الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 45 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 3 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 45 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 18 m/s من حافة سطح يرتفع 40 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 18 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 15 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 20° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 15 kgθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 10 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 4,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 10 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُركل كرة من أرض مستوية بسرعة 30 m/s وبزاوية 70° فوق الأفق نحو جدار على بعد 47 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y تمرّ الكرة بالجدار؟

v₀ = 30 m/sθ = 70°x = 47 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُرمى كرة من مستوى الأرض بسرعة 32 m/s وبزاوية 45° فوق الأفق. تهبط على السطح المستوي لمبنى ارتفاعه 16 m، وهي في طريقها إلى الأسفل. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد المسافة الأفقية x من نقطة القذف إلى موضع هبوطها.

v₀ = 32 m/sθ = 45°h_roof = 16 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

كرة صغيرة مربوطة بخيط طوله 1,6 m تتحرّك في دائرة أفقية بحيث يصنع الخيط زاوية ثابتة 25° مع الرأسي (بندول مخروطي). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الكرة v.

L = 1,6 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1,9 kg مربوطة بخيط طوله 0,7 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 8,5 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 1,9 kgr = 0,7 mv = 8,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

كرة كتلتها 10 kg معلّقة بخيط خفيف طوله 0,5 m. تُسحب جانبًا حتى يصنع الخيط 30° مع الرأسي ثم تُترك من السكون. أوجد الشدّ T في الخيط عندما تمرّ الكرة بأدنى نقطة.

m = 10 kgL = 0,5 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = N

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 2 kg من السكون على ارتفاع 2 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 3,5 m (μ = 0,3) ثم يصطدم بنابض (k = 2500 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 2 kgh = 2 mL = 3,5 mμ = 0,3k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 3,5 kg يتحرك بسرعة 10 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 1700 kg تسير شرقًا بسرعة 21 m/s بسيارة كتلتها 1300 kg تسير شمالًا بسرعة 11 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد اتجاه الحطام θ مباشرةً بعد التصادم، مقيسًا شمال الشرق.

m₁ = 1700 kgv₁ = 21 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 11 m/s (N)

θ = °

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 5,5 kg وطوله 1,6 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ومُمسَك أفقيًا. يُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة الرأسية R التي يؤثّر بها المسمار على القضيب مباشرةً بعد تركه.

m = 5,5 kgL = 1,6 mg = 9,81 m/s²

R = N

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل كرة مصمتة يبدأ من السكون ويتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 10° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعته v بعد أن يتدحرج 3 m على امتداد المنحدر.

θ = 10°s = 3 mI = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 15 kW يعمل بسرعة 1500 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 20 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 45 سنًّا. كفاءة زوج التروس 95%. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 15 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 20N₂ = 45η = 95%

T₁ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس كوكبية للترس الشمسي 16 سنًّا ولكل ترس كوكبي 12 سنًّا. الترس الحلقي مثبَّت والترس الشمسي يُدار بسرعة 1800 rpm. أوجد سرعة الحامل الكوكبي n_c.

N_s = 16N_p = 12n_s = 1800 rpm

n_c = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كم يجب أن يكون طول بندول بسيط ليكون زمنه الدوري 2,6 s؟ استخدم g = 9,81 m/s². أوجد L.

T = 2,6 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 3 kg على نابض k = 40 N/m تُسحب 16 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى تسارع لها a_max.

m = 3 kgk = 40 N/mA = 16 cm

a_max = m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 100 kg يحملها نابض جساءته 10 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 300 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 100 kgk = 10 kN/mc = 300 N·s/m

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 15 kN/m و k₂ = 40 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 10 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 26,04 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·3) = 26,04 m

الإجابة

s = 26,04 m

2.علم الحركة

الإجابة: t = 5,229 s

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−40 = 18·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 18·t − 40 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (18 + √(18² + 2·9,81·40))/9,81 = 5,229 s

الإجابة

t = 5,229 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 1,051 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 20° − 0,25·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,2349) = 1,051 m/s²

الإجابة

a = 1,051 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 38,06 N

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 24,53)/14,5 = 1,353 m/s²

قوة الشد من الجسم الموجود على الطاولة

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 10·1,353 + 24,53 = 38,06 N

الإجابة

T = 38,06 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: y = 26,21 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

الزمن حتى الجدار

v_x = 30·cos 70° = 10,26 m/s

t = x/v_x = 47/10,26 = 4,581 s

الارتفاع في تلك اللحظة

y = 28,19·4,581 − ½·9,81·4,581² = 26,21 m

الإجابة

y = 26,21 m

الكرة في طريقها إلى الأسفل أصلًا عند الجدار.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 84,65 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 22,63 m/s, v_y = 22,63 m/s

الزمن حتى الهبوط على السطح

الجذر الأكبر: الكرة نازلة.

16 = 22,63·t − 4,905·t²

t = (22,63 + √(22,63² − 2·9,81·16))/9,81 = 3,741 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 22,63·3,741 = 84,65 m

الإجابة

x = 84,65 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v = 1,759 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

نصف قطر الدائرة

r = L·sin θ = 1,6·sin 25° = 0,6762 m

السرعة

الشدّ والجاذبية معًا يعطيان القوة المتجهة إلى الداخل: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,6762·9,81·tan 25°) = 1,759 m/s

الإجابة

v = 1,759 m/s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 214,7 N

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,9·9,81 + 1,9·8,5²/0,7 = 18,64 + 196,1 = 214,7 N

الإجابة

T = 214,7 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: T = 124,4 N

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). على مسار دائري يجب أن تساوي القوة المحصّلة نحو المركز mv²/r.

السرعة عند الأسفل

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,5·(1 − cos 30°) = 1,314 m²/s²

القوى عند الأسفل

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

T = mg + mv²/L = 98,1 + 10·1,314/0,5 = 124,4 N

الإجابة

T = 124,4 N

تحقّق: T = mg(3 − 2cos θ) = 124,4 N.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 12,21 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 19,62·(2 − 0,3·3,5) = 18,64 J

أقصى انضغاط

½kx² = 18,64 → x = √(2·18,64/2500) = 0,1221 m = 12,21 cm

الإجابة

x = 12,21 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 8,235 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (3,5 − 5)/(3,5 + 5)·10 = −1,765 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 5)·10 = 8,235 m/s

الإجابة

v′₂ = 8,235 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: θ = 21,83 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

مركّبات كمية الحركة

p_x = 1700·21 = 35700 kg·m/s

p_y = 1300·11 = 14300 kg·m/s

الاتجاه

tan θ = p_y/p_x = 0,4006 → θ = 21,83°

الإجابة

θ = 21,83°

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: R = 13,49 N

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

العزوم حول المسمار

لحظة الترك ω = 0، لذا لا يوجد تسارع مركزي ويتسارع المركز رأسيًا إلى الأسفل.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1,6) = 9,197 rad/s²

القوى الرأسية

a_G = α·L/2 = 7,357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 5,5·(9,81 − 7,357) = 13,49 N

الإجابة

R = 13,49 N

R = m·g/4، مستقلة عن الطول.

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: v = 2,702 m/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

الارتفاع المهبوط

h = s·sin θ = 3·sin 10° = 0,5209 m

موازنة الطاقة مع التدحرج

التدحرج دون انزلاق: ω = v/r، والاحتكاك لا يبذل شغلًا عند نقطة التلامس.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,4)

v = √(2·9,81·0,5209/1,4) = 2,702 m/s

الإجابة

v = 2,702 m/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 95,49 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/157,1 = 95,49 N·m

الإجابة

T₁ = 95,49 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_c = 514,3 rpm

مجموعات التروس الكوكبية: ترتبط سرعات الشمس والحلقة والحامل بمعادلة ويليس (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: من منظور الحامل، المجموعة مجموعة تروس عادية والكواكب تروس وسيطة. تثبيت أحد العناصر يحوّل المجموعة إلى مخفّض بنسبة واحدة.

أسنان الترس الحلقي

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·12 = 40

معادلة ويليس مع تثبيت الحلقة

اجعل n_r = 0 وحلّ لإيجاد سرعة الحامل.

(1800 − n_c)/(0 − n_c) = −40/16

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1800·16/56 = 514,3 rpm

الإجابة

n_c = 514,3 rpm

يدور الحامل في اتجاه الشمس نفسه.

17.النوابض والبندولات

الإجابة: L = 1,68 m

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

احسب الطول

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,6/2π)² = 1,68 m

الإجابة

L = 1,68 m

18.النوابض والبندولات

الإجابة: a_max = 2,133 m/s²

التردد الزاوي

ω = √(40/3) = 3,651 rad/s

أقصى تسارع

a_max = A·ω² = 0,16·3,651² = 2,133 m/s²

الإجابة

a_max = 2,133 m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,15

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·100) = 2000 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 300/2000 = 0,15

الإجابة

ζ = 0,15

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 55 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 40 = 55 kN/m

الإجابة

k_eq = 55 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics