الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 100 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 6,5 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 100 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

يُطلق صاروخ نموذجي رأسيًا إلى الأعلى من السكون. يمنحه محرّكه تسارعًا ثابتًا إلى الأعلى مقداره 32 m/s² لمدة 2 s، ثم يتوقّف المحرّك ويتحرّك الصاروخ حرًّا. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max يبلغه الصاروخ.

a = 32 m/s²t₁ = 2 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 9 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 20° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 9 kgθ = 20°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 5,5 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 2 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 2 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُركل كرة من أرض مستوية بسرعة 26 m/s وبزاوية 35° فوق الأفق نحو جدار على بعد 52 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y تمرّ الكرة بالجدار؟

v₀ = 26 m/sθ = 35°x = 52 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 50° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 40 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 14 m/sθ = 50°h = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 115 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 115 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1,7 kg مربوطة بخيط خفيف طوله 1,2 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة سرعتها 11,5 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T_top في الخيط عند أعلى نقطة.

m = 1,7 kgr = 1,2 mv_bottom = 11,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم من السكون على منحدر يميل بزاوية 20° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,15. أوجد سرعته v بعد أن ينزلق 19 m على المنحدر.

θ = 20°μ = 0,15d = 19 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.الشغل والطاقةصعبة

عربة كتلتها 2 kg تُترك من السكون على ارتفاع 3,9 m على مسار أملس يؤدي إلى حلقة دائرية رأسية نصف قطرها 1,5 m. أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.

m = 2 kgh = 3,9 mR = 1,5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 3,5 kg يتحرك بسرعة 3 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 4,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 1600 kg تسير شرقًا بسرعة 21 m/s بسيارة كتلتها 1500 kg تسير شمالًا بسرعة 17 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد اتجاه الحطام θ مباشرةً بعد التصادم، مقيسًا شمال الشرق.

m₁ = 1600 kgv₁ = 21 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 17 m/s (N)

θ = °

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 2,5 kg وطوله 1 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ويُترك من السكون في وضع أفقي. أهمل الاحتكاك واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد السرعة الزاوية ω للقضيب لحظة مروره بالوضع الرأسي.

m = 2,5 kgL = 1 mg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل كرة مجوّفة يتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 30° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². يبدأ من السكون. كم من الوقت t يستغرق ليتدحرج 8 m إلى أسفل المنحدر؟

θ = 30°I = (2/3)·m·r²g = 9,81 m/s²s = 8 m

t = s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 1,1 kW يعمل بسرعة 1500 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 48 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 50 سنًّا. كفاءة زوج التروس 98%. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 1,1 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 48N₂ = 50η = 98%

T₁ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (30 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 3000 rpm الترسَ B (36 سنًّا). الترس C (18 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (24 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 3000 rpmA = 30B = 36C = 18D = 24

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 0,3 kg على نابض k = 200 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 15 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 11 cm من موضع الاتزان.

m = 0,3 kgk = 200 N/mA = 15 cmx = 11 cm

v = m/s

18.النوابض والبندولاتصعبة

جسم يهتز حركة توافقية بسيطة بزمن دوري 2,9 s وسعة 11 cm. ما أقصر زمن t يحتاجه للانتقال من موضع الاتزان إلى إزاحة 2,75 cm؟

T = 2,9 sA = 11 cmx = 2,75 cm

t = s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 40 kg يحملها نابض جساءته 40 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 630 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 40 kgk = 40 kN/mc = 630 N·s/m

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 20 kg معلّقة بالنابض k₃ = 25 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 30 kN/m و k₂ = 60 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 59,35 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·6,5) = 59,35 m

الإجابة

s = 59,35 m

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 272,8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

مرحلة الدفع

v₁ = 32·2 = 64 m/s

h₁ = ½·32·2² = 64 m

الطيران الحرّ صعودًا

عند القمة تكون السرعة صفرًا.

Δh = v₁²/(2g) = 64²/(2·9,81) = 208,8 m

h_max = 64 + 208,8 = 272,8 m

الإجابة

h_max = 272,8 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 0,5897 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 20° − 0,3·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,2819) = 0,5897 m/s²

الإجابة

a = 0,5897 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 0,4578 m/s²

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19,62 − 16,19)/7,5 = 0,4578 m/s²

الإجابة

a = 0,4578 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: y = 7,171 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

الزمن حتى الجدار

v_x = 26·cos 35° = 21,3 m/s

t = x/v_x = 52/21,3 = 2,442 s

الارتفاع في تلك اللحظة

y = 14,91·2,442 − ½·9,81·2,442² = 7,171 m

الإجابة

y = 7,171 m

الكرة في طريقها إلى الأسفل أصلًا عند الجدار.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 4,151 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 50° = 8,999 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 50° = 10,72 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 40 + 10,72·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,72 + √(115 + 784,8))/9,81 = 4,151 s

الإجابة

t = 4,151 s

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 23,75 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·115) = 23,75 m/s

الإجابة

v_max = 23,75 m/s (85,5 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T_top = 104 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

السرعة عند القمة

تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة وضع على ارتفاع 2r.

v_top² = 11,5² − 4·9,81·1,2 = 85,16 m²/s²

القوى عند القمة

الشدّ والجاذبية كلاهما يتجهان إلى الأسفل، نحو المركز.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,7·85,16/1,2 − 1,7·9,81 = 104 N

الإجابة

T_top = 104 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 8,658 m/s

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

موازنة الطاقة على المنحدر

ينخفض الجسم مسافة رأسية d·sin θ بينما يسلب الاحتكاك μmg·cos θ·d. تُختصر الكتلة.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·19·(0,342 − 0,15·0,9397)) = 8,658 m/s

الإجابة

v = 8,658 m/s

10.الشغل والطاقة

الإجابة: N = 3,924 N

السرعة عند القمة

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(3,9 − 3) = 17,66 m²/s²

القوى عند القمة

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

N = mv²/R − mg = 2·17,66/1,5 − 19,62 = 3,924 N

الإجابة

N = 3,924 N

تكمل العربة الحلقة بالكاد عندما h = 2,5R؛ وعندئذٍ N = 0 عند القمة.

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = −0,375 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (3,5 − 4,5)/(3,5 + 4,5)·3 = −0,375 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 4,5)·3 = 2,625 m/s

الإجابة

v′₁ = −0,375 m/s

الإشارة السالبة تعني أن المنزلق الأول يرتد إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: θ = 37,2 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

مركّبات كمية الحركة

p_x = 1600·21 = 33600 kg·m/s

p_y = 1500·17 = 25500 kg·m/s

الاتجاه

tan θ = p_y/p_x = 0,7589 → θ = 37,2°

الإجابة

θ = 37,2°

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ω = 5,425 rad/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

الفقد في طاقة الوضع

m·g·L/2 = 2,5·9,81·0,5 = 12,26 J

عزم القصور الذاتي حول المسمار

I_O = m·L²/3 = 2,5·1²/3 = 0,8333 kg·m²

موازنة الطاقة

½·I_O·ω² = 12,26 → ω = √(2·12,26/0,8333) = 5,425 rad/s

الإجابة

ω = 5,425 rad/s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: t = 2,332 s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

معادلات الحركة

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,6667·m·r²·(a/r) → f = 0,6667·m·a

التسارع

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 30°/1,667 = 2,943 m/s²

الزمن

s = ½·a·t² → t = √(2·8/2,943) = 2,332 s

الإجابة

t = 2,332 s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 7,003 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/157,1 = 7,003 N·m

الإجابة

T₁ = 7,003 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 1875 rpm

المرحلة الأولى

n_B = 3000·30/36 = 2500 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 2500·18/24 = 1875 rpm

الإجابة

n_out = 1875 rpm

النسبة الكلية = 1,6 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 2,633 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(200/0,3) = 25,82 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 25,82·√(0,15² − 0,11²) = 2,633 m/s

الإجابة

v = 2,633 m/s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: t = 0,1166 s

التردد الزاوي

ω = 2π/T = 2π/2,9 = 2,167 rad/s

حلّ لإيجاد الزمن

0,25 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,25) = 0,2527 rad

t = 0,2527/2,167 = 0,1166 s

الإجابة

t = 0,1166 s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,249

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·40) = 2530 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 630/2530 = 0,249

الإجابة

ζ = 0,249

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 4,978 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 30 + 60 = 90 kN/m

k_eq = 90·25/(90 + 25) = 19,57 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(19565/20) = 31,28 rad/s

f_n = 31,28/(2π) = 4,978 Hz

الإجابة

f_n = 4,978 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics