الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سائقة تسير بسرعة 45 km/h ترى عائقًا. زمن ردّ فعلها 0,7 s، تكبح السيارة بعده بتباطؤ ثابت 7 m/s². أوجد مسافة التوقّف الكلية d من لحظة رؤيتها العائق.

v₀ = 45 km/ht_r = 0,7 sa = −7 m/s²

d = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 12 m/s من حافة سطح يرتفع 10 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 12 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

زلّاجة كتلتها 35 kg تُسحب على ثلج مستوٍ بحبل يميل 35° فوق الأفق بقوة 180 N. معامل الاحتكاك الحركي 0,4. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الزلّاجة a.

m = 35 kgF = 180 Nθ = 35°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسمان على أرضية مستوية موصولان بخيط أفقي خفيف. قوة أفقية مقدارها 95 N تسحب الجسم الأمامي ذا الكتلة 5 kg؛ ويُجرّ الجسم ذو الكتلة 2 kg خلفه. معامل الاحتكاك الحركي 0,25 للجسمين كليهما. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسمين a.

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgF = 95 Nμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 32 m/s ويجب أن تهبط على بعد 70 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 32 m/sR = 70 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُرمى كرة من مستوى الأرض بسرعة 37 m/s وبزاوية 35° فوق الأفق. تهبط على السطح المستوي لمبنى ارتفاعه 11 m، وهي في طريقها إلى الأسفل. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد المسافة الأفقية x من نقطة القذف إلى موضع هبوطها.

v₀ = 37 m/sθ = 35°h_roof = 11 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 80 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,7. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 80 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1,5 kg مربوطة بخيط خفيف طوله 0,6 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة سرعتها 6 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T_top في الخيط عند أعلى نقطة.

m = 1,5 kgr = 0,6 mv_bottom = 6 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 110 km/h على طريق مستوٍ تكبح بقوة وتنزلق حتى تتوقّف وعجلاتها مقفلة. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,4. أوجد مسافة التوقّف d.

v = 110 km/hμ = 0,4g = 9,81 m/s²

d = m

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 2,5 kg من السكون على ارتفاع 5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 5 m (μ = 0,25) ثم يصطدم بنابض (k = 5000 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 2,5 kgh = 5 mL = 5 mμ = 0,25k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 1,5 kg يتحرك بسرعة 4 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 2,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 1,5 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,55 kg تصطدم بجدار بسرعة 18 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 7 m/s. يدوم التلامس 10 ms. أوجد مقدار الدفع J الذي يعطيه الجدار للكرة.

m = 0,55 kgv_in = 18 m/sv_out = 7 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

جسم كتلته 13,5 kg معلّق بحبل خفيف ملفوف حول بكرة، وهي قرص مصمت منتظم كتلته 9 kg ونصف قطره 0,45 m يدور على محور أفقي عديم الاحتكاك. يُترك الجسم من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الجسم v بعد أن يهبط 3,5 m.

m = 13,5 kgM = 9 kgR = 0,45 mg = 9,81 m/s²h = 3,5 m

v = m/s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل طوق رقيق يتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 15° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². يبدأ من السكون. كم من الوقت t يستغرق ليتدحرج 8,5 m إلى أسفل المنحدر؟

θ = 15°I = m·r²g = 9,81 m/s²s = 8,5 m

t = s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 3 kW يعمل بسرعة 1440 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 18 سنًّا وموديول 2,5 mm. أوجد القوة المماسية F_t على أسنان الترس الصغير.

P = 3 kWn = 1440 rpmN₁ = 18m = 2,5 mm

F_t = N

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قطرها 120 mm وبكرة قطرها 250 mm والمسافة بين مركزيهما 500 mm. أوجد زاوية الالتفاف θ على البكرة الأصغر بالدرجات.

d₁ = 120 mmd₂ = 250 mmC = 500 mm

θ = °

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

يجد رائد فضاء على كوكب آخر أن بندولًا بسيطًا طوله 1,9 m زمنه الدوري 1,74 s للتأرجحات الصغيرة. أوجد تسارع الجاذبية g على ذلك الكوكب.

L = 1,9 mT = 1,74 s

g = m/s²

18.النوابض والبندولاتصعبة

تُربط كتلة مقدارها 2,7 kg بالطرف السفلي لنابض رأسي غير ممطوط k = 300 N/m وتُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر استطالة x_max للنابض بوحدة cm.

m = 2,7 kgk = 300 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 10 kg يحملها نابض جساءته 20 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 450 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 10 kgk = 20 kN/mc = 450 N·s/m

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 5 kg معلّقة بالنابض k₃ = 100 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 20 kN/m و k₂ = 15 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 5 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: d = 19,91 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

الوحدات

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

مسافة ردّ الفعل

d₁ = v₀·t_r = 12,5·0,7 = 8,75 m

مسافة الكبح

d₂ = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·7) = 11,16 m

المجموع

d = 8,75 + 11,16 = 19,91 m

الإجابة

d = 19,91 m

2.علم الحركة

الإجابة: t = 3,103 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−10 = 12·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 12·t − 10 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (12 + √(12² + 2·9,81·10))/9,81 = 3,103 s

الإجابة

t = 3,103 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 1,469 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوة العمودية

N = m·g − F·sin θ = 343,4 − 180·sin 35° = 240,1 N

القوى الأفقية

m·a = F·cos θ − μ·N = 147,4 − 96,04

a = 51,4/35 = 1,469 m/s²

الإجابة

a = 1,469 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 11,12 m/s²

النظام كله

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (95 − 17,17)/7 = 11,12 m/s²

الإجابة

a = 11,12 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 21,06 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·70/32² = 0,6706

الزاوية

2θ = 42,11° → θ = 21,06°

الإجابة

θ = 21,06°

الحل الآخر 90° − θ = 68,94°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 112,9 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 30,31 m/s, v_y = 21,22 m/s

الزمن حتى الهبوط على السطح

الجذر الأكبر: الكرة نازلة.

11 = 21,22·t − 4,905·t²

t = (21,22 + √(21,22² − 2·9,81·11))/9,81 = 3,725 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 30,31·3,725 = 112,9 m

الإجابة

x = 112,9 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 23,44 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·80) = 23,44 m/s

الإجابة

v_max = 23,44 m/s (84,38 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T_top = 16,43 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

السرعة عند القمة

تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة وضع على ارتفاع 2r.

v_top² = 6² − 4·9,81·0,6 = 12,46 m²/s²

القوى عند القمة

الشدّ والجاذبية كلاهما يتجهان إلى الأسفل، نحو المركز.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,5·12,46/0,6 − 1,5·9,81 = 16,43 N

الإجابة

T_top = 16,43 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 119 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

السرعة بالوحدات الأساسية

v = 110/3,6 = 30,56 m/s

موازنة الطاقة

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30,56²/(2·0,4·9,81) = 119 m

الإجابة

d = 119 m

مضاعفة السرعة تجعل مسافة التوقّف أطول بأربع مرات.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 19,18 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 24,53·(5 − 0,25·5) = 91,97 J

أقصى انضغاط

½kx² = 91,97 → x = √(2·91,97/5000) = 0,1918 m = 19,18 cm

الإجابة

x = 19,18 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = −1 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (1,5 − 2,5)/(1,5 + 2,5)·4 = −1 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 2,5)·4 = 3 m/s

الإجابة

v′₁ = −1 m/s

الإشارة السالبة تعني أن المنزلق الأول يرتد إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: J = 13,75 N·s

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,55·(7 + 18) = 13,75 N·s

الإجابة

J = 13,75 N·s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: v = 7,177 m/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

الجسم والبكرة

الجسم: m·g − T = m·a

البكرة: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

التسارع

a = m·g/(m + M/2) = 13,5·9,81/(13,5 + 4,5) = 7,357 m/s²

السرعة بعد الهبوط

v = √(2·a·h) = √(2·7,357·3,5) = 7,177 m/s

الإجابة

v = 7,177 m/s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: t = 3,659 s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

معادلات الحركة

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

التسارع

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 15°/2 = 1,27 m/s²

الزمن

s = ½·a·t² → t = √(2·8,5/1,27) = 3,659 s

الإجابة

t = 3,659 s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: F_t = 884,2 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

العزم على الترس الصغير

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 3000/150,8 = 19,89 N·m

قطر الخطوة

d = m·N = 2,5·18 = 45 mm

القوة المماسية

F_t = 2T/d = 2·19,89/0,045 = 884,2 N

الإجابة

F_t = 884,2 N

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: θ = 165,1 °

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية السير

asin(0,13) = 7,47°

زاوية الالتفاف

θ = 180 − 2·7,47 = 165,1°

الإجابة

θ = 165,1°

17.النوابض والبندولات

الإجابة: g = 24,78 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

حلّ لإيجاد g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,9/1,74² = 24,78 m/s²

الإجابة

g = 24,78 m/s²

18.النوابض والبندولات

الإجابة: x_max = 17,66 cm

الاتزان والسعة

x₀ = m·g/k = 2,7·9,81/300 = 0,08829 m = A

أدنى نقطة

x_max = 2A = 0,1766 m = 17,66 cm

الإجابة

x_max = 17,66 cm

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,5031

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·10) = 894,4 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 450/894,4 = 0,5031

الإجابة

ζ = 0,5031

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 11,46 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 20 + 15 = 35 kN/m

k_eq = 35·100/(35 + 100) = 25,93 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(25926/5) = 72,01 rad/s

f_n = 72,01/(2π) = 11,46 Hz

الإجابة

f_n = 11,46 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics