الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 36 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 8 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 36 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

يُسقَط حجر من السكون في بئر. يُسمع صوت ارتطامه بالماء بعد 1,7 s من إفلاته. سرعة الصوت 343 m/s؛ أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد عمق البئر d.

t_total = 1,7 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

صندوق كتلته 15 kg يُدفع إلى أعلى منحدر يميل 15° عن الأفق بسرعة ثابتة، بقوة موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الدفع F.

m = 15 kgθ = 15°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

F = N

4.قوانين نيوتنصعبة

يُدفع جسم فيبدأ الانزلاق إلى أعلى منحدر يميل 15° بسرعة 6,5 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². ما المسافة d التي ينزلقها على المنحدر قبل أن يتوقّف؟

v₀ = 6,5 m/sθ = 15°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 35° فوق الأفق وتهبط على بعد 50 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

θ = 35°R = 50 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُرمى كرة من مستوى الأرض بسرعة 35 m/s وبزاوية 30° فوق الأفق. تهبط على السطح المستوي لمبنى ارتفاعه 9 m، وهي في طريقها إلى الأسفل. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد المسافة الأفقية x من نقطة القذف إلى موضع هبوطها.

v₀ = 35 m/sθ = 30°h_roof = 9 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

كرة صغيرة مربوطة بخيط طوله 1,8 m تتحرّك في دائرة أفقية بحيث يصنع الخيط زاوية ثابتة 60° مع الرأسي (بندول مخروطي). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد الزمن T لدورة واحدة.

L = 1,8 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

T = s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة مربوطة بخيط طوله 1,3 m تُدار في دائرة رأسية. استخدم g = 9,81 m/s². ما أصغر سرعة v_min عند القمة يبقى عندها الخيط مشدودًا بالكاد؟

r = 1,3 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

كرة كتلتها 5 kg معلّقة بخيط خفيف طوله 0,8 m. تُسحب جانبًا حتى يصنع الخيط 90° مع الرأسي ثم تُترك من السكون. أوجد الشدّ T في الخيط عندما تمرّ الكرة بأدنى نقطة.

m = 5 kgL = 0,8 mθ = 90°g = 9,81 m/s²

T = N

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 2 kg من السكون على ارتفاع 4 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 4,5 m (μ = 0,15) ثم يصطدم بنابض (k = 1000 N/m) على سطح أملس. أوجد سرعة v الجسم عندما يصل إلى النابض.

m = 2 kgh = 4 mL = 4,5 mμ = 0,15k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

قذيفة كتلتها 12 kg تتحرّك أفقيًا بسرعة 32 m/s تنفجر إلى شظيتين تتحرّكان على الخط نفسه. تواصل الشظية ذات الكتلة 8 kg إلى الأمام بسرعة 69 m/s. أوجد سرعة v′₂ الشظية ذات الكتلة 4 kg (موجبة في الاتجاه الأصلي).

M = 12 kgu = 32 m/sm₁ = 8 kgv′₁ = 69 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 15 g أفقيًا في كتلة مقدارها 1 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 1,2 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 25° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 15 gM = 1 kgL = 1,2 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

حدّافة عزم قصورها الذاتي 20,5 kg·m² تدور بسرعة 1000 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 75 N·m. كم دورة N تدورها الحدّافة قبل أن تتوقّف؟

I = 20,5 kg·m²n = 1000 rpmT_b = 75 N·m

N = rev

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل كرة مصمتة يتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 30° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². يبدأ من السكون. كم من الوقت t يستغرق ليتدحرج 6 m إلى أسفل المنحدر؟

θ = 30°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²s = 6 m

t = s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 1,5 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 18 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 60 سنًّا. كفاءة زوج التروس 98%. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 1,5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 18N₂ = 60η = 98%

T₁ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 125 mm تدور بسرعة 1440 rpm وبكرة قطرها 400 mm؛ والمسافة بين المركزين 1200 mm. معامل الاحتكاك 0,3 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 800 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d₁ = 125 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 400 mmC = 1200 mmμ = 0,3T₁ = 800 N

P = kW

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 2,8 kg على نابض k = 270 N/m تُسحب 8 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد سرعتها v عند t = 0,65 s (مع الإشارة).

m = 2,8 kgk = 270 N/mA = 8 cmt = 0,65 s

v = m/s

18.النوابض والبندولاتصعبة

جسم يهتز حركة توافقية بسيطة بزمن دوري 1,7 s وسعة 16 cm. ما أقصر زمن t يحتاجه للانتقال من موضع الاتزان إلى إزاحة 4 cm؟

T = 1,7 sA = 16 cmx = 4 cm

t = s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 20 mm بعد 5 دورات قمةٌ مقدارها 10,7 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 20 mmx₅ = 10,7 mmn = 5

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 20 kN/m و k₂ = 60 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 25 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 6,25 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·8) = 6,25 m

الإجابة

s = 6,25 m

2.علم الحركة

الإجابة: d = 13,53 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

جزآن من الزمن

½·9,81·t₁² = 343·(1,7 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 583,1 = 0

زمن السقوط

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·583,1))/(2·4,905) = 1,661 s

العمق

d = ½·9,81·1,661² = 13,53 m

الإجابة

d = 13,53 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: F = 73,62 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوى على امتداد المنحدر

سرعة ثابتة: القوى متوازنة.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

قوة الدفع

F = 38,09 + 35,53 = 73,62 N

الإجابة

F = 73,62 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: d = 4,764 m

التباطؤ

القوتان تتجهان إلى أسفل المنحدر؛ وتُختصر الكتلة.

a = 9,81·(sin 15° + 0,2·cos 15°) = 4,434 m/s²

المسافة

d = v₀²/(2a) = 6,5²/(2·4,434) = 4,764 m

الإجابة

d = 4,764 m

5.حركة المقذوفات

الإجابة: v₀ = 22,85 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّ صيغة المدى لإيجاد v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·50/sin 70°) = 22,85 m/s

الإجابة

v₀ = 22,85 m/s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 89,26 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 30,31 m/s, v_y = 17,5 m/s

الزمن حتى الهبوط على السطح

الجذر الأكبر: الكرة نازلة.

9 = 17,5·t − 4,905·t²

t = (17,5 + √(17,5² − 2·9,81·9))/9,81 = 2,945 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 30,31·2,945 = 89,26 m

الإجابة

x = 89,26 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 1,903 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

نصف قطر الدائرة

r = L·sin θ = 1,8·sin 60° = 1,559 m

السرعة

الشدّ والجاذبية معًا يعطيان القوة المتجهة إلى الداخل: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,559·9,81·tan 60°) = 5,147 m/s

الزمن الدوري

T = 2π·r/v = 2π·1,559/5,147 = 1,903 s

الإجابة

T = 1,903 s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 3,571 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

قوة الشد صفر عند القمة

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,3) = 3,571 m/s

الإجابة

v_min = 3,571 m/s

9.الشغل والطاقة

الإجابة: T = 147,2 N

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). على مسار دائري يجب أن تساوي القوة المحصّلة نحو المركز mv²/r.

السرعة عند الأسفل

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,8·(1 − cos 90°) = 15,7 m²/s²

القوى عند الأسفل

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

T = mg + mv²/L = 49,05 + 5·15,7/0,8 = 147,2 N

الإجابة

T = 147,2 N

تحقّق: T = mg(3 − 2cos θ) = 147,2 N.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 8,077 m/s

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 19,62·(4 − 0,15·4,5) = 65,24 J

السرعة عند النابض

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3,325) = 8,077 m/s

الإجابة

v = 8,077 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = −42 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

كمية الحركة قبل التصادم

p = M·u = 12·32 = 384 kg·m/s

كمية الحركة بعد التصادم

384 = 8·69 + 4·v′₂

v′₂ = (384 − 552)/4 = −42 m/s

الإجابة

v′₂ = −42 m/s

إشارة السالب تعني أن الشظية الثانية تطير إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 100,5 m/s

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 1,2·(1 − cos 25°) = 0,1124 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,1124) = 1,485 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 1,015·1,485/0,015 = 100,5 m/s

الإجابة

v = 100,5 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: N = 238,5 rev

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

شغل المكبح يساوي الطاقة الحركية

½·I·ω² = ½·20,5·104,7² = 112404 J

θ = 112404/75 = 1499 rad

الدورات

N = θ/2π = 238,5 rev

الإجابة

N = 238,5 rev

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: t = 1,851 s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

معادلات الحركة

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

التسارع

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 30°/1,4 = 3,504 m/s²

الزمن

s = ½·a·t² → t = √(2·6/3,504) = 1,851 s

الإجابة

t = 1,851 s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 9,879 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/151,8 = 9,879 N·m

الإجابة

T₁ = 9,879 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 4,392 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية الالتفاف

θ = 2,912 rad

الشد في الجانب المرتخي

e^μθ = e^0,8736 = 2,395, T₂ = 800/2,395 = 334 N

القدرة

P = (800 − 334)·9,425 = 4,392 kW

الإجابة

P = 4,392 kW

17.النوابض والبندولات

الإجابة: v = −0,07818 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(270/2,8) = 9,82 rad/s

ω·t = 9,82·0,65 = 6,383 rad

السرعة المتجهة

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,08·9,82·sin(6,383) = −0,07818 m/s

الإجابة

v = −0,07818 m/s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: t = 0,06837 s

التردد الزاوي

ω = 2π/T = 2π/1,7 = 3,696 rad/s

حلّ لإيجاد الزمن

0,25 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,25) = 0,2527 rad

t = 0,2527/3,696 = 0,06837 s

الإجابة

t = 0,06837 s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,01991

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/5)·ln(20/10,7) = 0,1251

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1251/√(39,48 + 0,01565) = 0,01991

الإجابة

ζ = 0,01991

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 80 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 60 = 80 kN/m

الإجابة

k_eq = 80 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics