الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة مسرعة بسرعة ثابتة 19 m/s تمرّ بسيارة شرطة متوقّفة. في تلك اللحظة تنطلق سيارة الشرطة وتتسارع بانتظام بمقدار 4 m/s². على أيّ بعد من نقطة انطلاقها تلحق سيارة الشرطة بها؟ أوجد d.

v_car = 19 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.علم الحركةصعبة

يُطلق صاروخ نموذجي رأسيًا إلى الأعلى من السكون. يمنحه محرّكه تسارعًا ثابتًا إلى الأعلى مقداره 38 m/s² لمدة 2 s، ثم يتوقّف المحرّك ويتحرّك الصاروخ حرًّا. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max يبلغه الصاروخ.

a = 38 m/s²t₁ = 2 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

صندوق كتلته 5 kg يُدفع إلى أعلى منحدر يميل 40° عن الأفق بسرعة ثابتة، بقوة موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,4. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الدفع F.

m = 5 kgθ = 40°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

F = N

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 7,5 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 5,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 45° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 18 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

x = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُرمى كرة من مستوى الأرض بسرعة 29 m/s وبزاوية 50° فوق الأفق. تهبط على السطح المستوي لمبنى ارتفاعه 15 m، وهي في طريقها إلى الأسفل. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد المسافة الأفقية x من نقطة القذف إلى موضع هبوطها.

v₀ = 29 m/sθ = 50°h_roof = 15 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

سيارة كتلتها 1600 kg تمرّ فوق قمة نتوء في الطريق بسرعة 7 m/s. قمة النتوء قوس دائري نصف قطره 50 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها الطريق على السيارة عند القمة.

m = 1600 kgv = 7 m/sr = 50 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1,3 kg مربوطة بخيط خفيف طوله 0,5 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة سرعتها 12 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T_top في الخيط عند أعلى نقطة.

m = 1,3 kgr = 0,5 mv_bottom = 12 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

كرة كتلتها 10 kg معلّقة بخيط خفيف طوله 2 m. تُسحب جانبًا حتى يصنع الخيط 20° مع الرأسي ثم تُترك من السكون. أوجد الشدّ T في الخيط عندما تمرّ الكرة بأدنى نقطة.

m = 10 kgL = 2 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

T = N

10.الشغل والطاقةصعبة

جسم كتلته 10 kg يبدأ من السكون عند أسفل منحدر بزاوية 35° ويُسحب إلى أعلى المنحدر بقوة ثابتة 105 N موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,1. أوجد سرعة الجسم v بعد أن يتحرّك 6 m إلى أعلى المنحدر.

m = 10 kgF = 105 Nθ = 35°μ = 0,1d = 6 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 4 kg يتحرك بسرعة 10 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 3,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 4 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,45 kg تصطدم بجدار بسرعة 12 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 9 m/s. يدوم التلامس 10 ms. أوجد مقدار الدفع J الذي يعطيه الجدار للكرة.

m = 0,45 kgv_in = 12 m/sv_out = 9 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

ينقل عمود 94,5 kW بسرعة 2600 rpm. أوجد العزم T في العمود.

P = 94,5 kWn = 2600 rpm

T = N·m

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل كرة مصمتة يبدأ من السكون ويتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 35° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعته v بعد أن يتدحرج 5,5 m على امتداد المنحدر.

θ = 35°s = 5,5 mI = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

عمودان متوازيان المسافة بينهما 101,3 mm. يجب وصلهما بزوج من التروس المستقيمة بموديول 2,5 mm وتخفيض سرعة 3,5 : 1. كم سنًّا N₁ يجب أن يكون للترس الصغير؟

a = 101,3 mmm = 2,5 mmi = 3,5

N₁ =

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 160 mm تدور بسرعة 1500 rpm وبكرة قطرها 500 mm؛ والمسافة بين المركزين 600 mm. معامل الاحتكاك 0,25 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 1500 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d₁ = 160 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 500 mmC = 600 mmμ = 0,25T₁ = 1500 N

P = kW

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 2,8 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 2,8 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة على نابض k = 310 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 5 cm. أوجد طاقتها الحركية K عندما تكون على بعد 3 cm من موضع الاتزان.

k = 310 N/mA = 5 cmx = 3 cm

K = J

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 20 kg يحملها نابض جساءته 100 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 710 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 20 kgk = 100 kN/mc = 710 N·s/m

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 80 kN/m والسفلي k₂ = 80 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: d = 180,5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

تساوي المسافتين

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·19/4 = 9,5 s

المسافة

d = v·t = 19·9,5 = 180,5 m

الإجابة

d = 180,5 m

في تلك اللحظة تتحرّك سيارة الشرطة بسرعة 2v = 38 m/s.

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 370,4 m

مرحلة الدفع

v₁ = 38·2 = 76 m/s

h₁ = ½·38·2² = 76 m

الطيران الحرّ صعودًا

عند القمة تكون السرعة صفرًا.

Δh = v₁²/(2g) = 76²/(2·9,81) = 294,4 m

h_max = 76 + 294,4 = 370,4 m

الإجابة

h_max = 370,4 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: F = 46,56 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوى على امتداد المنحدر

سرعة ثابتة: القوى متوازنة.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

قوة الدفع

F = 31,53 + 15,03 = 46,56 N

الإجابة

F = 46,56 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 38,91 N

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 18,39)/13 = 2,735 m/s²

قوة الشد من الجسم الموجود على الطاولة

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7,5·2,735 + 18,39 = 38,91 N

الإجابة

T = 38,91 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 33,03 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 45° = 12,73 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 45° = 12,73 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·12,73/9,81 = 2,595 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 12,73·2,595 = 33,03 m

الإجابة

x = 33,03 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 69,03 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 18,64 m/s, v_y = 22,22 m/s

الزمن حتى الهبوط على السطح

الجذر الأكبر: الكرة نازلة.

15 = 22,22·t − 4,905·t²

t = (22,22 + √(22,22² − 2·9,81·15))/9,81 = 3,703 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 18,64·3,703 = 69,03 m

الإجابة

x = 69,03 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: N = 14128 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

القوى عند القمة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأسفل) موجب.

m·g − N = m·v²/r

N = 1600·9,81 − 1600·7²/50 = 15696 − 1568 = 14128 N

الإجابة

N = 14128 N

تبدو السيارة أخفّ: يدفعها الطريق إلى الأعلى بأقل من وزنها.

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T_top = 310,6 N

السرعة عند القمة

تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة وضع على ارتفاع 2r.

v_top² = 12² − 4·9,81·0,5 = 124,4 m²/s²

القوى عند القمة

الشدّ والجاذبية كلاهما يتجهان إلى الأسفل، نحو المركز.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,3·124,4/0,5 − 1,3·9,81 = 310,6 N

الإجابة

T_top = 310,6 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: T = 109,9 N

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). على مسار دائري يجب أن تساوي القوة المحصّلة نحو المركز mv²/r.

السرعة عند الأسفل

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 20°) = 2,366 m²/s²

القوى عند الأسفل

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

T = mg + mv²/L = 98,1 + 10·2,366/2 = 109,9 N

الإجابة

T = 109,9 N

تحقّق: T = mg(3 − 2cos θ) = 109,9 N.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 6,988 m/s

القوى على امتداد المنحدر

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 56,27 N

μ·mg·cos θ = 8,036 N

الشغل والطاقة

½mv² = (105 − 64,3)·6 = 244,2 J

v = √(2·244,2/10) = 6,988 m/s

الإجابة

v = 6,988 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 10,67 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (4 − 3,5)/(4 + 3,5)·10 = 0,6667 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 3,5)·10 = 10,67 m/s

الإجابة

v′₂ = 10,67 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: J = 9,45 N·s

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,45·(9 + 12) = 9,45 N·s

الإجابة

J = 9,45 N·s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: T = 347,1 N·m

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·2600/60 = 272,3 rad/s

العزم

T = P/ω = 94500/272,3 = 347,1 N·m

الإجابة

T = 347,1 N·m

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: v = 6,649 m/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

الارتفاع المهبوط

h = s·sin θ = 5,5·sin 35° = 3,155 m

موازنة الطاقة مع التدحرج

التدحرج دون انزلاق: ω = v/r، والاحتكاك لا يبذل شغلًا عند نقطة التلامس.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,4)

v = √(2·9,81·3,155/1,4) = 6,649 m/s

الإجابة

v = 6,649 m/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N₁ = 18

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

العدد الكلي للأسنان

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·101,3/2,5 = 81

قسّم وفق النسبة

N₁ = 81/(1 + 3,5) = 18

الإجابة

N₁ = 18

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 8,928 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية الالتفاف

θ = 2,567 rad

الشد في الجانب المرتخي

e^μθ = e^0,6418 = 1,9, T₂ = 1500/1,9 = 789,5 N

القدرة

P = (1500 − 789,5)·12,57 = 8,928 kW

الإجابة

P = 8,928 kW

17.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 3,357 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(2,8/9,81) = 3,357 s

الإجابة

T = 3,357 s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: K = 0,248 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

الطاقة الكلية

E = ½·k·A² = ½·310·0,05² = 0,3875 J

طاقة النابض عند x

U = ½·k·x² = ½·310·0,03² = 0,1395 J

الطاقة الحركية

K = 0,3875 − 0,1395 = 0,248 J

الإجابة

K = 0,248 J

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,251

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·20) = 2828 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 710/2828 = 0,251

الإجابة

ζ = 0,251

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 40 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/80 → k_eq = 80·80/(80 + 80) = 40 kN/m

الإجابة

k_eq = 40 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics