الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 108 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 3,5 m/s² حتى تتوقف. كم يستغرق الكبح؟ أوجد t.

v₀ = 108 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

t = s

2.علم الحركةصعبة

يبدأ ترام من السكون ويتسارع بمقدار 3 m/s² لمدة 12 s، ثم يسير بسرعة ثابتة لمدة 27 s، وأخيرًا يكبح بمقدار 5 m/s² حتى يتوقّف. أوجد المسافة الكلية s بين المحطّتين.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 12 st₂ = 27 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 17 kg إلى أسفل منحدر أملس يميل بزاوية 30° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 17 kgθ = 30°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 3 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 4,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 3 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُركل كرة من أرض مستوية بسرعة 16 m/s وبزاوية 40° فوق الأفق نحو جدار على بعد 5 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y تمرّ الكرة بالجدار؟

v₀ = 16 m/sθ = 40°x = 5 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُرمى كرة من مستوى الأرض بسرعة 37 m/s وبزاوية 45° فوق الأفق. تهبط على السطح المستوي لمبنى ارتفاعه 12 m، وهي في طريقها إلى الأسفل. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد المسافة الأفقية x من نقطة القذف إلى موضع هبوطها.

v₀ = 37 m/sθ = 45°h_roof = 12 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

سيارة كتلتها 900 kg تمرّ فوق قمة نتوء في الطريق بسرعة 7 m/s. قمة النتوء قوس دائري نصف قطره 20 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها الطريق على السيارة عند القمة.

m = 900 kgv = 7 m/sr = 20 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة مربوطة بخيط طوله 0,8 m تُدار في دائرة رأسية. استخدم g = 9,81 m/s². ما أصغر سرعة v_min عند القمة يبقى عندها الخيط مشدودًا بالكاد؟

r = 0,8 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة كتلتها 1000 kg تصعد منحدرًا بزاوية 3° بسرعة ثابتة 54 km/h. مقاومة الهواء ومقاومة التدحرج معًا تبلغان 550 N. أوجد القدرة P التي يجب أن تعطيها العجلات، بوحدة kW.

m = 1000 kgθ = 3°F_r = 550 Nv = 54 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.الشغل والطاقةصعبة

عربة كتلتها 10 kg تُترك من السكون على ارتفاع 22,5 m على مسار أملس يؤدي إلى حلقة دائرية رأسية نصف قطرها 5 m. أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.

m = 10 kgh = 22,5 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

تُطلق رصاصة كتلتها 12 g أفقيًا في كتلة خشبية مقدارها 1,5 kg معلّقة بخيوط خفيفة، وتستقر داخلها. تتأرجح الكتلة إلى الأعلى حتى تصبح أعلى بمقدار 14 cm من البداية. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 12 gM = 1,5 kgh = 14 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 1800 kg تسير شرقًا بسرعة 22 m/s بسيارة كتلتها 1400 kg تسير شمالًا بسرعة 19 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد اتجاه الحطام θ مباشرةً بعد التصادم، مقيسًا شمال الشرق.

m₁ = 1800 kgv₁ = 22 m/s (E)m₂ = 1400 kgv₂ = 19 m/s (N)

θ = °

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 10 kg وطوله 2,9 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ومُمسَك أفقيًا. يُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارعه الزاوي α مباشرةً بعد تركه.

m = 10 kgL = 2,9 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل كرة مجوّفة كتلته 2 kg يتدحرج دون انزلاق بسرعة 9 m/s. ما النسبة المئوية p من طاقته الحركية الكلية التي هي دورانية؟

m = 2 kgv = 9 m/sI = (2/3)·m·r²

p = %

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 80 mm تدور بسرعة 2880 rpm. الشد 400 N في الجانب المشدود و200 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 80 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 400 NT₂ = 200 N

P = kW

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (18 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 1500 rpm الترسَ B (50 سنًّا). الترس C (30 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (45 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 1500 rpmA = 18B = 50C = 30D = 45

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كم يجب أن يكون طول بندول بسيط ليكون زمنه الدوري 1,1 s؟ استخدم g = 9,81 m/s². أوجد L.

T = 1,1 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.النوابض والبندولاتصعبة

تُربط كتلة مقدارها 2,9 kg بالطرف السفلي لنابض رأسي غير ممطوط k = 160 N/m وتُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر سرعة v_max للكتلة.

m = 2,9 kgk = 160 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 15 kg على نابض جساءته 2 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,3. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 15 kgk = 2 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 100 kN/m و k₂ = 80 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: t = 8,571 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

زمن الكبح

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/3,5 = 8,571 s

الإجابة

t = 8,571 s

2.علم الحركة

الإجابة: s = 1318 m

السرعة القصوى

v = a₁·t₁ = 3·12 = 36 m/s

مسافة كل مرحلة

s₁ = ½·3·12² = 216 m

s₂ = 36·27 = 972 m

s₃ = 36²/(2·5) = 129,6 m

المسافة الكلية

s = 216 + 972 + 129,6 = 1318 m

الإجابة

s = 1318 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 4,905 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 30° − 0·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0) = 4,905 m/s²

الإجابة

a = 4,905 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 4,905 m/s²

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 7,357)/7,5 = 4,905 m/s²

الإجابة

a = 4,905 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: y = 3,379 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

الزمن حتى الجدار

v_x = 16·cos 40° = 12,26 m/s

t = x/v_x = 5/12,26 = 0,4079 s

الارتفاع في تلك اللحظة

y = 10,28·0,4079 − ½·9,81·0,4079² = 3,379 m

الإجابة

y = 3,379 m

الكرة لا تزال ترتفع عند الجدار.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 126,3 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 26,16 m/s, v_y = 26,16 m/s

الزمن حتى الهبوط على السطح

الجذر الأكبر: الكرة نازلة.

12 = 26,16·t − 4,905·t²

t = (26,16 + √(26,16² − 2·9,81·12))/9,81 = 4,827 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 26,16·4,827 = 126,3 m

الإجابة

x = 126,3 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: N = 6624 N

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى عند القمة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأسفل) موجب.

m·g − N = m·v²/r

N = 900·9,81 − 900·7²/20 = 8829 − 2205 = 6624 N

الإجابة

N = 6624 N

تبدو السيارة أخفّ: يدفعها الطريق إلى الأعلى بأقل من وزنها.

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 2,801 m/s

قوة الشد صفر عند القمة

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,8) = 2,801 m/s

الإجابة

v_min = 2,801 m/s

9.الشغل والطاقة

الإجابة: P = 15,95 kW

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). القدرة هي القوة مضروبة في السرعة: P = F·v.

قوة الدفع

m·g = 1000·9,81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 3° = 513,4 N

F = 513,4 + 550 = 1063 N

القدرة

v = 54/3,6 = 15 m/s

P = F·v = 1063·15 = 15951 W = 15,95 kW

الإجابة

P = 15,95 kW

10.الشغل والطاقة

الإجابة: N = 392,4 N

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). على مسار دائري يجب أن تساوي القوة المحصّلة نحو المركز mv²/r.

السرعة عند القمة

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(22,5 − 10) = 245,3 m²/s²

القوى عند القمة

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

N = mv²/R − mg = 10·245,3/5 − 98,1 = 392,4 N

الإجابة

N = 392,4 N

تكمل العربة الحلقة بالكاد عندما h = 2,5R؛ وعندئذٍ N = 0 عند القمة.

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 208,8 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

التأرجح بعد الاصطدام

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,14) = 1,657 m/s

تصادم

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 1,5)·1,657/0,012 = 208,8 m/s

الإجابة

v = 208,8 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: θ = 33,89 °

مركّبات كمية الحركة

p_x = 1800·22 = 39600 kg·m/s

p_y = 1400·19 = 26600 kg·m/s

الاتجاه

tan θ = p_y/p_x = 0,6717 → θ = 33,89°

الإجابة

θ = 33,89°

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: α = 5,074 rad/s²

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

العزوم حول المسمار

لحظة الترك ω = 0، لذا لا يوجد تسارع مركزي ويتسارع المركز رأسيًا إلى الأسفل.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·2,9) = 5,074 rad/s²

الإجابة

α = 5,074 rad/s²

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: p = 40 %

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

الجزآن الانتقالي والدوراني

E_trans = ½·m·v² = ½·2·9² = 81 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,6667·m·r²·(v/r)² = 0,6667·81 = 54 J

حصة الدوران

p = 54/135·100% = c/(1 + c)·100% = 40%

الإجابة

p = 40 %

الحصة تعتمد على الشكل فقط، لا على الكتلة أو السرعة.

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 2,413 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 12,06 m/s

القدرة

P = (400 − 200)·12,06 = 2413 W = 2,413 kW

الإجابة

P = 2,413 kW

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 360 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 1500·18/50 = 540 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 540·30/45 = 360 rpm

الإجابة

n_out = 360 rpm

النسبة الكلية = 4,167 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: L = 0,3007 m

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

احسب الطول

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,1/2π)² = 0,3007 m

الإجابة

L = 0,3007 m

18.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 1,321 m/s

الاتزان والسعة

x₀ = m·g/k = 2,9·9,81/160 = 0,1778 m = A

أكبر سرعة

تكون السرعة أكبر ما يمكن عند موضع الاتزان.

ω = √(160/2,9) = 7,428 rad/s

v_max = A·ω = 0,1778·7,428 = 1,321 m/s

الإجابة

v_max = 1,321 m/s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 1,753 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(2000/15) = 11,55 rad/s

f_n = 11,55/(2π) = 1,838 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,838·√(1 − 0,3²) = 1,753 Hz

الإجابة

f_d = 1,753 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 180 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 80 = 180 kN/m

الإجابة

k_eq = 180 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics