الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 36 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 6 m/s² حتى تتوقف. كم يستغرق الكبح؟ أوجد t.

v₀ = 36 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.علم الحركةصعبة

تُسقَط الكرة A من السكون من ارتفاع 25 m. في اللحظة نفسها تُقذف الكرة B رأسيًا إلى الأعلى من الأرض تحتها مباشرةً بسرعة 13 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². متى تلتقي الكرتان؟ أوجد t.

H = 25 mv_0B = 13 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

زلّاجة كتلتها 20 kg تُسحب على ثلج مستوٍ بحبل يميل 15° فوق الأفق بقوة 50 N. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الزلّاجة a.

m = 20 kgF = 50 Nθ = 15°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

يُدفع جسم فيبدأ الانزلاق إلى أعلى منحدر يميل 25° بسرعة 3 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². ما المسافة d التي ينزلقها على المنحدر قبل أن يتوقّف؟

v₀ = 3 m/sθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 40° فوق الأفق وتهبط على بعد 140 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

θ = 40°R = 140 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُرمى كرة من مستوى الأرض بسرعة 36 m/s وبزاوية 60° فوق الأفق. تهبط على السطح المستوي لمبنى ارتفاعه 2 m، وهي في طريقها إلى الأسفل. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد المسافة الأفقية x من نقطة القذف إلى موضع هبوطها.

v₀ = 36 m/sθ = 60°h_roof = 2 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 120 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,7. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 120 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة مربوطة بخيط طوله 1,3 m تُدار في دائرة رأسية. استخدم g = 9,81 m/s². ما أصغر سرعة v_min عند القمة يبقى عندها الخيط مشدودًا بالكاد؟

r = 1,3 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 10 kg مسافة 19 m على منحدر يميل بزاوية 40° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,1. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 10 kgθ = 40°μ = 0,1d = 19 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

نابض صلابته 3000 N/m عند أسفل منحدر بزاوية 35° يُضغط بمقدار 10 cm أمام جسم كتلته 0,5 kg ثم يُترك. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,3. ما المسافة d التي يقطعها الجسم إلى أعلى المنحدر من نقطة الإطلاق قبل أن يتوقّف؟ (أهمل المسافة القصيرة التي يدفع خلالها النابض، أي خذ الاحتكاك والجاذبية على المسافة d كلها.)

m = 0,5 kgk = 3000 N/mx = 10 cmθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 2,5 kg يتحرك بسرعة 2 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 4 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 10 g أفقيًا في كتلة مقدارها 5 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 0,9 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 25° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 10 gM = 5 kgL = 0,9 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

جسم كتلته 1,5 kg معلّق بحبل خفيف ملفوف حول بكرة، وهي قرص مصمت منتظم كتلته 4,5 kg ونصف قطره 0,5 m يدور على محور أفقي عديم الاحتكاك. يُترك الجسم من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الجسم v بعد أن يهبط 4 m.

m = 1,5 kgM = 4,5 kgR = 0,5 mg = 9,81 m/s²h = 4 m

v = m/s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل أسطوانة مصمتة كتلته 6,5 kg يتدحرج دون انزلاق بسرعة 9,5 m/s. أوجد طاقته الحركية الدورانية E_rot.

m = 6,5 kgv = 9,5 m/sI = ½·m·r²

E_rot = J

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 7,5 kW يعمل بسرعة 1440 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 25 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 72 سنًّا. كفاءة زوج التروس 95%. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 7,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 25N₂ = 72η = 95%

T₁ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (30 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 1450 rpm الترسَ B (45 سنًّا). الترس C (36 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (72 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 1450 rpmA = 30B = 45C = 36D = 72

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 1,3 kg على نابض k = 200 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 13 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 10 cm من موضع الاتزان.

m = 1,3 kgk = 200 N/mA = 13 cmx = 10 cm

v = m/s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 0,9 kg على نابض k = 300 N/m تُسحب 2 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى سرعة لها v_max.

m = 0,9 kgk = 300 N/mA = 2 cm

v_max = m/s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 10 kg على نابض جساءته 20 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,4. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 10 kgk = 20 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 5 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 20 kN/m و k₂ = 25 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 5 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: t = 1,667 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

زمن الكبح

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/6 = 1,667 s

الإجابة

t = 1,667 s

2.علم الحركة

الإجابة: t = 1,923 s

زمن الالتقاء

الاتجاه إلى الأعلى موجب، والأرض عند y = 0.

25 − ½g·t² = 13·t − ½g·t² → t = 25/13 = 1,923 s

الإجابة

t = 1,923 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 0,5822 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوة العمودية

N = m·g − F·sin θ = 196,2 − 50·sin 15° = 183,3 N

القوى الأفقية

m·a = F·cos θ − μ·N = 48,3 − 36,65

a = 11,64/20 = 0,5822 m/s²

الإجابة

a = 0,5822 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: d = 0,8212 m

التباطؤ

القوتان تتجهان إلى أسفل المنحدر؛ وتُختصر الكتلة.

a = 9,81·(sin 25° + 0,15·cos 25°) = 5,48 m/s²

المسافة

d = v₀²/(2a) = 3²/(2·5,48) = 0,8212 m

الإجابة

d = 0,8212 m

5.حركة المقذوفات

الإجابة: v₀ = 37,34 m/s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّ صيغة المدى لإيجاد v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·140/sin 80°) = 37,34 m/s

الإجابة

v₀ = 37,34 m/s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 113,2 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 18 m/s, v_y = 31,18 m/s

الزمن حتى الهبوط على السطح

الجذر الأكبر: الكرة نازلة.

2 = 31,18·t − 4,905·t²

t = (31,18 + √(31,18² − 2·9,81·2))/9,81 = 6,291 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 18·6,291 = 113,2 m

الإجابة

x = 113,2 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 28,71 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·120) = 28,71 m/s

الإجابة

v_max = 28,71 m/s (103,3 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 3,571 m/s

قوة الشد صفر عند القمة

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,3) = 3,571 m/s

الإجابة

v_min = 3,571 m/s

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 142,8 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 98,1·0,766 = 75,15 N

F = μN = 0,1·75,15 = 7,515 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 7,515·19 = 142,8 J

الإجابة

W_f = 142,8 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 3,732 m

طاقة النابض

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·3000·0,1² = 15 J

موازنة الطاقة على المنحدر

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 15/(4,905·(0,5736 + 0,3·0,8192)) = 3,732 m

الإجابة

d = 3,732 m

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 1,538 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (2,5 − 4)/(2,5 + 4)·2 = −0,4615 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 4)·2 = 1,538 m/s

الإجابة

v′₂ = 1,538 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 644,4 m/s

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 0,9·(1 − cos 25°) = 0,08432 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,08432) = 1,286 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 5,01·1,286/0,01 = 644,4 m/s

الإجابة

v = 644,4 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: v = 5,603 m/s

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

الجسم والبكرة

الجسم: m·g − T = m·a

البكرة: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

التسارع

a = m·g/(m + M/2) = 1,5·9,81/(1,5 + 2,25) = 3,924 m/s²

السرعة بعد الهبوط

v = √(2·a·h) = √(2·3,924·4) = 5,603 m/s

الإجابة

v = 5,603 m/s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: E_rot = 146,7 J

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

الجزآن الانتقالي والدوراني

E_trans = ½·m·v² = ½·6,5·9,5² = 293,3 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,5·m·r²·(v/r)² = 0,5·293,3 = 146,7 J

الإجابة

E_rot = 146,7 J

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 49,74 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/150,8 = 49,74 N·m

الإجابة

T₁ = 49,74 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 483,3 rpm

المرحلة الأولى

n_B = 1450·30/45 = 966,7 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 966,7·36/72 = 483,3 rpm

الإجابة

n_out = 483,3 rpm

النسبة الكلية = 3 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 1,03 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(200/1,3) = 12,4 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 12,4·√(0,13² − 0,1²) = 1,03 m/s

الإجابة

v = 1,03 m/s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 0,3651 m/s

التردد الزاوي

ω = √(300/0,9) = 18,26 rad/s

أقصى سرعة

v_max = A·ω = 0,02·18,26 = 0,3651 m/s

الإجابة

v_max = 0,3651 m/s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 6,523 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(20000/10) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,4²) = 6,523 Hz

الإجابة

f_d = 6,523 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 45 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 25 = 45 kN/m

الإجابة

k_eq = 45 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics