الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 100 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 3,5 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 100 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

يبدأ ترام من السكون ويتسارع بمقدار 1,5 m/s² لمدة 9 s، ثم يسير بسرعة ثابتة لمدة 8 s، وأخيرًا يكبح بمقدار 3,5 m/s² حتى يتوقّف. أوجد المسافة الكلية s بين المحطّتين.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 9 st₂ = 8 sa₃ = −3,5 m/s²

s = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

كتلتان مقدارهما 9 kg و 8 kg معلّقتان على جانبي بكرة خفيفة عديمة الاحتكاك، موصولتان بخيط خفيف. يُترك النظام من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 9 kgm₂ = 8 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.قوانين نيوتنصعبة

جسمان على أرضية مستوية موصولان بخيط أفقي خفيف. قوة أفقية مقدارها 150 N تسحب الجسم الأمامي ذا الكتلة 10 kg؛ ويُجرّ الجسم ذو الكتلة 5 kg خلفه. معامل الاحتكاك الحركي 0,25 للجسمين كليهما. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسمين a.

m₁ = 5 kgm₂ = 10 kgF = 150 Nμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 60° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 16 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

t = s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 50° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 40 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 22 m/sθ = 50°h = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.الحركة الدائريةمتوسطة

في لعبة الدوّار بمدينة الملاهي يقف الراكبون مستندين إلى جدار أسطوانة رأسية نصف قطرها 2,3 m. عندما تدور بسرعة كافية تنخفض الأرضية ويثبّتهم الاحتكاك. معامل الاحتكاك السكوني 0,6. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر سرعة زاوية ω بوحدة rad/s.

r = 2,3 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة مربوطة بخيط طوله 0,7 m تُدار في دائرة رأسية. استخدم g = 9,81 m/s². ما أصغر سرعة v_min عند القمة يبقى عندها الخيط مشدودًا بالكاد؟

r = 0,7 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة كتلتها 1200 kg تصعد منحدرًا بزاوية 6° بسرعة ثابتة 36 km/h. مقاومة الهواء ومقاومة التدحرج معًا تبلغان 400 N. أوجد القدرة P التي يجب أن تعطيها العجلات، بوحدة kW.

m = 1200 kgθ = 6°F_r = 400 Nv = 36 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 5 kg من السكون على ارتفاع 3 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 3,5 m (μ = 0,25) ثم يصطدم بنابض (k = 800 N/m) على سطح أملس. أوجد سرعة v الجسم عندما يصل إلى النابض.

m = 5 kgh = 3 mL = 3,5 mμ = 0,25k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 2,5 kg يتحرك بسرعة 9 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 4 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 2,5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,15 kg تصطدم بجدار بسرعة 28 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 9 m/s. يدوم التلامس 25 ms. أوجد مقدار الدفع J الذي يعطيه الجدار للكرة.

m = 0,15 kgv_in = 28 m/sv_out = 9 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

حدّافة عزم قصورها الذاتي 38 kg·m² تدور بسرعة 2500 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 160 N·m. كم دورة N تدورها الحدّافة قبل أن تتوقّف؟

I = 38 kg·m²n = 2500 rpmT_b = 160 N·m

N = rev

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل أسطوانة مصمتة يبدأ من السكون ويتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 35° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². نصف قطره 0,05 m. أوجد سرعته الزاوية ω بعد أن يتدحرج 8 m على امتداد المنحدر.

θ = 35°s = 8 mI = ½·m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,05 m

ω = rad/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 160 mm تدور بسرعة 1500 rpm. الشد 1500 N في الجانب المشدود و375 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 375 N

P = kW

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (12 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 960 rpm الترسَ B (36 سنًّا). الترس C (45 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (50 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 960 rpmA = 12B = 36C = 45D = 50

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 3,6 kg على نابض k = 290 N/m تُسحب 9 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد سرعتها v عند t = 0,25 s (مع الإشارة).

m = 3,6 kgk = 290 N/mA = 9 cmt = 0,25 s

v = m/s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة على نابض k = 320 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 12 cm. أوجد الطاقة U المخزّنة في النابض عندما تكون الكتلة على بعد 11 cm من موضع الاتزان.

k = 320 N/mA = 12 cmx = 11 cm

U = J

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 8 kg يحملها نابض جساءته 200 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 1010 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 8 kgk = 200 kN/mc = 1010 N·s/m

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بالنابض k₃ = 5 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 60 kN/m و k₂ = 80 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 10 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 110,2 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·3,5) = 110,2 m

الإجابة

s = 110,2 m

2.علم الحركة

الإجابة: s = 194,8 m

السرعة القصوى

v = a₁·t₁ = 1,5·9 = 13,5 m/s

مسافة كل مرحلة

s₁ = ½·1,5·9² = 60,75 m

s₂ = 13,5·8 = 108 m

s₃ = 13,5²/(2·3,5) = 26,04 m

المسافة الكلية

s = 60,75 + 108 + 26,04 = 194,8 m

الإجابة

s = 194,8 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 83,1 N

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

التسارع

القوة الدافعة المحصّلة هي الفرق بين الوزنين؛ وهي تحرّك الكتلة الكلية.

a = (9 − 8)·9,81/(9 + 8) = 0,5771 m/s²

الشدّ من الكتلة الأخف

T − m₂·g = m₂·a → T = 8·(9,81 + 0,5771) = 83,1 N

الإجابة

T = 83,1 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 7,547 m/s²

النظام كله

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (150 − 36,79)/15 = 7,547 m/s²

الإجابة

a = 7,547 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 2,825 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 60° = 8 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 60° = 13,86 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·13,86/9,81 = 2,825 s

الإجابة

t = 2,825 s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 5,051 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 50° = 14,14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 50° = 16,85 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 40 + 16,85·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16,85 + √(284 + 784,8))/9,81 = 5,051 s

الإجابة

t = 5,051 s

7.الحركة الدائرية

الإجابة: ω = 2,666 rad/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى على الراكب

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

السرعة الزاوية

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·2,3)) = 2,666 rad/s

الإجابة

ω = 2,666 rad/s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 2,62 m/s

قوة الشد صفر عند القمة

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,7) = 2,62 m/s

الإجابة

v_min = 2,62 m/s

9.الشغل والطاقة

الإجابة: P = 16,31 kW

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). القدرة هي القوة مضروبة في السرعة: P = F·v.

قوة الدفع

m·g = 1200·9,81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 6° = 1231 N

F = 1231 + 400 = 1631 N

القدرة

v = 36/3,6 = 10 m/s

P = F·v = 1631·10 = 16305 W = 16,31 kW

الإجابة

P = 16,31 kW

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 6,457 m/s

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 49,05·(3 − 0,25·3,5) = 104,2 J

السرعة عند النابض

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·2,125) = 6,457 m/s

الإجابة

v = 6,457 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = −2,077 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (2,5 − 4)/(2,5 + 4)·9 = −2,077 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 4)·9 = 6,923 m/s

الإجابة

v′₁ = −2,077 m/s

الإشارة السالبة تعني أن المنزلق الأول يرتد إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: J = 5,55 N·s

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,15·(9 + 28) = 5,55 N·s

الإجابة

J = 5,55 N·s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: N = 1295 rev

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·2500/60 = 261,8 rad/s

شغل المكبح يساوي الطاقة الحركية

½·I·ω² = ½·38·261,8² = 1,302 × 10⁶ J

θ = 1,302 × 10⁶/160 = 8139 rad

الدورات

N = θ/2π = 1295 rev

الإجابة

N = 1295 rev

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ω = 154,9 rad/s

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

الارتفاع المهبوط

h = s·sin θ = 8·sin 35° = 4,589 m

موازنة الطاقة مع التدحرج

التدحرج دون انزلاق: ω = v/r، والاحتكاك لا يبذل شغلًا عند نقطة التلامس.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,5)

v = √(2·9,81·4,589/1,5) = 7,747 m/s

ω = v/r = 7,747/0,05 = 154,9 rad/s

الإجابة

ω = 154,9 rad/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 14,14 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 12,57 m/s

القدرة

P = (1500 − 375)·12,57 = 14137 W = 14,14 kW

الإجابة

P = 14,14 kW

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 288 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 960·12/36 = 320 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 320·45/50 = 288 rpm

الإجابة

n_out = 288 rpm

النسبة الكلية = 3,333 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: v = −0,6316 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(290/3,6) = 8,975 rad/s

ω·t = 8,975·0,25 = 2,244 rad

السرعة المتجهة

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,09·8,975·sin(2,244) = −0,6316 m/s

الإجابة

v = −0,6316 m/s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: U = 1,936 J

الطاقة الكلية

E = ½·k·A² = ½·320·0,12² = 2,304 J

طاقة النابض عند x

U = ½·k·x² = ½·320·0,11² = 1,936 J

الإجابة

U = 1,936 J

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,3992

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·8) = 2530 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 1010/2530 = 0,3992

الإجابة

ζ = 0,3992

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 3,497 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 60 + 80 = 140 kN/m

k_eq = 140·5/(140 + 5) = 4,828 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(4828/10) = 21,97 rad/s

f_n = 21,97/(2π) = 3,497 Hz

الإجابة

f_n = 3,497 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics