الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 100 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 3,5 m/s² حتى تتوقف. كم يستغرق الكبح؟ أوجد t.

v₀ = 100 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

t = s

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 19 m/s من حافة سطح يرتفع 40 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max فوق الأرض.

v₀ = 19 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 13 kg إلى أسفل منحدر أملس يميل بزاوية 35° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 13 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 3 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 5,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 3 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 30 m/s ويجب أن تهبط على بعد 35 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 30 m/sR = 35 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 45° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 30 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 31 m/sθ = 45°h = 30 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 140 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,7. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 140 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

منعطف نصف قطره 70 m مائل بزاوية 10°، ومعامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أعلى سرعة v_max يمكن لسيارة أن تسلك بها المنعطف دون أن تنزلق إلى الأعلى والخارج.

r = 70 mθ = 10°μ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 110 km/h على طريق مستوٍ تكبح بقوة وتنزلق حتى تتوقّف وعجلاتها مقفلة. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,5. أوجد مسافة التوقّف d.

v = 110 km/hμ = 0,5g = 9,81 m/s²

d = m

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 5 kg من السكون على ارتفاع 4,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 2,5 m (μ = 0,1) ثم يصطدم بنابض (k = 500 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 5 kgh = 4,5 mL = 2,5 mμ = 0,1k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

سيارة كتلتها 1300 kg تتحرّك بسرعة 24 m/s تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1700 kg وتلتحمان معًا. كم من الطاقة الحركية ΔK يُفقد في التصادم؟

m₁ = 1300 kgv₁ = 24 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

سيارة كتلتها 1000 kg تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 800 kg. يلتحم الحطامان وينزلقان 4 m قبل التوقّف. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,6. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة السيارة الأولى v₁ قبيل التصادم.

m₁ = 1000 kgm₂ = 800 kgd = 4 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 17,5 kg وطوله 1,7 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ومُمسَك أفقيًا. يُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة الرأسية R التي يؤثّر بها المسمار على القضيب مباشرةً بعد تركه.

m = 17,5 kgL = 1,7 mg = 9,81 m/s²

R = N

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل أسطوانة مصمتة كتلته 9 kg يتدحرج دون انزلاق بسرعة 1 m/s. أوجد طاقته الحركية الكلية E_k.

m = 9 kgv = 1 m/sI = ½·m·r²

E_k = J

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

دودة لها 3 مدخل (مداخل) تدور بسرعة 2900 rpm وتدير عجلة دودية لها 48 سنًّا. أوجد سرعة العجلة n_w.

z = 3N_w = 48n = 2900 rpm

n_w = rpm

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

محرّك قدرته 2,2 kW بسرعة 1450 rpm يدير الترس A (25 سنًّا)، الذي يتعشّق مع الترس B (48 سنًّا). الترس C (32 سنًّا) على عمود B نفسه يدير الترس D (45 سنًّا) على عمود الخرج. كفاءة كل تعشيق 95%. أوجد عزم الخرج T_out.

P = 2,2 kWn_in = 1450 rpmA = 25B = 48C = 32D = 45η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 0,2 kg على نابض k = 330 N/m تُسحب 9 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد إزاحتها x عن موضع الاتزان عند t = 1,5 s (مع الإشارة).

m = 0,2 kgk = 330 N/mA = 9 cmt = 1,5 s

x = cm

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 3,3 kg على نابض k = 120 N/m تُسحب 4 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى تسارع لها a_max.

m = 3,3 kgk = 120 N/mA = 4 cm

a_max = m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 2 kg يحملها نابض جساءته 1 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 40 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 2 kgk = 1 kN/mc = 40 N·s/m

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 40 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 50 kN/m و k₂ = 30 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 40 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: t = 7,937 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

زمن الكبح

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27,78/3,5 = 7,937 s

الإجابة

t = 7,937 s

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 58,4 m

الارتفاع فوق السطح

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9,81) = 18,4 m

الارتفاع فوق الأرض

h_max = 40 + 18,4 = 58,4 m

الإجابة

h_max = 58,4 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 5,627 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0) = 5,627 m/s²

الإجابة

a = 5,627 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 5,655 m/s²

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 5,886)/8,5 = 5,655 m/s²

الإجابة

a = 5,655 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 11,21 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·35/30² = 0,3815

الزاوية

2θ = 22,43° → θ = 11,21°

الإجابة

θ = 11,21°

الحل الآخر 90° − θ = 78,79°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 122 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 45° = 21,92 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 45° = 21,92 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 30 + 21,92·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (21,92 + √(480,5 + 588,6))/9,81 = 5,568 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 21,92·5,568 = 122 m

الإجابة

x = 122 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 31,01 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·140) = 31,01 m/s

الإجابة

v_max = 31,01 m/s (111,6 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 18,58 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

موازنات القوى

يتجه الاحتكاك إلى أسفل المنحدر.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

السرعة

v = √(70·9,81·0,4691/0,9327) = 18,58 m/s

الإجابة

v_max = 18,58 m/s

(66,9 km/h)

9.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 95,17 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

السرعة بالوحدات الأساسية

v = 110/3,6 = 30,56 m/s

موازنة الطاقة

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30,56²/(2·0,5·9,81) = 95,17 m

الإجابة

d = 95,17 m

مضاعفة السرعة تجعل مسافة التوقّف أطول بأربع مرات.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 91,32 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 49,05·(4,5 − 0,1·2,5) = 208,5 J

أقصى انضغاط

½kx² = 208,5 → x = √(2·208,5/500) = 0,9132 m = 91,32 cm

الإجابة

x = 91,32 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: ΔK = 212160 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

السرعة المشتركة

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1300·24/3000 = 10,4 m/s

الطاقة الحركية قبل وبعد

K_before = ½·1300·24² = 374400 J

K_after = ½·3000·10,4² = 162240 J

الطاقة المفقودة

ΔK = 374400 − 162240 = 212160 J

الإجابة

ΔK = 212160 J

تذهب الطاقة المفقودة إلى التشوّه والحرارة والصوت.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v₁ = 12,35 m/s

السرعة بعد التصادم

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·4) = 6,862 m/s

كمية الحركة في التصادم

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 1800·6,862/1000 = 12,35 m/s

الإجابة

v₁ = 12,35 m/s

(44,47 km/h)

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: R = 42,92 N

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

العزوم حول المسمار

لحظة الترك ω = 0، لذا لا يوجد تسارع مركزي ويتسارع المركز رأسيًا إلى الأسفل.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1,7) = 8,656 rad/s²

القوى الرأسية

a_G = α·L/2 = 7,357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 17,5·(9,81 − 7,357) = 42,92 N

الإجابة

R = 42,92 N

R = m·g/4، مستقلة عن الطول.

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: E_k = 6,75 J

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

الجزآن الانتقالي والدوراني

E_trans = ½·m·v² = ½·9·1² = 4,5 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,5·m·r²·(v/r)² = 0,5·4,5 = 2,25 J

المجموع

E_k = 4,5 + 2,25 = 6,75 J

الإجابة

E_k = 6,75 J

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_w = 181,3 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العجلة

n_w = n·z/N_w = 2900·3/48 = 181,3 rpm

الإجابة

n_w = 181,3 rpm

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T_out = 35,31 N·m

سرعة الخرج

n_out = 1450·(25/48)·(32/45) = 537 rpm

ω_out = 2π·537/60 = 56,24 rad/s

قدرة الخرج والعزم

P_out = 2200·0,95² = 1986 W

T_out = P_out/ω_out = 1986/56,24 = 35,31 N·m

الإجابة

T_out = 35,31 N·m

17.النوابض والبندولات

الإجابة: x = −2,923 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(330/0,2) = 40,62 rad/s

ω·t = 40,62·1,5 = 60,93 rad

الإزاحة

x = A·cos(ω·t) = 9·cos(60,93) = −2,923 cm

الإجابة

x = −2,923 cm

18.النوابض والبندولات

الإجابة: a_max = 1,455 m/s²

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(120/3,3) = 6,03 rad/s

أقصى تسارع

a_max = A·ω² = 0,04·6,03² = 1,455 m/s²

الإجابة

a_max = 1,455 m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,4472

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(1000·2) = 89,44 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 40/89,44 = 0,4472

الإجابة

ζ = 0,4472

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 80 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 30 = 80 kN/m

الإجابة

k_eq = 80 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics