الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سائقة تسير بسرعة 72 km/h ترى عائقًا. زمن ردّ فعلها 1 s، تكبح السيارة بعده بتباطؤ ثابت 6,5 m/s². أوجد مسافة التوقّف الكلية d من لحظة رؤيتها العائق.

v₀ = 72 km/ht_r = 1 sa = −6,5 m/s²

d = m

2.علم الحركةصعبة

يُسقَط حجر من السكون في بئر. يُسمع صوت ارتطامه بالماء بعد 3,2 s من إفلاته. سرعة الصوت 343 m/s؛ أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد عمق البئر d.

t_total = 3,2 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

صندوق كتلته 15 kg يُدفع إلى أعلى منحدر يميل 15° عن الأفق بسرعة ثابتة، بقوة موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الدفع F.

m = 15 kgθ = 15°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

F = N

4.قوانين نيوتنصعبة

يُدفع جسم فيبدأ الانزلاق إلى أعلى منحدر يميل 25° بسرعة 5,5 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². ما المسافة d التي ينزلقها على المنحدر قبل أن يتوقّف؟

v₀ = 5,5 m/sθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 60° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد أقصى ارتفاع H تبلغه الكرة.

v₀ = 14 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

H = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 10 m/s وبزاوية 50° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 60 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع H فوق الأرض عند أسفل الجرف.

v₀ = 10 m/sθ = 50°h = 60 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

في لعبة الدوّار بمدينة الملاهي يقف الراكبون مستندين إلى جدار أسطوانة رأسية نصف قطرها 3,7 m. عندما تدور بسرعة كافية تنخفض الأرضية ويثبّتهم الاحتكاك. معامل الاحتكاك السكوني 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر سرعة زاوية ω بوحدة rad/s.

r = 3,7 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 0,4 kg مربوطة بخيط طوله 1 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 6 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 0,4 kgr = 1 mv = 6 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 0,5 kg مسافة 19 m على منحدر يميل بزاوية 45° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,2. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 0,5 kgθ = 45°μ = 0,2d = 19 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 2,5 kg من السكون على ارتفاع 4,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 2 m (μ = 0,3) ثم يصطدم بنابض (k = 2500 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 2,5 kgh = 4,5 mL = 2 mμ = 0,3k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 4 kg يتحرك بسرعة 2 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 1,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 4 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 1200 kg تسير شرقًا بسرعة 13 m/s بسيارة كتلتها 900 kg تسير شمالًا بسرعة 9 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد اتجاه الحطام θ مباشرةً بعد التصادم، مقيسًا شمال الشرق.

m₁ = 1200 kgv₁ = 13 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 9 m/s (N)

θ = °

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

يعطي محرّك عزمًا مقداره 1330 N·m بسرعة 400 rpm. أوجد قدرة خرجه P بوحدة kW.

T = 1330 N·mn = 400 rpm

P = kW

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل كرة مجوّفة كتلته 18 kg يتدحرج دون انزلاق بسرعة 2 m/s. ما النسبة المئوية p من طاقته الحركية الكلية التي هي دورانية؟

m = 18 kgv = 2 m/sI = (2/3)·m·r²

p = %

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 2,2 kW يعمل بسرعة 960 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 18 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 32 سنًّا. كفاءة زوج التروس 97%. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 2,2 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 18N₂ = 32η = 97%

T₁ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 120 mm تدور بسرعة 960 rpm وبكرة قطرها 500 mm؛ والمسافة بين المركزين 1000 mm. معامل الاحتكاك 0,35 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 1200 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d₁ = 120 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 500 mmC = 1000 mmμ = 0,35T₁ = 1200 N

P = kW

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 3,4 kg على نابض k = 400 N/m تُسحب 13 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد إزاحتها x عن موضع الاتزان عند t = 0,9 s (مع الإشارة).

m = 3,4 kgk = 400 N/mA = 13 cmt = 0,9 s

x = cm

18.النوابض والبندولاتصعبة

تُربط كتلة مقدارها 0,1 kg بالطرف السفلي لنابض رأسي غير ممطوط k = 190 N/m وتُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر استطالة x_max للنابض بوحدة cm.

m = 0,1 kgk = 190 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 12 kg يحملها نابض جساءته 80 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 100 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 12 kgk = 80 kN/mc = 100 N·s/m

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 100 kg معلّقة بالنابض k₃ = 50 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 40 kN/m و k₂ = 50 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 100 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: d = 50,77 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

الوحدات

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

مسافة ردّ الفعل

d₁ = v₀·t_r = 20·1 = 20 m

مسافة الكبح

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·6,5) = 30,77 m

المجموع

d = 20 + 30,77 = 50,77 m

الإجابة

d = 50,77 m

2.علم الحركة

الإجابة: d = 46,1 m

جزآن من الزمن

½·9,81·t₁² = 343·(3,2 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1098 = 0

زمن السقوط

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1098))/(2·4,905) = 3,066 s

العمق

d = ½·9,81·3,066² = 46,1 m

الإجابة

d = 46,1 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: F = 59,41 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوى على امتداد المنحدر

سرعة ثابتة: القوى متوازنة.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

قوة الدفع

F = 38,09 + 21,32 = 59,41 N

الإجابة

F = 59,41 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: d = 2,76 m

التباطؤ

القوتان تتجهان إلى أسفل المنحدر؛ وتُختصر الكتلة.

a = 9,81·(sin 25° + 0,15·cos 25°) = 5,48 m/s²

المسافة

d = v₀²/(2a) = 5,5²/(2·5,48) = 2,76 m

الإجابة

d = 2,76 m

5.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 7,492 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 60° = 7 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 60° = 12,12 m/s

أعلى نقطة

في القمة تكون السرعة الرأسية صفرًا: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 12,12²/(2·9,81) = 7,492 m

الإجابة

H = 7,492 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 62,99 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

سرعة القذف الرأسية

v_y = 10·sin 50° = 7,66 m/s

الارتفاع فوق الجرف

Δh = v_y²/(2g) = 7,66²/(2·9,81) = 2,991 m

الارتفاع فوق الأرض

H = 60 + 2,991 = 62,99 m

الإجابة

H = 62,99 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: ω = 2,303 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

القوى على الراكب

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

السرعة الزاوية

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,5·3,7)) = 2,303 rad/s

الإجابة

ω = 2,303 rad/s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 18,32 N

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,4·9,81 + 0,4·6²/1 = 3,924 + 14,4 = 18,32 N

الإجابة

T = 18,32 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 13,18 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 4,905·0,7071 = 3,468 N

F = μN = 0,2·3,468 = 0,6937 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 0,6937·19 = 13,18 J

الإجابة

W_f = 13,18 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 27,66 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 24,53·(4,5 − 0,3·2) = 95,65 J

أقصى انضغاط

½kx² = 95,65 → x = √(2·95,65/2500) = 0,2766 m = 27,66 cm

الإجابة

x = 27,66 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = 0,9091 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (4 − 1,5)/(4 + 1,5)·2 = 0,9091 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 1,5)·2 = 2,909 m/s

الإجابة

v′₁ = 0,9091 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: θ = 27,44 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

مركّبات كمية الحركة

p_x = 1200·13 = 15600 kg·m/s

p_y = 900·9 = 8100 kg·m/s

الاتجاه

tan θ = p_y/p_x = 0,5192 → θ = 27,44°

الإجابة

θ = 27,44°

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: P = 55,71 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·400/60 = 41,89 rad/s

القدرة

P = T·ω = 1330·41,89 = 55711 W = 55,71 kW

الإجابة

P = 55,71 kW

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: p = 40 %

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

الجزآن الانتقالي والدوراني

E_trans = ½·m·v² = ½·18·2² = 36 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,6667·m·r²·(v/r)² = 0,6667·36 = 24 J

حصة الدوران

p = 24/60·100% = c/(1 + c)·100% = 40%

الإجابة

p = 40 %

الحصة تعتمد على الشكل فقط، لا على الكتلة أو السرعة.

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 21,88 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/100,5 = 21,88 N·m

الإجابة

T₁ = 21,88 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 4,483 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية الالتفاف

θ = 2,759 rad

الشد في الجانب المرتخي

e^μθ = e^0,9657 = 2,627, T₂ = 1200/2,627 = 456,8 N

القدرة

P = (1200 − 456,8)·6,032 = 4,483 kW

الإجابة

P = 4,483 kW

17.النوابض والبندولات

الإجابة: x = −12,27 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(400/3,4) = 10,85 rad/s

ω·t = 10,85·0,9 = 9,762 rad

الإزاحة

x = A·cos(ω·t) = 13·cos(9,762) = −12,27 cm

الإجابة

x = −12,27 cm

18.النوابض والبندولات

الإجابة: x_max = 1,033 cm

الاتزان والسعة

x₀ = m·g/k = 0,1·9,81/190 = 0,005163 m = A

أدنى نقطة

x_max = 2A = 0,01033 m = 1,033 cm

الإجابة

x_max = 1,033 cm

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,05103

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·12) = 1960 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 100/1960 = 0,05103

الإجابة

ζ = 0,05103

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 2,853 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 40 + 50 = 90 kN/m

k_eq = 90·50/(90 + 50) = 32,14 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(32143/100) = 17,93 rad/s

f_n = 17,93/(2π) = 2,853 Hz

الإجابة

f_n = 2,853 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics