الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 100 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 8 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 100 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 14 m/s من حافة سطح يرتفع 20 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max فوق الأرض.

v₀ = 14 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

كتلتان مقدارهما 6,5 kg و 4 kg معلّقتان على جانبي بكرة خفيفة عديمة الاحتكاك، موصولتان بخيط خفيف. يُترك النظام من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الكتلتين a.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 4 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 3 kg على منحدر يميل 40° موصول بخيط خفيف يمرّ فوق بكرة عديمة الاحتكاك أعلى المنحدر بكتلة معلّقة مقدارها 6 kg. الكتلة المعلّقة تتحرّك إلى الأسفل. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 3 kgm₂ = 6 kgθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 40° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 36 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

x = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 50° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 35 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 11 m/sθ = 50°h = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.الحركة الدائريةمتوسطة

كرة صغيرة مربوطة بخيط طوله 1,5 m تتحرّك في دائرة أفقية بحيث يصنع الخيط زاوية ثابتة 40° مع الرأسي (بندول مخروطي). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد الزمن T لدورة واحدة.

L = 1,5 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 0,5 kg مربوطة بخيط طوله 1 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 7 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 0,5 kgr = 1 mv = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

كرة كتلتها 10 kg معلّقة بخيط خفيف طوله 2 m. تُسحب جانبًا حتى يصنع الخيط 70° مع الرأسي ثم تُترك من السكون. أوجد الشدّ T في الخيط عندما تمرّ الكرة بأدنى نقطة.

m = 10 kgL = 2 mθ = 70°g = 9,81 m/s²

T = N

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 0,5 kg من السكون على ارتفاع 2,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 3 m (μ = 0,1) ثم يصطدم بنابض (k = 500 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 0,5 kgh = 2,5 mL = 3 mμ = 0,1k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 4,5 kg يتحرك بسرعة 12 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 4 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,3 kg تصطدم بجدار بسرعة 9 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 15 m/s. يدوم التلامس 20 ms. أوجد متوسط القوة F_avg التي يؤثر بها الجدار على الكرة.

m = 0,3 kgv_in = 9 m/sv_out = 15 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 1,5 kg وطوله 2,5 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ويُترك من السكون في وضع أفقي. أهمل الاحتكاك واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الطرف الحر v لحظة مرور القضيب بالوضع الرأسي.

m = 1,5 kgL = 2,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل أسطوانة مصمتة كتلته 19 kg يتدحرج دون انزلاق بسرعة 1 m/s. أوجد طاقته الحركية الكلية E_k.

m = 19 kgv = 1 m/sI = ½·m·r²

E_k = J

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 120 mm تدور بسرعة 960 rpm. الشد 500 N في الجانب المشدود و125 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 120 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 500 NT₂ = 125 N

P = kW

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (30 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 2900 rpm الترسَ B (40 سنًّا). الترس C (12 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (24 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 2900 rpmA = 30B = 40C = 12D = 24

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 0,2 kg على نابض k = 330 N/m تُسحب 14 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد إزاحتها x عن موضع الاتزان عند t = 0,25 s (مع الإشارة).

m = 0,2 kgk = 330 N/mA = 14 cmt = 0,25 s

x = cm

18.النوابض والبندولاتصعبة

تُربط كتلة مقدارها 1,9 kg بالطرف السفلي لنابض رأسي غير ممطوط k = 180 N/m وتُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر استطالة x_max للنابض بوحدة cm.

m = 1,9 kgk = 180 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 12 kg على نابض جساءته 5 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,4. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 12 kgk = 5 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 20 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 25 kN/m والسفلي k₂ = 20 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 20 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 48,23 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·8) = 48,23 m

الإجابة

s = 48,23 m

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 29,99 m

الارتفاع فوق السطح

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9,81) = 9,99 m

الارتفاع فوق الأرض

h_max = 20 + 9,99 = 29,99 m

الإجابة

h_max = 29,99 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 2,336 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

التسارع

القوة الدافعة المحصّلة هي الفرق بين الوزنين؛ وهي تحرّك الكتلة الكلية.

a = (6,5 − 4)·9,81/(6,5 + 4) = 2,336 m/s²

الإجابة

a = 2,336 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 3,812 m/s²

القوى على امتداد الخيط

m₂·g = 58,86 N

m₁·g·sin θ = 18,92 N

μ·m₁·g·cos θ = 5,636 N

تسارع النظام

a = (58,86 − 18,92 − 5,636)/9 = 3,812 m/s²

الإجابة

a = 3,812 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 130,1 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 40° = 27,58 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 40° = 23,14 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·23,14/9,81 = 4,718 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 27,58·4,718 = 130,1 m

الإجابة

x = 130,1 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 3,665 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 50° = 7,071 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 50° = 8,426 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 35 + 8,426·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,426 + √(71,01 + 686,7))/9,81 = 3,665 s

الإجابة

t = 3,665 s

7.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 2,15 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

نصف قطر الدائرة

r = L·sin θ = 1,5·sin 40° = 0,9642 m

السرعة

الشدّ والجاذبية معًا يعطيان القوة المتجهة إلى الداخل: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,9642·9,81·tan 40°) = 2,817 m/s

الزمن الدوري

T = 2π·r/v = 2π·0,9642/2,817 = 2,15 s

الإجابة

T = 2,15 s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 29,41 N

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,5·9,81 + 0,5·7²/1 = 4,905 + 24,5 = 29,41 N

الإجابة

T = 29,41 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: T = 227,2 N

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). على مسار دائري يجب أن تساوي القوة المحصّلة نحو المركز mv²/r.

السرعة عند الأسفل

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 70°) = 25,82 m²/s²

القوى عند الأسفل

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

T = mg + mv²/L = 98,1 + 10·25,82/2 = 227,2 N

الإجابة

T = 227,2 N

تحقّق: T = mg(3 − 2cos θ) = 227,2 N.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 20,78 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 4,905·(2,5 − 0,1·3) = 10,79 J

أقصى انضغاط

½kx² = 10,79 → x = √(2·10,79/500) = 0,2078 m = 20,78 cm

الإجابة

x = 20,78 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 12,71 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (4,5 − 4)/(4,5 + 4)·12 = 0,7059 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 4)·12 = 12,71 m/s

الإجابة

v′₂ = 12,71 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: F_avg = 360 N

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,3·(15 + 9) = 7,2 N·s

متوسط القوة

F_avg = J/Δt = 7,2/0,02 = 360 N

الإجابة

F_avg = 360 N

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: v = 8,578 m/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

الفقد في طاقة الوضع

m·g·L/2 = 1,5·9,81·1,25 = 18,39 J

عزم القصور الذاتي حول المسمار

I_O = m·L²/3 = 1,5·2,5²/3 = 3,125 kg·m²

موازنة الطاقة

½·I_O·ω² = 18,39 → ω = √(2·18,39/3,125) = 3,431 rad/s

v = ω·L = 3,431·2,5 = 8,578 m/s

الإجابة

v = 8,578 m/s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: E_k = 14,25 J

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

الجزآن الانتقالي والدوراني

E_trans = ½·m·v² = ½·19·1² = 9,5 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,5·m·r²·(v/r)² = 0,5·9,5 = 4,75 J

المجموع

E_k = 9,5 + 4,75 = 14,25 J

الإجابة

E_k = 14,25 J

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 2,262 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 6,032 m/s

القدرة

P = (500 − 125)·6,032 = 2262 W = 2,262 kW

الإجابة

P = 2,262 kW

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 1088 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 2900·30/40 = 2175 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 2175·12/24 = 1088 rpm

الإجابة

n_out = 1088 rpm

النسبة الكلية = 2,667 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: x = −10,43 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(330/0,2) = 40,62 rad/s

ω·t = 40,62·0,25 = 10,16 rad

الإزاحة

x = A·cos(ω·t) = 14·cos(10,16) = −10,43 cm

الإجابة

x = −10,43 cm

18.النوابض والبندولات

الإجابة: x_max = 20,71 cm

الاتزان والسعة

x₀ = m·g/k = 1,9·9,81/180 = 0,1036 m = A

أدنى نقطة

x_max = 2A = 0,2071 m = 20,71 cm

الإجابة

x_max = 20,71 cm

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 2,978 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(5000/12) = 20,41 rad/s

f_n = 20,41/(2π) = 3,249 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,249·√(1 − 0,4²) = 2,978 Hz

الإجابة

f_d = 2,978 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 11,11 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/20 → k_eq = 25·20/(25 + 20) = 11,11 kN/m

الإجابة

k_eq = 11,11 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics