الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سائقة تسير بسرعة 50 km/h ترى عائقًا. زمن ردّ فعلها 1,1 s، تكبح السيارة بعده بتباطؤ ثابت 4 m/s². أوجد مسافة التوقّف الكلية d من لحظة رؤيتها العائق.

v₀ = 50 km/ht_r = 1,1 sa = −4 m/s²

d = m

2.علم الحركةصعبة

يُطلق صاروخ نموذجي رأسيًا إلى الأعلى من السكون. يمنحه محرّكه تسارعًا ثابتًا إلى الأعلى مقداره 28 m/s² لمدة 3 s، ثم يتوقّف المحرّك ويتحرّك الصاروخ حرًّا. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الإطلاق يرتطم بالأرض؟ أوجد t.

a = 28 m/s²t₁ = 3 sg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 10 kg إلى أسفل منحدر أملس يميل بزاوية 35° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 10 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 9,5 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 5,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 65° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد أقصى ارتفاع H تبلغه الكرة.

v₀ = 40 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

H = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 28 m/s وبزاوية 45° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 40 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بأيّ زاوية α تحت الأفق ترتطم بالأرض؟

v₀ = 28 m/sθ = 45°h = 40 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 95 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,7. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 95 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

تُترك عربة صغيرة من السكون على مسار عديم الاحتكاك وتدخل حلقة رأسية نصف قطرها 7,5 m. من أيّ ارتفاع أدنى h_min فوق قاع الحلقة يجب أن تبدأ كي تبقى على المسار عند قمة الحلقة؟

R = 7,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 1 kg مسافة 14 m على منحدر يميل بزاوية 30° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,4. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 1 kgθ = 30°μ = 0,4d = 14 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

عربة كتلتها 0,5 kg تُترك من السكون على ارتفاع 3 m على مسار أملس يؤدي إلى حلقة دائرية رأسية نصف قطرها 1 m. أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.

m = 0,5 kgh = 3 mR = 1 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 4 kg يتحرك بسرعة 5 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 2,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 4 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

سيارة كتلتها 1100 kg تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 800 kg. يلتحم الحطامان وينزلقان 6 m قبل التوقّف. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة السيارة الأولى v₁ قبيل التصادم.

m₁ = 1100 kgm₂ = 800 kgd = 6 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 4,5 kg وطوله 0,6 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ويُترك من السكون في وضع أفقي. أهمل الاحتكاك واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد السرعة الزاوية ω للقضيب لحظة مروره بالوضع الرأسي.

m = 4,5 kgL = 0,6 mg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل كرة مصمتة كتلته 11 kg يتدحرج دون انزلاق بسرعة 1,5 m/s. ما النسبة المئوية p من طاقته الحركية الكلية التي هي دورانية؟

m = 11 kgv = 1,5 m/sI = (2/5)·m·r²

p = %

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 7,5 kW يعمل بسرعة 1440 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 20 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 60 سنًّا. كفاءة زوج التروس 96%. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 7,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 20N₂ = 60η = 96%

T₁ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قطرها 125 mm وبكرة قطرها 300 mm والمسافة بين مركزيهما 1000 mm. أوجد زاوية الالتفاف θ على البكرة الأصغر بالدرجات.

d₁ = 125 mmd₂ = 300 mmC = 1000 mm

θ = °

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كم يجب أن يكون طول بندول بسيط ليكون زمنه الدوري 2,4 s؟ استخدم g = 9,81 m/s². أوجد L.

T = 2,4 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة على نابض k = 70 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 18 cm. أوجد الطاقة U المخزّنة في النابض عندما تكون الكتلة على بعد 9 cm من موضع الاتزان.

k = 70 N/mA = 18 cmx = 9 cm

U = J

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 50 kg على نابض جساءته 100 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,3. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 50 kgk = 100 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 30 kN/m والسفلي k₂ = 50 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 25 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: d = 39,39 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

مسافة ردّ الفعل

d₁ = v₀·t_r = 13,89·1,1 = 15,28 m

مسافة الكبح

d₂ = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·4) = 24,11 m

المجموع

d = 15,28 + 24,11 = 39,39 m

الإجابة

d = 39,39 m

2.علم الحركة

الإجابة: t = 21,51 s

مرحلة الدفع

v₁ = 28·3 = 84 m/s

h₁ = ½·28·3² = 126 m

الطيران الحرّ حتى الأرض

حلّ −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² للجذر الموجب.

t₂ = (84 + √(84² + 2·9,81·126))/9,81 = 18,51 s

t = 3 + 18,51 = 21,51 s

الإجابة

t = 21,51 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 5,627 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0) = 5,627 m/s²

الإجابة

a = 5,627 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 42,71 N

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 23,3)/15 = 2,044 m/s²

قوة الشد من الجسم الموجود على الطاولة

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9,5·2,044 + 23,3 = 42,71 N

الإجابة

T = 42,71 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 66,98 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 65° = 16,9 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 65° = 36,25 m/s

أعلى نقطة

في القمة تكون السرعة الرأسية صفرًا: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 36,25²/(2·9,81) = 66,98 m

الإجابة

H = 66,98 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: α = 60,01 °

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 28·cos 45° = 19,8 m/s

v_y0 = 28·sin 45° = 19,8 m/s

السرعة الرأسية عند الارتطام

الطاقة أو v² = v₀² + 2as في الاتجاه الرأسي.

v_y = √(19,8² + 2·9,81·40) = 34,3 m/s

زاوية الارتطام

tan α = v_y/v_x = 34,3/19,8 → α = 60,01°

الإجابة

α = 60,01°

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 25,54 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·95) = 25,54 m/s

الإجابة

v_max = 25,54 m/s (91,95 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: h_min = 18,75 m

الشرط عند القمة

m·g = m·v²/R → v² = g·R

حفظ الطاقة

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·7,5 = 18,75 m

الإجابة

h_min = 18,75 m

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 47,58 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 9,81·0,866 = 8,496 N

F = μN = 0,4·8,496 = 3,398 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 3,398·14 = 47,58 J

الإجابة

W_f = 47,58 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: N = 4,905 N

السرعة عند القمة

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(3 − 2) = 19,62 m²/s²

القوى عند القمة

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

N = mv²/R − mg = 0,5·19,62/1 − 4,905 = 4,905 N

الإجابة

N = 4,905 N

تكمل العربة الحلقة بالكاد عندما h = 2,5R؛ وعندئذٍ N = 0 عند القمة.

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = 1,154 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (4 − 2,5)/(4 + 2,5)·5 = 1,154 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 2,5)·5 = 6,154 m/s

الإجابة

v′₁ = 1,154 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v₁ = 13,25 m/s

السرعة بعد التصادم

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·6) = 7,672 m/s

كمية الحركة في التصادم

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 1900·7,672/1100 = 13,25 m/s

الإجابة

v₁ = 13,25 m/s

(47,71 km/h)

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ω = 7,004 rad/s

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

الفقد في طاقة الوضع

m·g·L/2 = 4,5·9,81·0,3 = 13,24 J

عزم القصور الذاتي حول المسمار

I_O = m·L²/3 = 4,5·0,6²/3 = 0,54 kg·m²

موازنة الطاقة

½·I_O·ω² = 13,24 → ω = √(2·13,24/0,54) = 7,004 rad/s

الإجابة

ω = 7,004 rad/s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: p = 28,57 %

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

الجزآن الانتقالي والدوراني

E_trans = ½·m·v² = ½·11·1,5² = 12,38 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,4·m·r²·(v/r)² = 0,4·12,38 = 4,95 J

حصة الدوران

p = 4,95/17,32·100% = c/(1 + c)·100% = 28,57%

الإجابة

p = 28,57 %

الحصة تعتمد على الشكل فقط، لا على الكتلة أو السرعة.

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 49,74 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/150,8 = 49,74 N·m

الإجابة

T₁ = 49,74 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: θ = 170 °

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية السير

asin(0,0875) = 5,02°

زاوية الالتفاف

θ = 180 − 2·5,02 = 170°

الإجابة

θ = 170°

17.النوابض والبندولات

الإجابة: L = 1,431 m

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

احسب الطول

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,4/2π)² = 1,431 m

الإجابة

L = 1,431 m

18.النوابض والبندولات

الإجابة: U = 0,2835 J

الطاقة الكلية

E = ½·k·A² = ½·70·0,18² = 1,134 J

طاقة النابض عند x

U = ½·k·x² = ½·70·0,09² = 0,2835 J

الإجابة

U = 0,2835 J

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 6,79 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(100000/50) = 44,72 rad/s

f_n = 44,72/(2π) = 7,118 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,118·√(1 − 0,3²) = 6,79 Hz

الإجابة

f_d = 6,79 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 4,359 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/50 → k_eq = 30·50/(30 + 50) = 18,75 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(18750/25) = 27,39 rad/s

f_n = 27,39/(2π) = 4,359 Hz

الإجابة

f_n = 4,359 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics