الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تبدأ طائرة من السكون وتتسارع بانتظام بمقدار 2,25 m/s² على مدرج. أوجد سرعتها v بعد 2000 m.

v₀ = 0a = 2,25 m/s²s = 2000 m

v = m/s

2.علم الحركةصعبة

يبدأ ترام من السكون ويتسارع بمقدار 1 m/s² لمدة 4 s، ثم يسير بسرعة ثابتة لمدة 19 s، وأخيرًا يكبح بمقدار 3 m/s² حتى يتوقّف. أوجد زمن الرحلة الكلي t.

a₁ = 1 m/s²t₁ = 4 st₂ = 19 sa₃ = −3 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

صندوق كتلته 10 kg يُدفع إلى أعلى منحدر يميل 15° عن الأفق بسرعة ثابتة، بقوة موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,4. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الدفع F.

m = 10 kgθ = 15°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

F = N

4.قوانين نيوتنصعبة

يُدفع جسم فيبدأ الانزلاق إلى أعلى منحدر يميل 35° بسرعة 8,5 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². ما المسافة d التي ينزلقها على المنحدر قبل أن يتوقّف؟

v₀ = 8,5 m/sθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 20° فوق الأفق وتهبط على بعد 85 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

θ = 20°R = 85 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 55° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 5 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 15 m/sθ = 55°h = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 20 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 20 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 0,6 kg مربوطة بخيط خفيف طوله 1,3 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة سرعتها 9 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T_top في الخيط عند أعلى نقطة.

m = 0,6 kgr = 1,3 mv_bottom = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم من السكون على منحدر يميل بزاوية 15° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,1. أوجد سرعته v بعد أن ينزلق 11 m على المنحدر.

θ = 15°μ = 0,1d = 11 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.الشغل والطاقةصعبة

عربة كتلتها 5 kg تُترك من السكون على ارتفاع 4 m على مسار أملس يؤدي إلى حلقة دائرية رأسية نصف قطرها 1 m. أوجد سرعة العربة v عند قمة الحلقة.

m = 5 kgh = 4 mR = 1 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 3,5 kg يتحرك بسرعة 4 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 2 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 1900 kg تسير شرقًا بسرعة 10 m/s بسيارة كتلتها 900 kg تسير شمالًا بسرعة 24 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد سرعة الحطام v′ مباشرةً بعد التصادم.

m₁ = 1900 kgv₁ = 10 m/s (E)m₂ = 900 kgv₂ = 24 m/s (N)

v′ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

حدّافة عزم قصورها الذاتي 14,5 kg·m² تدور بسرعة 3000 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 10 N·m. كم دورة N تدورها الحدّافة قبل أن تتوقّف؟

I = 14,5 kg·m²n = 3000 rpmT_b = 10 N·m

N = rev

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل كرة مصمتة يتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 30° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع مركزه a.

θ = 30°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

a = m/s²

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 160 mm تدور بسرعة 960 rpm. الشد 1500 N في الجانب المشدود و300 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 300 N

P = kW

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدور الترس A (15 سنًّا) على عمود الدخل بسرعة 3000 rpm ويدير الترس B (45 سنًّا). الترس C (45 سنًّا) مثبَّت على عمود B نفسه ويدير الترس D على عمود الخرج. يجب أن يدور الخرج بسرعة 625 rpm. كم سنًّا N_D يجب أن يكون للترس D؟

n_in = 3000 rpmA = 15B = 45C = 45n_out = 625 rpm

N_D =

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 2,8 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 2,8 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 1,2 kg على نابض k = 300 N/m تُسحب 3 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى تسارع لها a_max.

m = 1,2 kgk = 300 N/mA = 3 cm

a_max = m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 25 mm بعد 3 دورات قمةٌ مقدارها 14,2 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 25 mmx₃ = 14,2 mmn = 3

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 5 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 40 kN/m و k₂ = 20 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 5 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: v = 94,87 m/s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

السرعة بعد المسافة

v = √(2·a·s) = √(2·2,25·2000) = 94,87 m/s

الإجابة

v = 94,87 m/s

(341,5 km/h)

2.علم الحركة

الإجابة: t = 24,33 s

السرعة القصوى

v = a₁·t₁ = 1·4 = 4 m/s

زمن الكبح

t₃ = v/a₃ = 4/3 = 1,333 s

الزمن الكلي

t = 4 + 19 + 1,333 = 24,33 s

الإجابة

t = 24,33 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: F = 63,29 N

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

سرعة ثابتة: القوى متوازنة.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

قوة الدفع

F = 25,39 + 37,9 = 63,29 N

الإجابة

F = 63,29 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: d = 4,495 m

التباطؤ

القوتان تتجهان إلى أسفل المنحدر؛ وتُختصر الكتلة.

a = 9,81·(sin 35° + 0,3·cos 35°) = 8,038 m/s²

المسافة

d = v₀²/(2a) = 8,5²/(2·8,038) = 4,495 m

الإجابة

d = 4,495 m

5.حركة المقذوفات

الإجابة: v₀ = 36,02 m/s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّ صيغة المدى لإيجاد v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·85/sin 40°) = 36,02 m/s

الإجابة

v₀ = 36,02 m/s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 24,62 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 55° = 8,604 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 55° = 12,29 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 5 + 12,29·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12,29 + √(151 + 98,1))/9,81 = 2,861 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 8,604·2,861 = 24,62 m

الإجابة

x = 24,62 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 9,905 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·20) = 9,905 m/s

الإجابة

v_max = 9,905 m/s (35,66 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T_top = 7,955 N

السرعة عند القمة

تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة وضع على ارتفاع 2r.

v_top² = 9² − 4·9,81·1,3 = 29,99 m²/s²

القوى عند القمة

الشدّ والجاذبية كلاهما يتجهان إلى الأسفل، نحو المركز.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,6·29,99/1,3 − 0,6·9,81 = 7,955 N

الإجابة

T_top = 7,955 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 5,917 m/s

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

موازنة الطاقة على المنحدر

ينخفض الجسم مسافة رأسية d·sin θ بينما يسلب الاحتكاك μmg·cos θ·d. تُختصر الكتلة.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·11·(0,2588 − 0,1·0,9659)) = 5,917 m/s

الإجابة

v = 5,917 m/s

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 6,264 m/s

السرعة عند القمة

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(4 − 2) = 39,24 m²/s²

v = 6,264 m/s

الإجابة

v = 6,264 m/s

تكمل العربة الحلقة بالكاد عندما h = 2,5R؛ وعندئذٍ N = 0 عند القمة.

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = 1,091 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (3,5 − 2)/(3,5 + 2)·4 = 1,091 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 2)·4 = 5,091 m/s

الإجابة

v′₁ = 1,091 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′ = 10,27 m/s

مركّبات كمية الحركة

p_x = 1900·10 = 19000 kg·m/s

p_y = 900·24 = 21600 kg·m/s

سرعة الحطام

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 28767/2800 = 10,27 m/s

الإجابة

v′ = 10,27 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: N = 11388 rev

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

شغل المكبح يساوي الطاقة الحركية

½·I·ω² = ½·14,5·314,2² = 715546 J

θ = 715546/10 = 71555 rad

الدورات

N = θ/2π = 11388 rev

الإجابة

N = 11388 rev

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: a = 3,504 m/s²

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

معادلات الحركة

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

التسارع

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 30°/1,4 = 3,504 m/s²

الإجابة

a = 3,504 m/s²

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 9,651 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 8,042 m/s

القدرة

P = (1500 − 300)·8,042 = 9651 W = 9,651 kW

الإجابة

P = 9,651 kW

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N_D = 72

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

سرعة العمود الوسيط

n_B = n_C = 3000·15/45 = 1000 rpm

أسنان الترس D

N_D = C·n_C/n_out = 45·1000/625 = 72

الإجابة

N_D = 72

17.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 3,357 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(2,8/9,81) = 3,357 s

الإجابة

T = 3,357 s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: a_max = 7,5 m/s²

التردد الزاوي

ω = √(300/1,2) = 15,81 rad/s

أقصى تسارع

a_max = A·ω² = 0,03·15,81² = 7,5 m/s²

الإجابة

a_max = 7,5 m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,02999

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/3)·ln(25/14,2) = 0,1885

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1885/√(39,48 + 0,03555) = 0,02999

الإجابة

ζ = 0,02999

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 60 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 40 + 20 = 60 kN/m

الإجابة

k_eq = 60 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics