الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تبدأ طائرة من السكون وتتسارع بانتظام بمقدار 3,5 m/s² على مدرج. أوجد سرعتها v بعد 1800 m.

v₀ = 0a = 3,5 m/s²s = 1800 m

v = m/s

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 14 m/s من حافة سطح يرتفع 25 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max فوق الأرض.

v₀ = 14 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق صندوق على أرضية مستوية بسرعة ابتدائية 7,5 m/s ويتوقّف بعد 11 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معامل الاحتكاك الحركي μ.

v₀ = 7,5 m/sd = 11 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 1,5 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 6 kg. الطاولة ملساء. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 6 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 60° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 28 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

t = s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 29 m/s وبزاوية 55° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 10 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بأيّ زاوية α تحت الأفق ترتطم بالأرض؟

v₀ = 29 m/sθ = 55°h = 10 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 25 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 25 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1,7 kg مربوطة بخيط خفيف طوله 1,4 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة سرعتها 9 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T_top في الخيط عند أعلى نقطة.

m = 1,7 kgr = 1,4 mv_bottom = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 2,5 kg مسافة 18 m على منحدر يميل بزاوية 35° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,15. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 2,5 kgθ = 35°μ = 0,15d = 18 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

عربة كتلتها 2 kg تُترك من السكون على ارتفاع 2,6 m على مسار أملس يؤدي إلى حلقة دائرية رأسية نصف قطرها 1 m. أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.

m = 2 kgh = 2,6 mR = 1 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

قذيفة كتلتها 18 kg تتحرّك أفقيًا بسرعة 5 m/s تنفجر إلى شظيتين تتحرّكان على الخط نفسه. تواصل الشظية ذات الكتلة 4 kg إلى الأمام بسرعة 59 m/s. أوجد سرعة v′₂ الشظية ذات الكتلة 14 kg (موجبة في الاتجاه الأصلي).

M = 18 kgu = 5 m/sm₁ = 4 kgv′₁ = 59 m/sm₂ = 14 kg

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,5 kg تصطدم بجدار بسرعة 24 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 19 m/s. يدوم التلامس 10 ms. أوجد مقدار الدفع J الذي يعطيه الجدار للكرة.

m = 0,5 kgv_in = 24 m/sv_out = 19 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 5 kg وطوله 2 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ويُترك من السكون في وضع أفقي. أهمل الاحتكاك واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد السرعة الزاوية ω للقضيب لحظة مروره بالوضع الرأسي.

m = 5 kgL = 2 mg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

يقف شخص على قرص دوّار عديم الاحتكاك ويمسك ثقلًا يدويًا كتلته 2 kg في كل يد، على بعد 0,85 m من المحور. عزم القصور الذاتي للشخص والقرص الدوّار وحدهما 3,5 kg·m² حول المحور. يدوران بسرعة 60 rpm، ثم يسحب الثقلين إلى 0,3 m من المحور. عامل الثقلين ككتلتين نقطيتين. أوجد السرعة الجديدة n₂ بوحدة rpm.

I₀ = 3,5 kg·m²m = 2 × 2 kgr₁ = 0,85 mr₂ = 0,3 mn₁ = 60 rpm

n₂ = rpm

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 80 mm تدور بسرعة 720 rpm. الشد 800 N في الجانب المشدود و200 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 80 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 800 NT₂ = 200 N

P = kW

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (18 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 2900 rpm الترسَ B (60 سنًّا). الترس C (45 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (48 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 2900 rpmA = 18B = 60C = 45D = 48

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 2,1 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 2,1 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.النوابض والبندولاتصعبة

جسم يهتز حركة توافقية بسيطة بزمن دوري 1,3 s وسعة 4 cm. ما أقصر زمن t يحتاجه للانتقال من موضع الاتزان إلى إزاحة 1,2 cm؟

T = 1,3 sA = 4 cmx = 1,2 cm

t = s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 15 mm بعد 4 دورات قمةٌ مقدارها 7,1 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 15 mmx₄ = 7,1 mmn = 4

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 20 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 15 kN/m والسفلي k₂ = 100 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 20 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: v = 112,2 m/s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

السرعة بعد المسافة

v = √(2·a·s) = √(2·3,5·1800) = 112,2 m/s

الإجابة

v = 112,2 m/s

(404,1 km/h)

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 34,99 m

الارتفاع فوق السطح

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9,81) = 9,99 m

الارتفاع فوق الأرض

h_max = 25 + 9,99 = 34,99 m

الإجابة

h_max = 34,99 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: μ = 0,2606

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

التباطؤ

a = v₀²/(2d) = 7,5²/(2·11) = 2,557 m/s²

معامل الاحتكاك

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,557/9,81 = 0,2606

الإجابة

μ = 0,2606

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 11,77 N

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 0)/7,5 = 7,848 m/s²

قوة الشد من الجسم الموجود على الطاولة

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1,5·7,848 + 0 = 11,77 N

الإجابة

T = 11,77 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 4,944 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 60° = 14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 60° = 24,25 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·24,25/9,81 = 4,944 s

الإجابة

t = 4,944 s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: α = 58,9 °

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 29·cos 55° = 16,63 m/s

v_y0 = 29·sin 55° = 23,76 m/s

السرعة الرأسية عند الارتطام

الطاقة أو v² = v₀² + 2as في الاتجاه الرأسي.

v_y = √(23,76² + 2·9,81·10) = 27,58 m/s

زاوية الارتطام

tan α = v_y/v_x = 27,58/16,63 → α = 58,9°

الإجابة

α = 58,9°

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 11,07 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·25) = 11,07 m/s

الإجابة

v_max = 11,07 m/s (39,87 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T_top = 14,97 N

السرعة عند القمة

تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة وضع على ارتفاع 2r.

v_top² = 9² − 4·9,81·1,4 = 26,06 m²/s²

القوى عند القمة

الشدّ والجاذبية كلاهما يتجهان إلى الأسفل، نحو المركز.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,7·26,06/1,4 − 1,7·9,81 = 14,97 N

الإجابة

T_top = 14,97 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 54,24 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 24,53·0,8192 = 20,09 N

F = μN = 0,15·20,09 = 3,013 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 3,013·18 = 54,24 J

الإجابة

W_f = 54,24 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: N = 3,924 N

السرعة عند القمة

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(2,6 − 2) = 11,77 m²/s²

القوى عند القمة

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

N = mv²/R − mg = 2·11,77/1 − 19,62 = 3,924 N

الإجابة

N = 3,924 N

تكمل العربة الحلقة بالكاد عندما h = 2,5R؛ وعندئذٍ N = 0 عند القمة.

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = −10,43 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

كمية الحركة قبل التصادم

p = M·u = 18·5 = 90 kg·m/s

كمية الحركة بعد التصادم

90 = 4·59 + 14·v′₂

v′₂ = (90 − 236)/14 = −10,43 m/s

الإجابة

v′₂ = −10,43 m/s

إشارة السالب تعني أن الشظية الثانية تطير إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: J = 21,5 N·s

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,5·(19 + 24) = 21,5 N·s

الإجابة

J = 21,5 N·s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ω = 3,836 rad/s

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

الفقد في طاقة الوضع

m·g·L/2 = 5·9,81·1 = 49,05 J

عزم القصور الذاتي حول المسمار

I_O = m·L²/3 = 5·2²/3 = 6,667 kg·m²

موازنة الطاقة

½·I_O·ω² = 49,05 → ω = √(2·49,05/6,667) = 3,836 rad/s

الإجابة

ω = 3,836 rad/s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: n₂ = 99,33 rpm

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

عزوم القصور الذاتي

I₁ = 3,5 + 2·2·0,85² = 6,39 kg·m²

I₂ = 3,5 + 2·2·0,3² = 3,86 kg·m²

حفظ كمية الحركة الزاوية

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 60·6,39/3,86 = 99,33 rpm

الإجابة

n₂ = 99,33 rpm

تزداد الطاقة الحركية: الطاقة الإضافية تأتي من الشغل الذي يبذله الشخص لسحب الثقلين.

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 1,81 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 3,016 m/s

القدرة

P = (800 − 200)·3,016 = 1810 W = 1,81 kW

الإجابة

P = 1,81 kW

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 815,6 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 2900·18/60 = 870 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 870·45/48 = 815,6 rpm

الإجابة

n_out = 815,6 rpm

النسبة الكلية = 3,556 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 2,907 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(2,1/9,81) = 2,907 s

الإجابة

T = 2,907 s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: t = 0,06304 s

التردد الزاوي

ω = 2π/T = 2π/1,3 = 4,833 rad/s

حلّ لإيجاد الزمن

0,3 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,3) = 0,3047 rad

t = 0,3047/4,833 = 0,06304 s

الإجابة

t = 0,06304 s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,02975

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/4)·ln(15/7,1) = 0,187

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,187/√(39,48 + 0,03496) = 0,02975

الإجابة

ζ = 0,02975

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 4,064 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/100 → k_eq = 15·100/(15 + 100) = 13,04 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(13043/20) = 25,54 rad/s

f_n = 25,54/(2π) = 4,064 Hz

الإجابة

f_n = 4,064 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics