الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 36 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 8 m/s² حتى تتوقف. كم يستغرق الكبح؟ أوجد t.

v₀ = 36 km/ha = −8 m/s²v = 0

t = s

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 11 m/s من حافة سطح يرتفع 40 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max فوق الأرض.

v₀ = 11 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 19 kg إلى أسفل منحدر أملس يميل بزاوية 45° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 19 kgθ = 45°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

يُدفع جسم فيبدأ الانزلاق إلى أعلى منحدر يميل 30° بسرعة 4 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². ما المسافة d التي ينزلقها على المنحدر قبل أن يتوقّف؟

v₀ = 4 m/sθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 40 m/s ويجب أن تهبط على بعد 80 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 40 m/sR = 80 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 28 m/s وبزاوية 65° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 45 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع H فوق الأرض عند أسفل الجرف.

v₀ = 28 m/sθ = 65°h = 45 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

كرة صغيرة مربوطة بخيط طوله 0,9 m تتحرّك في دائرة أفقية بحيث يصنع الخيط زاوية ثابتة 40° مع الرأسي (بندول مخروطي). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الكرة v.

L = 0,9 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 2 kg مربوطة بخيط خفيف طوله 1,2 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة سرعتها 9,5 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T_top في الخيط عند أعلى نقطة.

m = 2 kgr = 1,2 mv_bottom = 9,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

لقاذف ألعاب نابض رأسي صلابته 2000 N/m. توضع عليه كرة كتلتها 0,05 kg ويُضغط النابض بمقدار 5 cm ثم يُترك. بإهمال مقاومة الهواء وكتلة النابض، أوجد الارتفاع h الذي ترتفعه الكرة، مقيسًا من موضعها عندما كان النابض مضغوطًا.

m = 0,05 kgk = 2000 N/mx = 5 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 1 kg من السكون على ارتفاع 4,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 5 m (μ = 0,15) ثم يصطدم بنابض (k = 500 N/m) على سطح أملس. أوجد سرعة v الجسم عندما يصل إلى النابض.

m = 1 kgh = 4,5 mL = 5 mμ = 0,15k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

قذيفة كتلتها 20 kg تتحرّك أفقيًا بسرعة 32 m/s تنفجر إلى شظيتين تتحرّكان على الخط نفسه. تواصل الشظية ذات الكتلة 6 kg إلى الأمام بسرعة 69 m/s. أوجد سرعة v′₂ الشظية ذات الكتلة 14 kg (موجبة في الاتجاه الأصلي).

M = 20 kgu = 32 m/sm₁ = 6 kgv′₁ = 69 m/sm₂ = 14 kg

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 1600 kg تسير شرقًا بسرعة 24 m/s بسيارة كتلتها 1200 kg تسير شمالًا بسرعة 12 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد سرعة الحطام v′ مباشرةً بعد التصادم.

m₁ = 1600 kgv₁ = 24 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 12 m/s (N)

v′ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 1,5 kg وطوله 0,6 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ويُترك من السكون في وضع أفقي. كرة صغيرة كتلتها 4,5 kg مثبّتة عند طرفه الحر. أهمل الاحتكاك واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الطرف الحر v لحظة مرور القضيب بالوضع الرأسي.

m = 1,5 kgL = 0,6 mm_ball = 4,5 kgg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قضيب نحيف منتظم كتلته 6 kg وطوله 1,1 m معلّق ساكنًا من محور ارتكاز عديم الاحتكاك عند طرفه العلوي. رصاصة كتلتها 45 g تتحرّك أفقيًا بسرعة 340 m/s تصطدم بالقضيب على بعد 0,49 m تحت محور الارتكاز وتنغرس فيه. أوجد السرعة الزاوية ω للقضيب مباشرةً بعد الاصطدام.

M = 6 kgL = 1,1 mm = 45 gv = 340 m/sd = 0,49 m

ω = rad/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 4 kW يعمل بسرعة 960 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 24 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 36 سنًّا. كفاءة زوج التروس 95%. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 4 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 24N₂ = 36η = 95%

T₁ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (15 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 960 rpm الترسَ B (20 سنًّا). الترس C (40 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (48 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 960 rpmA = 15B = 20C = 40D = 48

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 1,2 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 1,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 2,3 kg على نابض k = 120 N/m تُسحب 15 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد الطاقة الكلية E للاهتزاز.

m = 2,3 kgk = 120 N/mA = 15 cm

E = J

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 150 kg يحملها نابض جساءته 200 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 880 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 150 kgk = 200 kN/mc = 880 N·s/m

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بالنابض k₃ = 10 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 12 kN/m و k₂ = 20 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 25 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: t = 1,25 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

زمن الكبح

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/8 = 1,25 s

الإجابة

t = 1,25 s

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 46,17 m

الارتفاع فوق السطح

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 11²/(2·9,81) = 6,167 m

الارتفاع فوق الأرض

h_max = 40 + 6,167 = 46,17 m

الإجابة

h_max = 46,17 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 6,937 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0) = 6,937 m/s²

الإجابة

a = 6,937 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: d = 1,138 m

التباطؤ

القوتان تتجهان إلى أسفل المنحدر؛ وتُختصر الكتلة.

a = 9,81·(sin 30° + 0,25·cos 30°) = 7,029 m/s²

المسافة

d = v₀²/(2a) = 4²/(2·7,029) = 1,138 m

الإجابة

d = 1,138 m

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 14,69 °

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·80/40² = 0,4905

الزاوية

2θ = 29,37° → θ = 14,69°

الإجابة

θ = 14,69°

الحل الآخر 90° − θ = 75,31°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 77,82 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

سرعة القذف الرأسية

v_y = 28·sin 65° = 25,38 m/s

الارتفاع فوق الجرف

Δh = v_y²/(2g) = 25,38²/(2·9,81) = 32,82 m

الارتفاع فوق الأرض

H = 45 + 32,82 = 77,82 m

الإجابة

H = 77,82 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v = 2,182 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

نصف قطر الدائرة

r = L·sin θ = 0,9·sin 40° = 0,5785 m

السرعة

الشدّ والجاذبية معًا يعطيان القوة المتجهة إلى الداخل: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,5785·9,81·tan 40°) = 2,182 m/s

الإجابة

v = 2,182 m/s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T_top = 52,32 N

السرعة عند القمة

تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة وضع على ارتفاع 2r.

v_top² = 9,5² − 4·9,81·1,2 = 43,16 m²/s²

القوى عند القمة

الشدّ والجاذبية كلاهما يتجهان إلى الأسفل، نحو المركز.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 2·43,16/1,2 − 2·9,81 = 52,32 N

الإجابة

T_top = 52,32 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: h = 5,097 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

طاقة النابض

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·2000·0,05² = 2,5 J

الارتفاع

m·g = 0,05·9,81 = 0,4905 N

h = ½kx²/(mg) = 2,5/0,4905 = 5,097 m

الإجابة

h = 5,097 m

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 8,578 m/s

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 9,81·(4,5 − 0,15·5) = 36,79 J

السرعة عند النابض

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3,75) = 8,578 m/s

الإجابة

v = 8,578 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 16,14 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

كمية الحركة قبل التصادم

p = M·u = 20·32 = 640 kg·m/s

كمية الحركة بعد التصادم

640 = 6·69 + 14·v′₂

v′₂ = (640 − 414)/14 = 16,14 m/s

الإجابة

v′₂ = 16,14 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′ = 14,65 m/s

مركّبات كمية الحركة

p_x = 1600·24 = 38400 kg·m/s

p_y = 1200·12 = 14400 kg·m/s

سرعة الحطام

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 41011/2800 = 14,65 m/s

الإجابة

v′ = 14,65 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: v = 3,516 m/s

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

الفقد في طاقة الوضع

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 1,5·9,81·0,3 + 4,5·9,81·0,6 = 30,9 J

عزم القصور الذاتي حول المسمار

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 0,18 + 1,62 = 1,8 kg·m²

موازنة الطاقة

½·I_O·ω² = 30,9 → ω = √(2·30,9/1,8) = 5,86 rad/s

v = ω·L = 5,86·0,6 = 3,516 m/s

الإجابة

v = 3,516 m/s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ω = 3,084 rad/s

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

عزم القصور الذاتي بعد الاصطدام

I = M·L²/3 + m·d² = 6·1,1²/3 + 0,045·0,49² = 2,431 kg·m²

كمية الحركة الزاوية حول محور الارتكاز

قوة محور الارتكاز تمرّ بمحور الارتكاز، لذا ليس لها عزم حوله أثناء الاصطدام.

m·v·d = I·ω → ω = 0,045·340·0,49/2,431 = 3,084 rad/s

الإجابة

ω = 3,084 rad/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 39,79 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/100,5 = 39,79 N·m

الإجابة

T₁ = 39,79 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 600 rpm

المرحلة الأولى

n_B = 960·15/20 = 720 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 720·40/48 = 600 rpm

الإجابة

n_out = 600 rpm

النسبة الكلية = 1,6 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 2,198 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(1,2/9,81) = 2,198 s

الإجابة

T = 2,198 s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: E = 1,35 J

التردد الزاوي

ω = √(120/2,3) = 7,223 rad/s

الطاقة

E = ½·k·A² = ½·120·0,15² = 1,35 J

الإجابة

E = 1,35 J

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,08033

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·150) = 10954 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 880/10954 = 0,08033

الإجابة

ζ = 0,08033

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 2,778 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 12 + 20 = 32 kN/m

k_eq = 32·10/(32 + 10) = 7,619 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(7619/25) = 17,46 rad/s

f_n = 17,46/(2π) = 2,778 Hz

الإجابة

f_n = 2,778 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics