الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 80 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 7,5 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 80 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

يُسقَط حجر من السكون في بئر. يُسمع صوت ارتطامه بالماء بعد 1,8 s من إفلاته. سرعة الصوت 343 m/s؛ أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد عمق البئر d.

t_total = 1,8 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

صندوق كتلته 10 kg يُدفع إلى أعلى منحدر يميل 35° عن الأفق بسرعة ثابتة، بقوة موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الدفع F.

m = 10 kgθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.قوانين نيوتنصعبة

جسمان على أرضية مستوية موصولان بخيط أفقي خفيف. قوة أفقية مقدارها 150 N تسحب الجسم الأمامي ذا الكتلة 3 kg؛ ويُجرّ الجسم ذو الكتلة 8 kg خلفه. معامل الاحتكاك الحركي 0,15 للجسمين كليهما. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T في الخيط الواصل.

m₁ = 8 kgm₂ = 3 kgF = 150 Nμ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 35° فوق الأفق وتهبط على بعد 145 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

θ = 35°R = 145 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُرمى كرة من مستوى الأرض بسرعة 37 m/s وبزاوية 60° فوق الأفق. تهبط على السطح المستوي لمبنى ارتفاعه 24 m، وهي في طريقها إلى الأسفل. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد المسافة الأفقية x من نقطة القذف إلى موضع هبوطها.

v₀ = 37 m/sθ = 60°h_roof = 24 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 130 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 130 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

منعطف نصف قطره 240 m مائل بزاوية 30°، ومعامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أدنى سرعة v_min يمكن لسيارة أن تسلك بها المنعطف دون أن تنزلق إلى أسفل الميل.

r = 240 mθ = 30°μ_s = 0,25g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة كتلتها 1800 kg تصعد منحدرًا بزاوية 6° بسرعة ثابتة 72 km/h. مقاومة الهواء ومقاومة التدحرج معًا تبلغان 400 N. أوجد القدرة P التي يجب أن تعطيها العجلات، بوحدة kW.

m = 1800 kgθ = 6°F_r = 400 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 0,5 kg من السكون على ارتفاع 4 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 3 m (μ = 0,15) ثم يصطدم بنابض (k = 800 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 0,5 kgh = 4 mL = 3 mμ = 0,15k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

قذيفة كتلتها 18 kg تتحرّك أفقيًا بسرعة 5 m/s تنفجر إلى شظيتين تتحرّكان على الخط نفسه. تواصل الشظية ذات الكتلة 6 kg إلى الأمام بسرعة 39 m/s. أوجد سرعة v′₂ الشظية ذات الكتلة 12 kg (موجبة في الاتجاه الأصلي).

M = 18 kgu = 5 m/sm₁ = 6 kgv′₁ = 39 m/sm₂ = 12 kg

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,5 kg تصطدم بجدار بسرعة 15 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 7 m/s. يدوم التلامس 10 ms. أوجد مقدار الدفع J الذي يعطيه الجدار للكرة.

m = 0,5 kgv_in = 15 m/sv_out = 7 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 12,5 kg وطوله 0,5 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ومُمسَك أفقيًا. يُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارعه الزاوي α مباشرةً بعد تركه.

m = 12,5 kgL = 0,5 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل طوق رقيق يتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 40° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر معامل احتكاك سكوني μ_s يمنعه من الانزلاق.

θ = 40°I = m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

تدير بكرة قطرها 200 mm تدور بسرعة 960 rpm بكرةً قطرها 300 mm بسير انزلاقه 1,5 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n₂.

n₁ = 960 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 300 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (24 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 960 rpm الترسَ B (30 سنًّا). الترس C (30 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (50 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 960 rpmA = 24B = 30C = 30D = 50

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

يجد رائد فضاء على كوكب آخر أن بندولًا بسيطًا طوله 2 m زمنه الدوري 6,98 s للتأرجحات الصغيرة. أوجد تسارع الجاذبية g على ذلك الكوكب.

L = 2 mT = 6,98 s

g = m/s²

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 3,2 kg على نابض k = 230 N/m تُسحب 4 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد الطاقة الكلية E للاهتزاز.

m = 3,2 kgk = 230 N/mA = 4 cm

E = J

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 25 mm بعد 5 دورات قمةٌ مقدارها 9,7 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 25 mmx₅ = 9,7 mmn = 5

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 100 kg معلّقة بالنابض k₃ = 30 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 80 kN/m و k₂ = 25 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 100 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 32,92 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·7,5) = 32,92 m

الإجابة

s = 32,92 m

2.علم الحركة

الإجابة: d = 15,12 m

جزآن من الزمن

½·9,81·t₁² = 343·(1,8 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 617,4 = 0

زمن السقوط

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·617,4))/(2·4,905) = 1,756 s

العمق

d = ½·9,81·1,756² = 15,12 m

الإجابة

d = 15,12 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: F = 64,3 N

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

سرعة ثابتة: القوى متوازنة.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

قوة الدفع

F = 56,27 + 8,036 = 64,3 N

الإجابة

F = 64,3 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 109,1 N

النظام كله

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (150 − 16,19)/11 = 12,16 m/s²

الجسم الخلفي وحده

T = m₁·(a + μ·g) = 8·(12,16 + 1,472) = 109,1 N

الإجابة

T = 109,1 N

مع μ نفسه للجسمين يختفي الاحتكاك: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.حركة المقذوفات

الإجابة: v₀ = 38,91 m/s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّ صيغة المدى لإيجاد v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·145/sin 70°) = 38,91 m/s

الإجابة

v₀ = 38,91 m/s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 104,9 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 18,5 m/s, v_y = 32,04 m/s

الزمن حتى الهبوط على السطح

الجذر الأكبر: الكرة نازلة.

24 = 32,04·t − 4,905·t²

t = (32,04 + √(32,04² − 2·9,81·24))/9,81 = 5,67 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 18,5·5,67 = 104,9 m

الإجابة

x = 104,9 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 25,25 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·130) = 25,25 m/s

الإجابة

v_max = 25,25 m/s (90,91 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 25,95 m/s

موازنات القوى

يتجه الاحتكاك إلى أعلى المنحدر.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

السرعة

v = √(240·9,81·0,2835/0,991) = 25,95 m/s

الإجابة

v_min = 25,95 m/s

(93,43 km/h)

9.الشغل والطاقة

الإجابة: P = 44,92 kW

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). القدرة هي القوة مضروبة في السرعة: P = F·v.

قوة الدفع

m·g = 1800·9,81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 6° = 1846 N

F = 1846 + 400 = 2246 N

القدرة

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 2246·20 = 44915 W = 44,92 kW

الإجابة

P = 44,92 kW

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 20,86 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 4,905·(4 − 0,15·3) = 17,41 J

أقصى انضغاط

½kx² = 17,41 → x = √(2·17,41/800) = 0,2086 m = 20,86 cm

الإجابة

x = 20,86 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = −12 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

كمية الحركة قبل التصادم

p = M·u = 18·5 = 90 kg·m/s

كمية الحركة بعد التصادم

90 = 6·39 + 12·v′₂

v′₂ = (90 − 234)/12 = −12 m/s

الإجابة

v′₂ = −12 m/s

إشارة السالب تعني أن الشظية الثانية تطير إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: J = 11 N·s

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,5·(7 + 15) = 11 N·s

الإجابة

J = 11 N·s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: α = 29,43 rad/s²

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

العزوم حول المسمار

لحظة الترك ω = 0، لذا لا يوجد تسارع مركزي ويتسارع المركز رأسيًا إلى الأسفل.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·0,5) = 29,43 rad/s²

الإجابة

α = 29,43 rad/s²

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: μ_s = 0,4195

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

معادلات الحركة

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

التسارع

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 40°/2 = 3,153 m/s²

الاحتكاك اللازم

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 1·tan 40°/2 = 0,4195

الإجابة

μ_s = 0,4195

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n₂ = 630,4 rpm

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

السرعة من دون انزلاق

960·200/300 = 640 rpm

مع الانزلاق

n₂ = 640·0,985 = 630,4 rpm

الإجابة

n₂ = 630,4 rpm

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 460,8 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 960·24/30 = 768 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 768·30/50 = 460,8 rpm

الإجابة

n_out = 460,8 rpm

النسبة الكلية = 2,083 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: g = 1,621 m/s²

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

حلّ لإيجاد g

g = 4π²·L/T² = 4π²·2/6,98² = 1,621 m/s²

الإجابة

g = 1,621 m/s²

18.النوابض والبندولات

الإجابة: E = 0,184 J

التردد الزاوي

ω = √(230/3,2) = 8,478 rad/s

الطاقة

E = ½·k·A² = ½·230·0,04² = 0,184 J

الإجابة

E = 0,184 J

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,03012

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/5)·ln(25/9,7) = 0,1893

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1893/√(39,48 + 0,03585) = 0,03012

الإجابة

ζ = 0,03012

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 2,431 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 80 + 25 = 105 kN/m

k_eq = 105·30/(105 + 30) = 23,33 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(23333/100) = 15,28 rad/s

f_n = 15,28/(2π) = 2,431 Hz

الإجابة

f_n = 2,431 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics