الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 45 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 3 m/s² حتى تتوقف. كم يستغرق الكبح؟ أوجد t.

v₀ = 45 km/ha = −3 m/s²v = 0

t = s

2.علم الحركةصعبة

يُسقَط حجر من السكون في بئر. يُسمع صوت ارتطامه بالماء بعد 4 s من إفلاته. سرعة الصوت 343 m/s؛ أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد عمق البئر d.

t_total = 4 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 14 kg إلى أسفل منحدر أملس يميل بزاوية 40° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 14 kgθ = 40°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 5,5 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 1 kg. الطاولة ملساء. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 1 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 40° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 10 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

x = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُرمى كرة من مستوى الأرض بسرعة 26 m/s وبزاوية 70° فوق الأفق. تهبط على السطح المستوي لمبنى ارتفاعه 16 m، وهي في طريقها إلى الأسفل. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد المسافة الأفقية x من نقطة القذف إلى موضع هبوطها.

v₀ = 26 m/sθ = 70°h_roof = 16 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

كرة صغيرة مربوطة بخيط طوله 1,3 m تتحرّك في دائرة أفقية بحيث يصنع الخيط زاوية ثابتة 20° مع الرأسي (بندول مخروطي). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد الزمن T لدورة واحدة.

L = 1,3 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

T = s

8.الحركة الدائريةصعبة

منعطف نصف قطره 50 m مائل بزاوية 18°، ومعامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أعلى سرعة v_max يمكن لسيارة أن تسلك بها المنعطف دون أن تنزلق إلى الأعلى والخارج.

r = 50 mθ = 18°μ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 30 km/h على طريق مستوٍ تكبح بقوة وتنزلق حتى تتوقّف وعجلاتها مقفلة. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,4. أوجد مسافة التوقّف d.

v = 30 km/hμ = 0,4g = 9,81 m/s²

d = m

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 5 kg من السكون على ارتفاع 1,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 4,5 m (μ = 0,2) ثم يصطدم بنابض (k = 1000 N/m) على سطح أملس. أوجد سرعة v الجسم عندما يصل إلى النابض.

m = 5 kgh = 1,5 mL = 4,5 mμ = 0,2k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

سيارة كتلتها 2000 kg تتحرّك بسرعة 20 m/s تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1900 kg وتلتحمان معًا. كم من الطاقة الحركية ΔK يُفقد في التصادم؟

m₁ = 2000 kgv₁ = 20 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 20 g أفقيًا في كتلة مقدارها 5 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 1,5 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 35° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 20 gM = 5 kgL = 1,5 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 16 kg وطوله 2,5 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ومُمسَك أفقيًا. يُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة الرأسية R التي يؤثّر بها المسمار على القضيب مباشرةً بعد تركه.

m = 16 kgL = 2,5 mg = 9,81 m/s²

R = N

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل طوق رقيق يتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 25° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر معامل احتكاك سكوني μ_s يمنعه من الانزلاق.

θ = 25°I = m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

عمودان متوازيان المسافة بينهما 150 mm. يجب وصلهما بزوج من التروس المستقيمة بموديول 3 mm وتخفيض سرعة 3 : 1. كم سنًّا N₂ يجب أن يكون للترس الكبير؟

a = 150 mmm = 3 mmi = 3

N₂ =

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (12 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 1450 rpm الترسَ B (30 سنًّا). الترس C (36 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (80 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 1450 rpmA = 12B = 30C = 36D = 80

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 1,5 kg على نابض k = 250 N/m تُسحب 8 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد إزاحتها x عن موضع الاتزان عند t = 0,25 s (مع الإشارة).

m = 1,5 kgk = 250 N/mA = 8 cmt = 0,25 s

x = cm

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 3,4 kg على نابض k = 340 N/m تُسحب 17 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى تسارع لها a_max.

m = 3,4 kgk = 340 N/mA = 17 cm

a_max = m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 5 kg يحملها نابض جساءته 8 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 30 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 5 kgk = 8 kN/mc = 30 N·s/m

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 5 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 30 kN/m و k₂ = 5 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: t = 4,167 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

زمن الكبح

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 12,5/3 = 4,167 s

الإجابة

t = 4,167 s

2.علم الحركة

الإجابة: d = 70,61 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

جزآن من الزمن

½·9,81·t₁² = 343·(4 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1372 = 0

زمن السقوط

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1372))/(2·4,905) = 3,794 s

العمق

d = ½·9,81·3,794² = 70,61 m

الإجابة

d = 70,61 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 6,306 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0) = 6,306 m/s²

الإجابة

a = 6,306 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 1,509 m/s²

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9,81 − 0)/6,5 = 1,509 m/s²

الإجابة

a = 1,509 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 10,04 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 40° = 7,66 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 40° = 6,428 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·6,428/9,81 = 1,31 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 7,66·1,31 = 10,04 m

الإجابة

x = 10,04 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 37,4 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 8,893 m/s, v_y = 24,43 m/s

الزمن حتى الهبوط على السطح

الجذر الأكبر: الكرة نازلة.

16 = 24,43·t − 4,905·t²

t = (24,43 + √(24,43² − 2·9,81·16))/9,81 = 4,205 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 8,893·4,205 = 37,4 m

الإجابة

x = 37,4 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 2,217 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

نصف قطر الدائرة

r = L·sin θ = 1,3·sin 20° = 0,4446 m

السرعة

الشدّ والجاذبية معًا يعطيان القوة المتجهة إلى الداخل: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,4446·9,81·tan 20°) = 1,26 m/s

الزمن الدوري

T = 2π·r/v = 2π·0,4446/1,26 = 2,217 s

الإجابة

T = 2,217 s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 18,43 m/s

موازنات القوى

يتجه الاحتكاك إلى أسفل المنحدر.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

السرعة

v = √(50·9,81·0,5943/0,8584) = 18,43 m/s

الإجابة

v_max = 18,43 m/s

(66,34 km/h)

9.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 8,849 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

السرعة بالوحدات الأساسية

v = 30/3,6 = 8,333 m/s

موازنة الطاقة

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 8,333²/(2·0,4·9,81) = 8,849 m

الإجابة

d = 8,849 m

مضاعفة السرعة تجعل مسافة التوقّف أطول بأربع مرات.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 3,431 m/s

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 49,05·(1,5 − 0,2·4,5) = 29,43 J

السرعة عند النابض

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·0,6) = 3,431 m/s

الإجابة

v = 3,431 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: ΔK = 194872 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

السرعة المشتركة

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·20/3900 = 10,26 m/s

الطاقة الحركية قبل وبعد

K_before = ½·2000·20² = 400000 J

K_after = ½·3900·10,26² = 205128 J

الطاقة المفقودة

ΔK = 400000 − 205128 = 194872 J

الإجابة

ΔK = 194872 J

تذهب الطاقة المفقودة إلى التشوّه والحرارة والصوت.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 579,1 m/s

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 1,5·(1 − cos 35°) = 0,2713 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,2713) = 2,307 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 5,02·2,307/0,02 = 579,1 m/s

الإجابة

v = 579,1 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: R = 39,24 N

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

العزوم حول المسمار

لحظة الترك ω = 0، لذا لا يوجد تسارع مركزي ويتسارع المركز رأسيًا إلى الأسفل.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·2,5) = 5,886 rad/s²

القوى الرأسية

a_G = α·L/2 = 7,357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 16·(9,81 − 7,357) = 39,24 N

الإجابة

R = 39,24 N

R = m·g/4، مستقلة عن الطول.

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: μ_s = 0,2332

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

معادلات الحركة

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

التسارع

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 25°/2 = 2,073 m/s²

الاحتكاك اللازم

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 1·tan 25°/2 = 0,2332

الإجابة

μ_s = 0,2332

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N₂ = 75

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

العدد الكلي للأسنان

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·150/3 = 100

قسّم وفق النسبة

N₁ = 100/(1 + 3) = 25

N₂ = 3·25 = 75

الإجابة

N₂ = 75

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 261 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 1450·12/30 = 580 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 580·36/80 = 261 rpm

الإجابة

n_out = 261 rpm

النسبة الكلية = 5,556 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: x = −7,971 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(250/1,5) = 12,91 rad/s

ω·t = 12,91·0,25 = 3,227 rad

الإزاحة

x = A·cos(ω·t) = 8·cos(3,227) = −7,971 cm

الإجابة

x = −7,971 cm

18.النوابض والبندولات

الإجابة: a_max = 17 m/s²

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(340/3,4) = 10 rad/s

أقصى تسارع

a_max = A·ω² = 0,17·10² = 17 m/s²

الإجابة

a_max = 17 m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,075

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·5) = 400 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 30/400 = 0,075

الإجابة

ζ = 0,075

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 13,32 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 5 = 35 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(35000/5) = 83,67 rad/s

f_n = 83,67/(2π) = 13,32 Hz

الإجابة

f_n = 13,32 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics