أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
سائقة تسير بسرعة 60 km/h ترى عائقًا. زمن ردّ فعلها 1,5 s، تكبح السيارة بعده بتباطؤ ثابت 6,5 m/s². أوجد مسافة التوقّف الكلية d من لحظة رؤيتها العائق.
يُطلق صاروخ نموذجي رأسيًا إلى الأعلى من السكون. يمنحه محرّكه تسارعًا ثابتًا إلى الأعلى مقداره 34 m/s² لمدة 2,5 s، ثم يتوقّف المحرّك ويتحرّك الصاروخ حرًّا. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الإطلاق يرتطم بالأرض؟ أوجد t.
ينزلق صندوق على أرضية مستوية بسرعة ابتدائية 10 m/s ويتوقّف بعد 51 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معامل الاحتكاك الحركي μ.
جسمان على أرضية مستوية موصولان بخيط أفقي خفيف. قوة أفقية مقدارها 50 N تسحب الجسم الأمامي ذا الكتلة 11 kg؛ ويُجرّ الجسم ذو الكتلة 4 kg خلفه. معامل الاحتكاك الحركي 0,1 للجسمين كليهما. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T في الخيط الواصل.
تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 30° فوق الأفق وتهبط على بعد 85 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v0.
تُقذف كرة بسرعة 33 m/s وبزاوية 55° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 25 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بأيّ زاوية α تحت الأفق ترتطم بالأرض؟
تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 55 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,7. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة vmax يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.
عربة كتلتها 4,5 kg تُترك من السكون على ارتفاع 32,8 m على مسار عديم الاحتكاك وتمرّ بحلقة رأسية نصف قطرها 8 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية Ntop التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.
ينزلق جسم كتلته 1 kg مسافة 12 m على منحدر يميل بزاوية 40° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,25. أوجد الشغل Wf المبذول ضد الاحتكاك.
جسم كتلته 2 kg يبدأ من السكون عند أسفل منحدر بزاوية 35° ويُسحب إلى أعلى المنحدر بقوة ثابتة 20 N موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. أوجد سرعة الجسم v بعد أن يتحرّك 3 m إلى أعلى المنحدر.
قذيفة كتلتها 6 kg تتحرّك أفقيًا بسرعة 23 m/s تنفجر إلى شظيتين تتحرّكان على الخط نفسه. تواصل الشظية ذات الكتلة 5 kg إلى الأمام بسرعة 62 m/s. أوجد سرعة v′2 الشظية ذات الكتلة 1 kg (موجبة في الاتجاه الأصلي).
سيارة كتلتها 1000 kg تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1000 kg. يلتحم الحطامان وينزلقان 12 m قبل التوقّف. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,8. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة السيارة الأولى v1 قبيل التصادم.
حدّافة عزم قصورها الذاتي 26,5 kg·m² تدور بسرعة 1100 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 130 N·m. كم من الوقت t تستغرق حتى تتوقّف؟
يقف شخص على قرص دوّار عديم الاحتكاك ويمسك ثقلًا يدويًا كتلته 4,5 kg في كل يد، على بعد 0,8 m من المحور. عزم القصور الذاتي للشخص والقرص الدوّار وحدهما 3,5 kg·m² حول المحور. يدوران بسرعة 45 rpm، ثم يسحب الثقلين إلى 0,15 m من المحور. عامل الثقلين ككتلتين نقطيتين. أوجد السرعة الجديدة n2 بوحدة rpm.
تدير بكرة قطرها 200 mm تدور بسرعة 960 rpm بكرةً قطرها 300 mm بسير انزلاقه 4 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n2.
يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 100 mm تدور بسرعة 1440 rpm وبكرة قطرها 300 mm؛ والمسافة بين المركزين 800 mm. معامل الاحتكاك 0,25 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 2000 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).
كتلة مقدارها 0,9 kg على نابض k = 20 N/m تُسحب 7 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد إزاحتها x عن موضع الاتزان عند t = 0,7 s (مع الإشارة).
كتلة مقدارها 0,4 kg على نابض k = 390 N/m تُسحب 8 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى سرعة لها vmax.
كتلة 5 kg يحملها نابض جساءته 1 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 40 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.
كتلة 50 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 5 kN/m والسفلي k₂ = 5 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي fn للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.
الإجابة: d = 46,37 m
الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.
الإجابة: t = 21 s
الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.
حلّ −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² للجذر الموجب.
الإجابة: μ = 0,09994
قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.
الإجابة: T = 13,33 N
قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.
مع μ نفسه للجسمين يختفي الاحتكاك: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
الإجابة: v0 = 31,03 m/s
حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = vxt و y = h + vyt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.
الإجابة: α = 61,56 °
حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = vxt و y = h + vyt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.
الطاقة أو v² = v₀² + 2as في الاتجاه الرأسي.
الإجابة: vmax = 19,43 m/s
الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.
الإجابة: Ntop = 141,3 N
الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.
الاتجاه نحو المركز موجب.
الإجابة: Wf = 22,54 J
مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).
الإجابة: v = 4,074 m/s
مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).
الإجابة: v′2 = −172 m/s
حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.
إشارة السالب تعني أن الشظية الثانية تطير إلى الخلف.
الإجابة: v1 = 27,45 m/s
حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.
الإجابة: t = 23,48 s
الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.
الإجابة: n2 = 112,5 rpm
التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.
تزداد الطاقة الحركية: الطاقة الإضافية تأتي من الشغل الذي يبذله الشخص لسحب الثقلين.
الإجابة: n2 = 614,4 rpm
نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = eμθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.
الإجابة: P = 7,76 kW
نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = eμθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.
الإجابة: x = −6,913 cm
الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².
الإجابة: vmax = 2,498 m/s
الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².
الإجابة: ζ = 0,2828
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.
الإجابة: fn = 1,125 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics