 40C = 16D = 24

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 0,6 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 0,6 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 1,7 kg على نابض k = 70 N/m تُسحب 3 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى تسارع لها a_max.

m = 1,7 kgk = 70 N/mA = 3 cm

a_max = m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 12 kg على نابض جساءته 2 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,6. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 12 kgk = 2 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 100 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 10 kN/m و k₂ = 40 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 100 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 19,29 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·5) = 19,29 m

الإجابة

s = 19,29 m

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 336,2 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

مرحلة الدفع

v₁ = 36·2 = 72 m/s

h₁ = ½·36·2² = 72 m

الطيران الحرّ صعودًا

عند القمة تكون السرعة صفرًا.

Δh = v₁²/(2g) = 72²/(2·9,81) = 264,2 m

h_max = 72 + 264,2 = 336,2 m

الإجابة

h_max = 336,2 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 2,812 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 25° − 0,15·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,1359) = 2,812 m/s²

الإجابة

a = 2,812 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 21,64 N

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 14,71)/8,5 = 1,154 m/s²

قوة الشد من الجسم الموجود على الطاولة

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6·1,154 + 14,71 = 21,64 N

الإجابة

T = 21,64 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: y = 15,64 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

الزمن حتى الجدار

v_x = 38·cos 35° = 31,13 m/s

t = x/v_x = 28/31,13 = 0,8995 s

الارتفاع في تلك اللحظة

y = 21,8·0,8995 − ½·9,81·0,8995² = 15,64 m

الإجابة

y = 15,64 m

الكرة لا تزال ترتفع عند الجدار.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: v = 31,22 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 22·cos 20° = 20,67 m/s

v_y0 = 22·sin 20° = 7,524 m/s

السرعة الرأسية عند الارتطام

الطاقة أو v² = v₀² + 2as في الاتجاه الرأسي.

v_y = √(7,524² + 2·9,81·25) = 23,39 m/s

سرعة الارتطام

v = √(20,67² + 23,39²) = 31,22 m/s

الإجابة

v = 31,22 m/s

تحقّق بالطاقة: v² = v₀² + 2gh.

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v = 34,34 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

موازنة القوى

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

السرعة

v = √(r·g·tan θ) = √(370·9,81·tan 18°) = 34,34 m/s

الإجابة

v = 34,34 m/s

(123,6 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 23,15 m/s

موازنات القوى

يتجه الاحتكاك إلى أسفل المنحدر.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

السرعة

v = √(140·9,81·0,3706/0,9501) = 23,15 m/s

الإجابة

v_max = 23,15 m/s

(83,33 km/h)

9.الشغل والطاقة

الإجابة: h = 0,2039 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

طاقة النابض

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·400·0,05² = 0,5 J

الارتفاع

m·g = 0,25·9,81 = 2,453 N

h = ½kx²/(mg) = 0,5/2,453 = 0,2039 m

الإجابة

h = 0,2039 m

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 37,06 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 98,1·(2 − 0,25·1) = 171,7 J

أقصى انضغاط

½kx² = 171,7 → x = √(2·171,7/2500) = 0,3706 m = 37,06 cm

الإجابة

x = 37,06 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 3,429 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (2 − 1,5)/(2 + 1,5)·3 = 0,4286 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 1,5)·3 = 3,429 m/s

الإجابة

v′₂ = 3,429 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v₁ = 20,3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

السرعة بعد التصادم

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,7·9,81·7,5) = 10,15 m/s

كمية الحركة في التصادم

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3400·10,15/1700 = 20,3 m/s

الإجابة

v₁ = 20,3 m/s

(73,07 km/h)

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: P = 153,9 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

القدرة

P = T·ω = 1470·104,7 = 153938 W = 153,9 kW

الإجابة

P = 153,9 kW

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: n₂ = 76,09 rpm

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

عزوم القصور الذاتي

I₁ = 2,5 + 2·2·0,8² = 5,06 kg·m²

I₂ = 2,5 + 2·2·0,2² = 2,66 kg·m²

حفظ كمية الحركة الزاوية

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 40·5,06/2,66 = 76,09 rpm

الإجابة

n₂ = 76,09 rpm

تزداد الطاقة الحركية: الطاقة الإضافية تأتي من الشغل الذي يبذله الشخص لسحب الثقلين.

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N₁ = 24

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

العدد الكلي للأسنان

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·180/2,5 = 144

قسّم وفق النسبة

N₁ = 144/(1 + 5) = 24

الإجابة

N₁ = 24

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 480 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 960·30/40 = 720 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 720·16/24 = 480 rpm

الإجابة

n_out = 480 rpm

النسبة الكلية = 2 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 1,554 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(0,6/9,81) = 1,554 s

الإجابة

T = 1,554 s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: a_max = 1,235 m/s²

التردد الزاوي

ω = √(70/1,7) = 6,417 rad/s

أقصى تسارع

a_max = A·ω² = 0,03·6,417² = 1,235 m/s²

الإجابة

a_max = 1,235 m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 1,644 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(2000/12) = 12,91 rad/s

f_n = 12,91/(2π) = 2,055 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,055·√(1 − 0,6²) = 1,644 Hz

الإجابة

f_d = 1,644 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 3,559 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 40 = 50 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(50000/100) = 22,36 rad/s

f_n = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

الإجابة

f_n = 3,559 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics