الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سائقة تسير بسرعة 80 km/h ترى عائقًا. زمن ردّ فعلها 1 s، تكبح السيارة بعده بتباطؤ ثابت 7 m/s². أوجد مسافة التوقّف الكلية d من لحظة رؤيتها العائق.

v₀ = 80 km/ht_r = 1 sa = −7 m/s²

d = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 20 m/s من حافة سطح يرتفع 20 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max فوق الأرض.

v₀ = 20 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 5 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 35° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 5 kgθ = 35°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 2,5 kg على منحدر يميل 25° موصول بخيط خفيف يمرّ فوق بكرة عديمة الاحتكاك أعلى المنحدر بكتلة معلّقة مقدارها 9,5 kg. الكتلة المعلّقة تتحرّك إلى الأسفل. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 9,5 kgθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 24 m/s ويجب أن تهبط على بعد 30 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 24 m/sR = 30 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُرمى كرة من مستوى الأرض بسرعة 33 m/s وبزاوية 65° فوق الأفق. تهبط على السطح المستوي لمبنى ارتفاعه 6 m، وهي في طريقها إلى الأسفل. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد المسافة الأفقية x من نقطة القذف إلى موضع هبوطها.

v₀ = 33 m/sθ = 65°h_roof = 6 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 45 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,6. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 45 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

عربة كتلتها 3,5 kg تُترك من السكون على ارتفاع 38,7 m على مسار عديم الاحتكاك وتمرّ بحلقة رأسية نصف قطرها 9 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N_bottom التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قاع الحلقة.

m = 3,5 kgh = 38,7 mR = 9 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

كرة كتلتها 2 kg معلّقة بخيط خفيف طوله 0,5 m. تُسحب جانبًا حتى يصنع الخيط 30° مع الرأسي ثم تُترك من السكون. أوجد الشدّ T في الخيط عندما تمرّ الكرة بأدنى نقطة.

m = 2 kgL = 0,5 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = N

10.الشغل والطاقةصعبة

جسم كتلته 3 kg يستقر على طاولة أفقية خشنة (μ = 0,4). يمتدّ منه خيط خفيف فوق بكرة ملساء عند حافة الطاولة إلى جسم معلّق كتلته 5 kg. يُترك النظام من السكون. أوجد سرعة الجسمين v بعد أن يهبط الجسم المعلّق 3 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 5 kgμ = 0,4d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

قذيفة كتلتها 15 kg تتحرّك أفقيًا بسرعة 17 m/s تنفجر إلى شظيتين تتحرّكان على الخط نفسه. تواصل الشظية ذات الكتلة 11 kg إلى الأمام بسرعة 32 m/s. أوجد سرعة v′₂ الشظية ذات الكتلة 4 kg (موجبة في الاتجاه الأصلي).

M = 15 kgu = 17 m/sm₁ = 11 kgv′₁ = 32 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,6 kg تصطدم بجدار بسرعة 24 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 10 m/s. يدوم التلامس 25 ms. أوجد متوسط القوة F_avg التي يؤثر بها الجدار على الكرة.

m = 0,6 kgv_in = 24 m/sv_out = 10 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

حدّافة عزم قصورها الذاتي 15,5 kg·m² تدور بسرعة 1600 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 170 N·m. كم من الوقت t تستغرق حتى تتوقّف؟

I = 15,5 kg·m²n = 1600 rpmT_b = 170 N·m

t = s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل أسطوانة مصمتة يبدأ من السكون ويتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 40° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعته v بعد أن يتدحرج 9,5 m على امتداد المنحدر.

θ = 40°s = 9,5 mI = ½·m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

تدير بكرة قطرها 100 mm تدور بسرعة 720 rpm بكرةً قطرها 300 mm بسير انزلاقه 2 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n₂.

n₁ = 720 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 300 mms = 2 %

n₂ = rpm

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدور الترس A (15 سنًّا) على عمود الدخل بسرعة 1500 rpm ويدير الترس B (30 سنًّا). الترس C (30 سنًّا) مثبَّت على عمود B نفسه ويدير الترس D على عمود الخرج. يجب أن يدور الخرج بسرعة 625 rpm. كم سنًّا N_D يجب أن يكون للترس D؟

n_in = 1500 rpmA = 15B = 30C = 30n_out = 625 rpm

N_D =

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

يجد رائد فضاء على كوكب آخر أن بندولًا بسيطًا طوله 1,5 m زمنه الدوري 1,55 s للتأرجحات الصغيرة. أوجد تسارع الجاذبية g على ذلك الكوكب.

L = 1,5 mT = 1,55 s

g = m/s²

18.النوابض والبندولاتصعبة

رصاصة كتلتها 10 g تتحرّك بسرعة 350 m/s تصطدم بكتلة مقدارها 3 kg ساكنة على سطح أملس وتستقر فيها. الكتلة موصولة بنابض أفقي k = 1200 N/m. أوجد سعة الاهتزاز الناتج A بوحدة cm.

m = 10 gv = 350 m/sM = 3 kgk = 1200 N/m

A = cm

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 25 mm بعد 4 دورات قمةٌ مقدارها 9,1 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 25 mmx₄ = 9,1 mmn = 4

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بالنابض k₃ = 50 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 60 kN/m و k₂ = 40 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 10 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: d = 57,5 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

مسافة ردّ الفعل

d₁ = v₀·t_r = 22,22·1 = 22,22 m

مسافة الكبح

d₂ = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·7) = 35,27 m

المجموع

d = 22,22 + 35,27 = 57,5 m

الإجابة

d = 57,5 m

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 40,39 m

الارتفاع فوق السطح

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 20²/(2·9,81) = 20,39 m

الارتفاع فوق الأرض

h_max = 20 + 20,39 = 40,39 m

الإجابة

h_max = 40,39 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 4,421 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 35° − 0,15·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,1229) = 4,421 m/s²

الإجابة

a = 4,421 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 31,14 N

القوى على امتداد الخيط

m₂·g = 93,2 N

m₁·g·sin θ = 10,36 N

μ·m₁·g·cos θ = 4,445 N

تسارع النظام

a = (93,2 − 10,36 − 4,445)/12 = 6,532 m/s²

الشدّ من الكتلة المعلّقة

m₂·g − T = m₂·a → T = 9,5·(9,81 − 6,532) = 31,14 N

الإجابة

T = 31,14 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 15,36 °

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·30/24² = 0,5109

الزاوية

2θ = 30,73° → θ = 15,36°

الإجابة

θ = 15,36°

الحل الآخر 90° − θ = 74,64°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 82,14 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 13,95 m/s, v_y = 29,91 m/s

الزمن حتى الهبوط على السطح

الجذر الأكبر: الكرة نازلة.

6 = 29,91·t − 4,905·t²

t = (29,91 + √(29,91² − 2·9,81·6))/9,81 = 5,89 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 13,95·5,89 = 82,14 m

الإجابة

x = 82,14 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 16,27 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·45) = 16,27 m/s

الإجابة

v_max = 16,27 m/s (58,59 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: N_bottom = 329,6 N

السرعة من حفظ الطاقة

v² = 2·9,81·38,7 = 759,3 m²/s²

القوى

الاتجاه نحو المركز موجب.

N = m·v²/R + m·g = 3,5·759,3/9 + 34,34 = 329,6 N

الإجابة

N_bottom = 329,6 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: T = 24,88 N

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). على مسار دائري يجب أن تساوي القوة المحصّلة نحو المركز mv²/r.

السرعة عند الأسفل

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,5·(1 − cos 30°) = 1,314 m²/s²

القوى عند الأسفل

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

T = mg + mv²/L = 19,62 + 2·1,314/0,5 = 24,88 N

الإجابة

T = 24,88 N

تحقّق: T = mg(3 − 2cos θ) = 24,88 N.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 5,288 m/s

الطاقة المحرَّرة والمفقودة

m₂g·d = 49,05·3 = 147,2 J

μ·m₁g·d = 0,4·29,43·3 = 35,32 J

الطاقة الحركية للجسمين

½(m₁ + m₂)v² = 111,8 → v = √(2·111,8/8) = 5,288 m/s

الإجابة

v = 5,288 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = −24,25 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

كمية الحركة قبل التصادم

p = M·u = 15·17 = 255 kg·m/s

كمية الحركة بعد التصادم

255 = 11·32 + 4·v′₂

v′₂ = (255 − 352)/4 = −24,25 m/s

الإجابة

v′₂ = −24,25 m/s

إشارة السالب تعني أن الشظية الثانية تطير إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: F_avg = 816 N

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,6·(10 + 24) = 20,4 N·s

متوسط القوة

F_avg = J/Δt = 20,4/0,025 = 816 N

الإجابة

F_avg = 816 N

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: t = 15,28 s

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·1600/60 = 167,6 rad/s

التباطؤ والزمن

α = T_b/I = 170/15,5 = 10,97 rad/s²

t = ω/α = 167,6/10,97 = 15,28 s

الإجابة

t = 15,28 s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: v = 8,937 m/s

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

الارتفاع المهبوط

h = s·sin θ = 9,5·sin 40° = 6,106 m

موازنة الطاقة مع التدحرج

التدحرج دون انزلاق: ω = v/r، والاحتكاك لا يبذل شغلًا عند نقطة التلامس.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,5)

v = √(2·9,81·6,106/1,5) = 8,937 m/s

الإجابة

v = 8,937 m/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n₂ = 235,2 rpm

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

السرعة من دون انزلاق

720·100/300 = 240 rpm

مع الانزلاق

n₂ = 240·0,98 = 235,2 rpm

الإجابة

n₂ = 235,2 rpm

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N_D = 36

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

سرعة العمود الوسيط

n_B = n_C = 1500·15/30 = 750 rpm

أسنان الترس D

N_D = C·n_C/n_out = 30·750/625 = 36

الإجابة

N_D = 36

17.النوابض والبندولات

الإجابة: g = 24,65 m/s²

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

حلّ لإيجاد g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,5/1,55² = 24,65 m/s²

الإجابة

g = 24,65 m/s²

18.النوابض والبندولات

الإجابة: A = 5,824 cm

السرعة بعد الاصطدام

V = m·v/(m + M) = 0,01·350/3,01 = 1,163 m/s

التردد الزاوي

ω = √(k/(m + M)) = √(1200/3,01) = 19,97 rad/s

السعة

A = V/ω = 1,163/19,97 = 0,05824 m = 5,824 cm

الإجابة

A = 5,824 cm

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,04018

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/4)·ln(25/9,1) = 0,2527

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2527/√(39,48 + 0,06383) = 0,04018

الإجابة

ζ = 0,04018

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 9,189 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 60 + 40 = 100 kN/m

k_eq = 100·50/(100 + 50) = 33,33 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(33333/10) = 57,74 rad/s

f_n = 57,74/(2π) = 9,189 Hz

الإجابة

f_n = 9,189 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics