الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 100 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 4 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 100 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

يبدأ ترام من السكون ويتسارع بمقدار 1,5 m/s² لمدة 5 s، ثم يسير بسرعة ثابتة لمدة 15 s، وأخيرًا يكبح بمقدار 3,5 m/s² حتى يتوقّف. أوجد المسافة الكلية s بين المحطّتين.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 5 st₂ = 15 sa₃ = −3,5 m/s²

s = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 13 kg إلى أسفل منحدر أملس يميل بزاوية 45° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 13 kgθ = 45°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 7,5 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 3 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 3 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 25° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 36 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

x = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 30 m/s وبزاوية 20° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 35 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد السرعة v التي ترتطم بها بالأرض.

v₀ = 30 m/sθ = 20°h = 35 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تمرّ سيارة فوق قمة نتوء في الطريق، وهو قوس دائري نصف قطره 50 m. استخدم g = 9,81 m/s². فوق أيّ سرعة v_max تغادر العجلات الطريق عند القمة؟

r = 50 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1,3 kg مربوطة بخيط طوله 0,6 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 7,5 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 1,3 kgr = 0,6 mv = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم من السكون على منحدر يميل بزاوية 15° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,1. أوجد سرعته v بعد أن ينزلق 19 m على المنحدر.

θ = 15°μ = 0,1d = 19 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 1 kg من السكون على ارتفاع 2,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 1,5 m (μ = 0,15) ثم يصطدم بنابض (k = 800 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 1 kgh = 2,5 mL = 1,5 mμ = 0,15k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 1,5 kg يتحرك بسرعة 4 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 1,5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 900 kg تسير شرقًا بسرعة 21 m/s بسيارة كتلتها 2000 kg تسير شمالًا بسرعة 9 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد اتجاه الحطام θ مباشرةً بعد التصادم، مقيسًا شمال الشرق.

m₁ = 900 kgv₁ = 21 m/s (E)m₂ = 2000 kgv₂ = 9 m/s (N)

θ = °

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

جسم كتلته 9,5 kg معلّق بحبل خفيف ملفوف حول بكرة، وهي قرص مصمت منتظم كتلته 20 kg ونصف قطره 0,15 m يدور على محور أفقي عديم الاحتكاك. يُترك الجسم من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الجسم v بعد أن يهبط 2,5 m.

m = 9,5 kgM = 20 kgR = 0,15 mg = 9,81 m/s²h = 2,5 m

v = m/s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قضيب نحيف منتظم كتلته 10 kg وطوله 1,8 m معلّق ساكنًا من محور ارتكاز عديم الاحتكاك عند طرفه العلوي. رصاصة كتلتها 45 g تتحرّك أفقيًا بسرعة 180 m/s تصطدم بالقضيب على بعد 1,67 m تحت محور الارتكاز وتنغرس فيه. أوجد السرعة الزاوية ω للقضيب مباشرةً بعد الاصطدام.

M = 10 kgL = 1,8 mm = 45 gv = 180 m/sd = 1,67 m

ω = rad/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 160 mm تدور بسرعة 720 rpm. الشد 1200 N في الجانب المشدود و240 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 240 N

P = kW

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدور الترس A (18 سنًّا) على عمود الدخل بسرعة 2880 rpm ويدير الترس B (72 سنًّا). الترس C (18 سنًّا) مثبَّت على عمود B نفسه ويدير الترس D على عمود الخرج. يجب أن يدور الخرج بسرعة 259,2 rpm. كم سنًّا N_D يجب أن يكون للترس D؟

n_in = 2880 rpmA = 18B = 72C = 18n_out = 259,2 rpm

N_D =

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كم يجب أن يكون طول بندول بسيط ليكون زمنه الدوري 0,8 s؟ استخدم g = 9,81 m/s². أوجد L.

T = 0,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 2,3 kg على نابض k = 230 N/m تُسحب 20 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد الطاقة الكلية E للاهتزاز.

m = 2,3 kgk = 230 N/mA = 20 cm

E = J

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 30 mm بعد 2 دورات قمةٌ مقدارها 20,6 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 30 mmx₂ = 20,6 mmn = 2

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 25 kN/m والسفلي k₂ = 20 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 25 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 96,45 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·4) = 96,45 m

الإجابة

s = 96,45 m

2.علم الحركة

الإجابة: s = 139,3 m

السرعة القصوى

v = a₁·t₁ = 1,5·5 = 7,5 m/s

مسافة كل مرحلة

s₁ = ½·1,5·5² = 18,75 m

s₂ = 7,5·15 = 112,5 m

s₃ = 7,5²/(2·3,5) = 8,036 m

المسافة الكلية

s = 18,75 + 112,5 + 8,036 = 139,3 m

الإجابة

s = 139,3 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 6,937 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0) = 6,937 m/s²

الإجابة

a = 6,937 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 1,051 m/s²

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 18,39)/10,5 = 1,051 m/s²

الإجابة

a = 1,051 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 101,2 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 25° = 32,63 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 25° = 15,21 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·15,21/9,81 = 3,102 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 32,63·3,102 = 101,2 m

الإجابة

x = 101,2 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: v = 39,83 m/s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 30·cos 20° = 28,19 m/s

v_y0 = 30·sin 20° = 10,26 m/s

السرعة الرأسية عند الارتطام

الطاقة أو v² = v₀² + 2as في الاتجاه الرأسي.

v_y = √(10,26² + 2·9,81·35) = 28,14 m/s

سرعة الارتطام

v = √(28,19² + 28,14²) = 39,83 m/s

الإجابة

v = 39,83 m/s

تحقّق بالطاقة: v² = v₀² + 2gh.

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 22,15 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوة العمودية صفر

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·50) = 22,15 m/s

الإجابة

v_max = 22,15 m/s

(79,73 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 134,6 N

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,3·9,81 + 1,3·7,5²/0,6 = 12,75 + 121,9 = 134,6 N

الإجابة

T = 134,6 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 7,777 m/s

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

موازنة الطاقة على المنحدر

ينخفض الجسم مسافة رأسية d·sin θ بينما يسلب الاحتكاك μmg·cos θ·d. تُختصر الكتلة.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·19·(0,2588 − 0,1·0,9659)) = 7,777 m/s

الإجابة

v = 7,777 m/s

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 23,62 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 9,81·(2,5 − 0,15·1,5) = 22,32 J

أقصى انضغاط

½kx² = 22,32 → x = √(2·22,32/800) = 0,2362 m = 23,62 cm

الإجابة

x = 23,62 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = −2,154 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (1,5 − 5)/(1,5 + 5)·4 = −2,154 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 5)·4 = 1,846 m/s

الإجابة

v′₁ = −2,154 m/s

الإشارة السالبة تعني أن المنزلق الأول يرتد إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: θ = 43,6 °

مركّبات كمية الحركة

p_x = 900·21 = 18900 kg·m/s

p_y = 2000·9 = 18000 kg·m/s

الاتجاه

tan θ = p_y/p_x = 0,9524 → θ = 43,6°

الإجابة

θ = 43,6°

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: v = 4,888 m/s

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

الجسم والبكرة

الجسم: m·g − T = m·a

البكرة: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

التسارع

a = m·g/(m + M/2) = 9,5·9,81/(9,5 + 10) = 4,779 m/s²

السرعة بعد الهبوط

v = √(2·a·h) = √(2·4,779·2,5) = 4,888 m/s

الإجابة

v = 4,888 m/s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ω = 1,238 rad/s

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

عزم القصور الذاتي بعد الاصطدام

I = M·L²/3 + m·d² = 10·1,8²/3 + 0,045·1,67² = 10,93 kg·m²

كمية الحركة الزاوية حول محور الارتكاز

قوة محور الارتكاز تمرّ بمحور الارتكاز، لذا ليس لها عزم حوله أثناء الاصطدام.

m·v·d = I·ω → ω = 0,045·180·1,67/10,93 = 1,238 rad/s

الإجابة

ω = 1,238 rad/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 5,791 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 6,032 m/s

القدرة

P = (1200 − 240)·6,032 = 5791 W = 5,791 kW

الإجابة

P = 5,791 kW

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N_D = 50

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

سرعة العمود الوسيط

n_B = n_C = 2880·18/72 = 720 rpm

أسنان الترس D

N_D = C·n_C/n_out = 18·720/259,2 = 50

الإجابة

N_D = 50

17.النوابض والبندولات

الإجابة: L = 0,159 m

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

احسب الطول

L = g·(T/2π)² = 9,81·(0,8/2π)² = 0,159 m

الإجابة

L = 0,159 m

18.النوابض والبندولات

الإجابة: E = 4,6 J

التردد الزاوي

ω = √(230/2,3) = 10 rad/s

الطاقة

E = ½·k·A² = ½·230·0,2² = 4,6 J

الإجابة

E = 4,6 J

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,0299

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/2)·ln(30/20,6) = 0,188

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,188/√(39,48 + 0,03533) = 0,0299

الإجابة

ζ = 0,0299

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 11,11 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/20 → k_eq = 25·20/(25 + 20) = 11,11 kN/m

الإجابة

k_eq = 11,11 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics