الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سائقة تسير بسرعة 60 km/h ترى عائقًا. زمن ردّ فعلها 0,8 s، تكبح السيارة بعده بتباطؤ ثابت 4,5 m/s². أوجد مسافة التوقّف الكلية d من لحظة رؤيتها العائق.

v₀ = 60 km/ht_r = 0,8 sa = −4,5 m/s²

d = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 9 m/s من حافة سطح يرتفع 20 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max فوق الأرض.

v₀ = 9 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 10 kg إلى أسفل منحدر أملس يميل بزاوية 20° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 10 kgθ = 20°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

يُدفع جسم فيبدأ الانزلاق إلى أعلى منحدر يميل 20° بسرعة 7,5 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². ما المسافة d التي ينزلقها على المنحدر قبل أن يتوقّف؟

v₀ = 7,5 m/sθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 35° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد أقصى ارتفاع H تبلغه الكرة.

v₀ = 10 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

H = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 33 m/s وبزاوية 50° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 15 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع H فوق الأرض عند أسفل الجرف.

v₀ = 33 m/sθ = 50°h = 15 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 100 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 100 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

عربة كتلتها 2 kg تُترك من السكون على ارتفاع 48 m على مسار عديم الاحتكاك وتمرّ بحلقة رأسية نصف قطرها 10 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N_bottom التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قاع الحلقة.

m = 2 kgh = 48 mR = 10 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

كرة كتلتها 0,2 kg معلّقة بخيط خفيف طوله 0,8 m. تُسحب جانبًا حتى يصنع الخيط 30° مع الرأسي ثم تُترك من السكون. أوجد الشدّ T في الخيط عندما تمرّ الكرة بأدنى نقطة.

m = 0,2 kgL = 0,8 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = N

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 4 kg من السكون على ارتفاع 4 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 2,5 m (μ = 0,1) ثم يصطدم بنابض (k = 2000 N/m) على سطح أملس. أوجد سرعة v الجسم عندما يصل إلى النابض.

m = 4 kgh = 4 mL = 2,5 mμ = 0,1k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

تُطلق رصاصة كتلتها 12 g أفقيًا في كتلة خشبية مقدارها 5 kg معلّقة بخيوط خفيفة، وتستقر داخلها. تتأرجح الكتلة إلى الأعلى حتى تصبح أعلى بمقدار 21 cm من البداية. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 12 gM = 5 kgh = 21 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 1200 kg تسير شرقًا بسرعة 15 m/s بسيارة كتلتها 1300 kg تسير شمالًا بسرعة 15 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد سرعة الحطام v′ مباشرةً بعد التصادم.

m₁ = 1200 kgv₁ = 15 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 15 m/s (N)

v′ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 4,5 kg وطوله 2,4 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ومُمسَك أفقيًا. يُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة الرأسية R التي يؤثّر بها المسمار على القضيب مباشرةً بعد تركه.

m = 4,5 kgL = 2,4 mg = 9,81 m/s²

R = N

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

يقف شخص على قرص دوّار عديم الاحتكاك ويمسك ثقلًا يدويًا كتلته 1,5 kg في كل يد، على بعد 0,9 m من المحور. عزم القصور الذاتي للشخص والقرص الدوّار وحدهما 1,5 kg·m² حول المحور. يدوران بسرعة 60 rpm، ثم يسحب الثقلين إلى 0,2 m من المحور. عامل الثقلين ككتلتين نقطيتين. أوجد السرعة الجديدة n₂ بوحدة rpm.

I₀ = 1,5 kg·m²m = 2 × 1,5 kgr₁ = 0,9 mr₂ = 0,2 mn₁ = 60 rpm

n₂ = rpm

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 2,2 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 16 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 25 سنًّا. كفاءة زوج التروس 95%. أوجد عزم الخرج T₂ على عمود الترس.

P = 2,2 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 16N₂ = 25η = 95%

T₂ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قطرها 120 mm وبكرة قطرها 200 mm والمسافة بين مركزيهما 600 mm. أوجد زاوية الالتفاف θ على البكرة الأصغر بالدرجات.

d₁ = 120 mmd₂ = 200 mmC = 600 mm

θ = °

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

يجد رائد فضاء على كوكب آخر أن بندولًا بسيطًا طوله 2 m زمنه الدوري 2,98 s للتأرجحات الصغيرة. أوجد تسارع الجاذبية g على ذلك الكوكب.

L = 2 mT = 2,98 s

g = m/s²

18.النوابض والبندولاتصعبة

تُربط كتلة مقدارها 1,4 kg بالطرف السفلي لنابض رأسي غير ممطوط k = 280 N/m وتُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر استطالة x_max للنابض بوحدة cm.

m = 1,4 kgk = 280 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 200 kg على نابض جساءته 25 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,35. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 200 kgk = 25 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 5 kg معلّقة بالنابض k₃ = 40 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 10 kN/m و k₂ = 100 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 5 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 40 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: d = 44,2 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

مسافة ردّ الفعل

d₁ = v₀·t_r = 16,67·0,8 = 13,33 m

مسافة الكبح

d₂ = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·4,5) = 30,86 m

المجموع

d = 13,33 + 30,86 = 44,2 m

الإجابة

d = 44,2 m

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 24,13 m

الارتفاع فوق السطح

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 9²/(2·9,81) = 4,128 m

الارتفاع فوق الأرض

h_max = 20 + 4,128 = 24,13 m

الإجابة

h_max = 24,13 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 3,355 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0) = 3,355 m/s²

الإجابة

a = 3,355 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: d = 4,969 m

التباطؤ

القوتان تتجهان إلى أسفل المنحدر؛ وتُختصر الكتلة.

a = 9,81·(sin 20° + 0,25·cos 20°) = 5,66 m/s²

المسافة

d = v₀²/(2a) = 7,5²/(2·5,66) = 4,969 m

الإجابة

d = 4,969 m

5.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 1,677 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 35° = 8,192 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 35° = 5,736 m/s

أعلى نقطة

في القمة تكون السرعة الرأسية صفرًا: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 5,736²/(2·9,81) = 1,677 m

الإجابة

H = 1,677 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 47,57 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

سرعة القذف الرأسية

v_y = 33·sin 50° = 25,28 m/s

الارتفاع فوق الجرف

Δh = v_y²/(2g) = 25,28²/(2·9,81) = 32,57 m

الارتفاع فوق الأرض

H = 15 + 32,57 = 47,57 m

الإجابة

H = 47,57 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 17,16 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·100) = 17,16 m/s

الإجابة

v_max = 17,16 m/s (61,76 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: N_bottom = 208 N

السرعة من حفظ الطاقة

v² = 2·9,81·48 = 941,8 m²/s²

القوى

الاتجاه نحو المركز موجب.

N = m·v²/R + m·g = 2·941,8/10 + 19,62 = 208 N

الإجابة

N_bottom = 208 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: T = 2,488 N

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). على مسار دائري يجب أن تساوي القوة المحصّلة نحو المركز mv²/r.

السرعة عند الأسفل

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,8·(1 − cos 30°) = 2,103 m²/s²

القوى عند الأسفل

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

T = mg + mv²/L = 1,962 + 0,2·2,103/0,8 = 2,488 N

الإجابة

T = 2,488 N

تحقّق: T = mg(3 − 2cos θ) = 2,488 N.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 8,578 m/s

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 39,24·(4 − 0,1·2,5) = 147,2 J

السرعة عند النابض

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3,75) = 8,578 m/s

الإجابة

v = 8,578 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 847,8 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

التأرجح بعد الاصطدام

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,21) = 2,03 m/s

تصادم

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 5)·2,03/0,012 = 847,8 m/s

الإجابة

v = 847,8 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′ = 10,62 m/s

مركّبات كمية الحركة

p_x = 1200·15 = 18000 kg·m/s

p_y = 1300·15 = 19500 kg·m/s

سرعة الحطام

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 26538/2500 = 10,62 m/s

الإجابة

v′ = 10,62 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: R = 11,04 N

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

العزوم حول المسمار

لحظة الترك ω = 0، لذا لا يوجد تسارع مركزي ويتسارع المركز رأسيًا إلى الأسفل.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·2,4) = 6,131 rad/s²

القوى الرأسية

a_G = α·L/2 = 7,357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 4,5·(9,81 − 7,357) = 11,04 N

الإجابة

R = 11,04 N

R = m·g/4، مستقلة عن الطول.

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: n₂ = 145,6 rpm

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

عزوم القصور الذاتي

I₁ = 1,5 + 2·1,5·0,9² = 3,93 kg·m²

I₂ = 1,5 + 2·1,5·0,2² = 1,62 kg·m²

حفظ كمية الحركة الزاوية

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 60·3,93/1,62 = 145,6 rpm

الإجابة

n₂ = 145,6 rpm

تزداد الطاقة الحركية: الطاقة الإضافية تأتي من الشغل الذي يبذله الشخص لسحب الثقلين.

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₂ = 21,51 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/151,8 = 14,49 N·m

عزم الخرج

T₂ = 14,49·25/16·0,95 = 21,51 N·m

الإجابة

T₂ = 21,51 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: θ = 172,4 °

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية السير

asin(0,06667) = 3,823°

زاوية الالتفاف

θ = 180 − 2·3,823 = 172,4°

الإجابة

θ = 172,4°

17.النوابض والبندولات

الإجابة: g = 8,891 m/s²

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

حلّ لإيجاد g

g = 4π²·L/T² = 4π²·2/2,98² = 8,891 m/s²

الإجابة

g = 8,891 m/s²

18.النوابض والبندولات

الإجابة: x_max = 9,81 cm

الاتزان والسعة

x₀ = m·g/k = 1,4·9,81/280 = 0,04905 m = A

أدنى نقطة

x_max = 2A = 0,0981 m = 9,81 cm

الإجابة

x_max = 9,81 cm

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 1,667 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(25000/200) = 11,18 rad/s

f_n = 11,18/(2π) = 1,779 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,779·√(1 − 0,35²) = 1,667 Hz

الإجابة

f_d = 1,667 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 12,19 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 10 + 100 = 110 kN/m

k_eq = 110·40/(110 + 40) = 29,33 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(29333/5) = 76,59 rad/s

f_n = 76,59/(2π) = 12,19 Hz

الإجابة

f_n = 12,19 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics