الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تحتاج طائرة إلى سرعة 250 km/h للإقلاع وطول المدرج المتاح 1300 m. بدءًا من السكون، ما التسارع الثابت a الذي تحتاجه؟

v₀ = 0v = 250 km/hs = 1300 m

a = m/s²

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 6 m/s من حافة سطح يرتفع 25 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 6 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

صندوق كتلته 15 kg يُدفع إلى أعلى منحدر يميل 30° عن الأفق بسرعة ثابتة، بقوة موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الدفع F.

m = 15 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 2,5 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 2 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 2 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 30° فوق الأفق وتهبط على بعد 140 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

θ = 30°R = 140 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 15 m/s وبزاوية 20° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 25 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع H فوق الأرض عند أسفل الجرف.

v₀ = 15 m/sθ = 20°h = 25 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

منعطف نصف قطره 330 m مائل بزاوية 10°. بأيّ سرعة v يمكن لسيارة أن تسلكه دون أي حاجة إلى الاحتكاك؟ استخدم g = 9,81 m/s².

r = 330 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 0,9 kg مربوطة بخيط طوله 0,6 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 4,5 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 0,9 kgr = 0,6 mv = 4,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

كرة كتلتها 0,2 kg معلّقة بخيط خفيف طوله 0,8 m. تُسحب جانبًا حتى يصنع الخيط 60° مع الرأسي ثم تُترك من السكون. أوجد الشدّ T في الخيط عندما تمرّ الكرة بأدنى نقطة.

m = 0,2 kgL = 0,8 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

T = N

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 2,5 kg من السكون على ارتفاع 3,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 2 m (μ = 0,25) ثم يصطدم بنابض (k = 5000 N/m) على سطح أملس. أوجد سرعة v الجسم عندما يصل إلى النابض.

m = 2,5 kgh = 3,5 mL = 2 mμ = 0,25k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

تُطلق رصاصة كتلتها 20 g أفقيًا في كتلة خشبية مقدارها 3 kg معلّقة بخيوط خفيفة، وتستقر داخلها. تتأرجح الكتلة إلى الأعلى حتى تصبح أعلى بمقدار 13 cm من البداية. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 20 gM = 3 kgh = 13 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 20 g أفقيًا في كتلة مقدارها 2,5 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 0,5 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 25° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 20 gM = 2,5 kgL = 0,5 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

ينقل عمود 190,5 kW بسرعة 700 rpm. أوجد العزم T في العمود.

P = 190,5 kWn = 700 rpm

T = N·m

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

يقف شخص على قرص دوّار عديم الاحتكاك ويمسك ثقلًا يدويًا كتلته 5,5 kg في كل يد، على بعد 0,6 m من المحور. عزم القصور الذاتي للشخص والقرص الدوّار وحدهما 4 kg·m² حول المحور. يدوران بسرعة 30 rpm، ثم يسحب الثقلين إلى 0,35 m من المحور. عامل الثقلين ككتلتين نقطيتين. أوجد السرعة الجديدة n₂ بوحدة rpm.

I₀ = 4 kg·m²m = 2 × 5,5 kgr₁ = 0,6 mr₂ = 0,35 mn₁ = 30 rpm

n₂ = rpm

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 0,55 kW بسرعة 1440 rpm يدير دودة لها 2 مدخل (مداخل). للعجلة الدودية 45 سنًّا وكفاءة نقل الحركة 85%. أوجد عزم الخرج T_w على عمود العجلة.

z = 2N_w = 45n = 1440 rpmP = 0,55 kWη = 85%

T_w = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدور الترس A (24 سنًّا) على عمود الدخل بسرعة 1500 rpm ويدير الترس B (80 سنًّا). الترس C (18 سنًّا) مثبَّت على عمود B نفسه ويدير الترس D على عمود الخرج. يجب أن يدور الخرج بسرعة 324 rpm. كم سنًّا N_D يجب أن يكون للترس D؟

n_in = 1500 rpmA = 24B = 80C = 18n_out = 324 rpm

N_D =

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 2,1 kg على نابض k = 370 N/m تُسحب 6 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد إزاحتها x عن موضع الاتزان عند t = 0,1 s (مع الإشارة).

m = 2,1 kgk = 370 N/mA = 6 cmt = 0,1 s

x = cm

18.النوابض والبندولاتصعبة

جسم يهتز حركة توافقية بسيطة بزمن دوري 0,4 s وسعة 4 cm. ما أقصر زمن t يحتاجه للانتقال من أقصى إزاحة له 4 cm إلى إزاحة 1 cm؟

T = 0,4 sA = 4 cmx = 1 cm

t = s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 80 kg على نابض جساءته 80 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,35. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 80 kgk = 80 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 5 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 100 kN/m و k₂ = 12 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: a = 1,855 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

الوحدات

v = 250/3,6 = 69,44 m/s

التسارع

a = v²/(2s) = 69,44²/(2·1300) = 1,855 m/s²

الإجابة

a = 1,855 m/s²

2.علم الحركة

الإجابة: t = 2,951 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−25 = 6·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 6·t − 25 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (6 + √(6² + 2·9,81·25))/9,81 = 2,951 s

الإجابة

t = 2,951 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: F = 86,32 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوى على امتداد المنحدر

سرعة ثابتة: القوى متوازنة.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

قوة الدفع

F = 73,57 + 12,74 = 86,32 N

الإجابة

F = 86,32 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 2,998 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19,62 − 6,131)/4,5 = 2,998 m/s²

الإجابة

a = 2,998 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: v₀ = 39,82 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّ صيغة المدى لإيجاد v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·140/sin 60°) = 39,82 m/s

الإجابة

v₀ = 39,82 m/s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 26,34 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

سرعة القذف الرأسية

v_y = 15·sin 20° = 5,13 m/s

الارتفاع فوق الجرف

Δh = v_y²/(2g) = 5,13²/(2·9,81) = 1,341 m

الارتفاع فوق الأرض

H = 25 + 1,341 = 26,34 m

الإجابة

H = 26,34 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v = 23,89 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

موازنة القوى

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

السرعة

v = √(r·g·tan θ) = √(330·9,81·tan 10°) = 23,89 m/s

الإجابة

v = 23,89 m/s

(86,01 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 39,2 N

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,9·9,81 + 0,9·4,5²/0,6 = 8,829 + 30,37 = 39,2 N

الإجابة

T = 39,2 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: T = 3,924 N

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). على مسار دائري يجب أن تساوي القوة المحصّلة نحو المركز mv²/r.

السرعة عند الأسفل

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,8·(1 − cos 60°) = 7,848 m²/s²

القوى عند الأسفل

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

T = mg + mv²/L = 1,962 + 0,2·7,848/0,8 = 3,924 N

الإجابة

T = 3,924 N

تحقّق: T = mg(3 − 2cos θ) = 3,924 N.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 7,672 m/s

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 24,53·(3,5 − 0,25·2) = 73,58 J

السرعة عند النابض

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s

الإجابة

v = 7,672 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 241,2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

التأرجح بعد الاصطدام

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,13) = 1,597 m/s

تصادم

m·v = (m + M)·V → v = (0,02 + 3)·1,597/0,02 = 241,2 m/s

الإجابة

v = 241,2 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 120,8 m/s

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 0,5·(1 − cos 25°) = 0,04685 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,04685) = 0,9587 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 2,52·0,9587/0,02 = 120,8 m/s

الإجابة

v = 120,8 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: T = 2599 N·m

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·700/60 = 73,3 rad/s

العزم

T = P/ω = 190500/73,3 = 2599 N·m

الإجابة

T = 2599 N·m

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: n₂ = 44,66 rpm

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

عزوم القصور الذاتي

I₁ = 4 + 2·5,5·0,6² = 7,96 kg·m²

I₂ = 4 + 2·5,5·0,35² = 5,348 kg·m²

حفظ كمية الحركة الزاوية

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 30·7,96/5,348 = 44,66 rpm

الإجابة

n₂ = 44,66 rpm

تزداد الطاقة الحركية: الطاقة الإضافية تأتي من الشغل الذي يبذله الشخص لسحب الثقلين.

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T_w = 69,75 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العجلة

n_w = n·z/N_w = 1440·2/45 = 64 rpm

عزم الخرج

ω_w = 2π·64/60 = 6,702 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,85·550/6,702 = 69,75 N·m

الإجابة

T_w = 69,75 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N_D = 25

سرعة العمود الوسيط

n_B = n_C = 1500·24/80 = 450 rpm

أسنان الترس D

N_D = C·n_C/n_out = 18·450/324 = 25

الإجابة

N_D = 25

17.النوابض والبندولات

الإجابة: x = 1,446 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(370/2,1) = 13,27 rad/s

ω·t = 13,27·0,1 = 1,327 rad

الإزاحة

x = A·cos(ω·t) = 6·cos(1,327) = 1,446 cm

الإجابة

x = 1,446 cm

18.النوابض والبندولات

الإجابة: t = 0,08391 s

التردد الزاوي

ω = 2π/T = 2π/0,4 = 15,71 rad/s

حلّ لإيجاد الزمن

0,25 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,25) = 1,318 rad

t = 1,318/15,71 = 0,08391 s

الإجابة

t = 0,08391 s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 4,715 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(80000/80) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,35²) = 4,715 Hz

الإجابة

f_d = 4,715 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 23,82 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 12 = 112 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(112000/5) = 149,7 rad/s

f_n = 149,7/(2π) = 23,82 Hz

الإجابة

f_n = 23,82 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics