الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة مسرعة بسرعة ثابتة 19 m/s تمرّ بسيارة شرطة متوقّفة. في تلك اللحظة تنطلق سيارة الشرطة وتتسارع بانتظام بمقدار 2,5 m/s². على أيّ بعد من نقطة انطلاقها تلحق سيارة الشرطة بها؟ أوجد d.

v_car = 19 m/sa_police = 2,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 7 m/s من حافة سطح يرتفع 15 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max فوق الأرض.

v₀ = 7 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 10 kg إلى أسفل منحدر أملس يميل بزاوية 45° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 10 kgθ = 45°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسمان على أرضية مستوية موصولان بخيط أفقي خفيف. قوة أفقية مقدارها 70 N تسحب الجسم الأمامي ذا الكتلة 7 kg؛ ويُجرّ الجسم ذو الكتلة 2 kg خلفه. معامل الاحتكاك الحركي 0,2 للجسمين كليهما. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسمين a.

m₁ = 2 kgm₂ = 7 kgF = 70 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 50° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد أقصى ارتفاع H تبلغه الكرة.

v₀ = 32 m/sθ = 50°g = 9,81 m/s²

H = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 55° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 25 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 31 m/sθ = 55°h = 25 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

يريد مهندس طرق أن تسلك السيارات منعطفًا نصف قطره 250 m بسرعة 100 km/h دون الاعتماد على الاحتكاك. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زاوية الميل θ.

r = 250 mv = 100 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 0,6 kg مربوطة بخيط خفيف طوله 0,7 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة سرعتها 7 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T_top في الخيط عند أعلى نقطة.

m = 0,6 kgr = 0,7 mv_bottom = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم من السكون على منحدر يميل بزاوية 30° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. أوجد سرعته v بعد أن ينزلق 4 m على المنحدر.

θ = 30°μ = 0,25d = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 4 kg من السكون على ارتفاع 3 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 1 m (μ = 0,15) ثم يصطدم بنابض (k = 800 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 4 kgh = 3 mL = 1 mμ = 0,15k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 2,5 kg يتحرك بسرعة 2 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 1,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 2,5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 1500 kg تسير شرقًا بسرعة 9 m/s بسيارة كتلتها 800 kg تسير شمالًا بسرعة 10 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد سرعة الحطام v′ مباشرةً بعد التصادم.

m₁ = 1500 kgv₁ = 9 m/s (E)m₂ = 800 kgv₂ = 10 m/s (N)

v′ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

جسم كتلته 1,5 kg معلّق بحبل خفيف ملفوف حول بكرة، وهي قرص مصمت منتظم كتلته 6,5 kg ونصف قطره 0,15 m يدور على محور أفقي عديم الاحتكاك. يُترك الجسم من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a.

m = 1,5 kgM = 6,5 kgR = 0,15 mg = 9,81 m/s²

a = m/s²

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قضيب نحيف منتظم كتلته 10 kg وطوله 1,2 m معلّق ساكنًا من محور ارتكاز عديم الاحتكاك عند طرفه العلوي. رصاصة كتلتها 5 g تتحرّك أفقيًا بسرعة 460 m/s تصطدم بالقضيب على بعد 0,63 m تحت محور الارتكاز وتنغرس فيه. أوجد السرعة الزاوية ω للقضيب مباشرةً بعد الاصطدام.

M = 10 kgL = 1,2 mm = 5 gv = 460 m/sd = 0,63 m

ω = rad/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 125 mm تدور بسرعة 1450 rpm. الشد 400 N في الجانب المشدود و100 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 400 NT₂ = 100 N

P = kW

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 100 mm تدور بسرعة 1440 rpm وبكرة قطرها 300 mm؛ والمسافة بين المركزين 500 mm. معامل الاحتكاك 0,25 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 500 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d₁ = 100 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 300 mmC = 500 mmμ = 0,25T₁ = 500 N

P = kW

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 3,1 kg على نابض k = 140 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 8 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 5 cm من موضع الاتزان.

m = 3,1 kgk = 140 N/mA = 8 cmx = 5 cm

v = m/s

18.النوابض والبندولاتصعبة

تُربط كتلة مقدارها 2,9 kg بالطرف السفلي لنابض رأسي غير ممطوط k = 390 N/m وتُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر سرعة v_max للكتلة.

m = 2,9 kgk = 390 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 40 mm بعد دورة واحدة قمةٌ مقدارها 15,4 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 40 mmx₁ = 15,4 mmn = 1

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بالنابض k₃ = 100 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 60 kN/m و k₂ = 10 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 50 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: d = 288,8 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

تساوي المسافتين

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·19/2,5 = 15,2 s

المسافة

d = v·t = 19·15,2 = 288,8 m

الإجابة

d = 288,8 m

في تلك اللحظة تتحرّك سيارة الشرطة بسرعة 2v = 38 m/s.

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 17,5 m

الارتفاع فوق السطح

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 7²/(2·9,81) = 2,497 m

الارتفاع فوق الأرض

h_max = 15 + 2,497 = 17,5 m

الإجابة

h_max = 17,5 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 6,937 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0) = 6,937 m/s²

الإجابة

a = 6,937 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 5,816 m/s²

النظام كله

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (70 − 17,66)/9 = 5,816 m/s²

الإجابة

a = 5,816 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 30,63 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 50° = 20,57 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 50° = 24,51 m/s

أعلى نقطة

في القمة تكون السرعة الرأسية صفرًا: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 24,51²/(2·9,81) = 30,63 m

الإجابة

H = 30,63 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 107,1 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 55° = 17,78 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 55° = 25,39 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 25 + 25,39·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (25,39 + √(644,8 + 490,5))/9,81 = 6,023 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 17,78·6,023 = 107,1 m

الإجابة

x = 107,1 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: θ = 17,46 °

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الوحدات

v = 100/3,6 = 27,78 m/s

زاوية الميل

tan θ = v²/(r·g) = 27,78²/(250·9,81) = 0,3146

θ = 17,46°

الإجابة

θ = 17,46°

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T_top = 12,57 N

السرعة عند القمة

تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة وضع على ارتفاع 2r.

v_top² = 7² − 4·9,81·0,7 = 21,53 m²/s²

القوى عند القمة

الشدّ والجاذبية كلاهما يتجهان إلى الأسفل، نحو المركز.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,6·21,53/0,7 − 0,6·9,81 = 12,57 N

الإجابة

T_top = 12,57 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 4,717 m/s

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

موازنة الطاقة على المنحدر

ينخفض الجسم مسافة رأسية d·sin θ بينما يسلب الاحتكاك μmg·cos θ·d. تُختصر الكتلة.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·4·(0,5 − 0,25·0,866)) = 4,717 m/s

الإجابة

v = 4,717 m/s

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 52,88 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 39,24·(3 − 0,15·1) = 111,8 J

أقصى انضغاط

½kx² = 111,8 → x = √(2·111,8/800) = 0,5288 m = 52,88 cm

الإجابة

x = 52,88 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = 0,5 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (2,5 − 1,5)/(2,5 + 1,5)·2 = 0,5 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 1,5)·2 = 2,5 m/s

الإجابة

v′₁ = 0,5 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′ = 6,823 m/s

مركّبات كمية الحركة

p_x = 1500·9 = 13500 kg·m/s

p_y = 800·10 = 8000 kg·m/s

سرعة الحطام

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 15692/2300 = 6,823 m/s

الإجابة

v′ = 6,823 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: a = 3,098 m/s²

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

الجسم والبكرة

الجسم: m·g − T = m·a

البكرة: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

التسارع

a = m·g/(m + M/2) = 1,5·9,81/(1,5 + 3,25) = 3,098 m/s²

الإجابة

a = 3,098 m/s²

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ω = 0,3018 rad/s

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

عزم القصور الذاتي بعد الاصطدام

I = M·L²/3 + m·d² = 10·1,2²/3 + 0,005·0,63² = 4,802 kg·m²

كمية الحركة الزاوية حول محور الارتكاز

قوة محور الارتكاز تمرّ بمحور الارتكاز، لذا ليس لها عزم حوله أثناء الاصطدام.

m·v·d = I·ω → ω = 0,005·460·0,63/4,802 = 0,3018 rad/s

الإجابة

ω = 0,3018 rad/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 2,847 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 9,49 m/s

القدرة

P = (400 − 100)·9,49 = 2847 W = 2,847 kW

الإجابة

P = 2,847 kW

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 1,869 kW

زاوية الالتفاف

θ = 2,739 rad

الشد في الجانب المرتخي

e^μθ = e^0,6847 = 1,983, T₂ = 500/1,983 = 252,1 N

القدرة

P = (500 − 252,1)·7,54 = 1,869 kW

الإجابة

P = 1,869 kW

17.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 0,4197 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(140/3,1) = 6,72 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 6,72·√(0,08² − 0,05²) = 0,4197 m/s

الإجابة

v = 0,4197 m/s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 0,8459 m/s

الاتزان والسعة

x₀ = m·g/k = 2,9·9,81/390 = 0,07295 m = A

أكبر سرعة

تكون السرعة أكبر ما يمكن عند موضع الاتزان.

ω = √(390/2,9) = 11,6 rad/s

v_max = A·ω = 0,07295·11,6 = 0,8459 m/s

الإجابة

v_max = 0,8459 m/s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,1502

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/1)·ln(40/15,4) = 0,9545

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9545/√(39,48 + 0,9111) = 0,1502

الإجابة

ζ = 0,1502

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 4,567 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 60 + 10 = 70 kN/m

k_eq = 70·100/(70 + 100) = 41,18 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(41176/50) = 28,7 rad/s

f_n = 28,7/(2π) = 4,567 Hz

الإجابة

f_n = 4,567 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics