الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة مسرعة بسرعة ثابتة 29 m/s تمرّ بسيارة شرطة متوقّفة. في تلك اللحظة تنطلق سيارة الشرطة وتتسارع بانتظام بمقدار 5 m/s². على أيّ بعد من نقطة انطلاقها تلحق سيارة الشرطة بها؟ أوجد d.

v_car = 29 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.علم الحركةصعبة

يبدأ ترام من السكون ويتسارع بمقدار 1,5 m/s² لمدة 7 s، ثم يسير بسرعة ثابتة لمدة 16 s، وأخيرًا يكبح بمقدار 4,5 m/s² حتى يتوقّف. أوجد المسافة الكلية s بين المحطّتين.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 7 st₂ = 16 sa₃ = −4,5 m/s²

s = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

كتلتان مقدارهما 7,5 kg و 1 kg معلّقتان على جانبي بكرة خفيفة عديمة الاحتكاك، موصولتان بخيط خفيف. يُترك النظام من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الكتلتين a.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 1 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 8 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 4 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 8 kgm₂ = 4 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 25° فوق الأفق وتهبط على بعد 145 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

θ = 25°R = 145 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 27 m/s وبزاوية 70° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 50 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع H فوق الأرض عند أسفل الجرف.

v₀ = 27 m/sθ = 70°h = 50 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

سيارة كتلتها 1100 kg تمرّ فوق قمة نتوء في الطريق بسرعة 15 m/s. قمة النتوء قوس دائري نصف قطره 85 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها الطريق على السيارة عند القمة.

m = 1100 kgv = 15 m/sr = 85 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 0,8 kg مربوطة بخيط خفيف طوله 1,3 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة سرعتها 10 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T_top في الخيط عند أعلى نقطة.

m = 0,8 kgr = 1,3 mv_bottom = 10 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

لقاذف ألعاب نابض رأسي صلابته 500 N/m. توضع عليه كرة كتلتها 0,15 kg ويُضغط النابض بمقدار 4 cm ثم يُترك. بإهمال مقاومة الهواء وكتلة النابض، أوجد الارتفاع h الذي ترتفعه الكرة، مقيسًا من موضعها عندما كان النابض مضغوطًا.

m = 0,15 kgk = 500 N/mx = 4 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.الشغل والطاقةصعبة

جسم كتلته 4 kg يستقر على طاولة أفقية خشنة (μ = 0,4). يمتدّ منه خيط خفيف فوق بكرة ملساء عند حافة الطاولة إلى جسم معلّق كتلته 4 kg. يُترك النظام من السكون. أوجد سرعة الجسمين v بعد أن يهبط الجسم المعلّق 0,5 m.

m₁ = 4 kgm₂ = 4 kgμ = 0,4d = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 2 kg يتحرك بسرعة 9 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 1,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 2 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,6 kg تصطدم بجدار بسرعة 24 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 9 m/s. يدوم التلامس 40 ms. أوجد متوسط القوة F_avg التي يؤثر بها الجدار على الكرة.

m = 0,6 kgv_in = 24 m/sv_out = 9 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

ينقل عمود 199 kW بسرعة 700 rpm. أوجد العزم T في العمود.

P = 199 kWn = 700 rpm

T = N·m

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قرص مصمت منتظم (كتلته 25 kg، ونصف قطره 0,45 m) يدور بحرية بسرعة 500 rpm حول عمود رأسي عديم الاحتكاك. تُسقَط عليه من السكون حلقة رقيقة كتلتها 16 kg ولها نصف القطر نفسه، متمركزة على العمود، وسرعان ما يدوران معًا. كم من الطاقة الحركية ΔE يُفقد في العملية؟

M_disc = 25 kgM_ring = 16 kgR = 0,45 mn₁ = 500 rpm

ΔE = J

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 4 kW يعمل بسرعة 960 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 30 سنًّا وموديول 2,5 mm. أوجد القوة المماسية F_t على أسنان الترس الصغير.

P = 4 kWn = 960 rpmN₁ = 30m = 2,5 mm

F_t = N

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (25 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 3000 rpm الترسَ B (72 سنًّا). الترس C (20 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (60 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 3000 rpmA = 25B = 72C = 20D = 60

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 0,4 kg على نابض k = 280 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 12 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 5 cm من موضع الاتزان.

m = 0,4 kgk = 280 N/mA = 12 cmx = 5 cm

v = m/s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 0,4 kg على نابض k = 140 N/m تُسحب 19 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى سرعة لها v_max.

m = 0,4 kgk = 140 N/mA = 19 cm

v_max = m/s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 10 mm بعد 5 دورات قمةٌ مقدارها 1,5 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 10 mmx₅ = 1,5 mmn = 5

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 5 kN/m و k₂ = 80 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: d = 336,4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

تساوي المسافتين

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·29/5 = 11,6 s

المسافة

d = v·t = 29·11,6 = 336,4 m

الإجابة

d = 336,4 m

في تلك اللحظة تتحرّك سيارة الشرطة بسرعة 2v = 58 m/s.

2.علم الحركة

الإجابة: s = 217 m

السرعة القصوى

v = a₁·t₁ = 1,5·7 = 10,5 m/s

مسافة كل مرحلة

s₁ = ½·1,5·7² = 36,75 m

s₂ = 10,5·16 = 168 m

s₃ = 10,5²/(2·4,5) = 12,25 m

المسافة الكلية

s = 36,75 + 168 + 12,25 = 217 m

الإجابة

s = 217 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 7,502 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

التسارع

القوة الدافعة المحصّلة هي الفرق بين الوزنين؛ وهي تحرّك الكتلة الكلية.

a = (7,5 − 1)·9,81/(7,5 + 1) = 7,502 m/s²

الإجابة

a = 7,502 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 28,78 N

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 7,848)/12 = 2,616 m/s²

قوة الشد من الجسم الموجود على الطاولة

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8·2,616 + 7,848 = 28,78 N

الإجابة

T = 28,78 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: v₀ = 43,09 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّ صيغة المدى لإيجاد v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·145/sin 50°) = 43,09 m/s

الإجابة

v₀ = 43,09 m/s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 82,81 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

سرعة القذف الرأسية

v_y = 27·sin 70° = 25,37 m/s

الارتفاع فوق الجرف

Δh = v_y²/(2g) = 25,37²/(2·9,81) = 32,81 m

الارتفاع فوق الأرض

H = 50 + 32,81 = 82,81 m

الإجابة

H = 82,81 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: N = 7879 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

القوى عند القمة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأسفل) موجب.

m·g − N = m·v²/r

N = 1100·9,81 − 1100·15²/85 = 10791 − 2912 = 7879 N

الإجابة

N = 7879 N

تبدو السيارة أخفّ: يدفعها الطريق إلى الأعلى بأقل من وزنها.

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T_top = 22,3 N

السرعة عند القمة

تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة وضع على ارتفاع 2r.

v_top² = 10² − 4·9,81·1,3 = 48,99 m²/s²

القوى عند القمة

الشدّ والجاذبية كلاهما يتجهان إلى الأسفل، نحو المركز.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,8·48,99/1,3 − 0,8·9,81 = 22,3 N

الإجابة

T_top = 22,3 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: h = 0,2718 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

طاقة النابض

x = 4 cm = 0,04 m

½kx² = ½·500·0,04² = 0,4 J

الارتفاع

m·g = 0,15·9,81 = 1,472 N

h = ½kx²/(mg) = 0,4/1,472 = 0,2718 m

الإجابة

h = 0,2718 m

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 1,716 m/s

الطاقة المحرَّرة والمفقودة

m₂g·d = 39,24·0,5 = 19,62 J

μ·m₁g·d = 0,4·39,24·0,5 = 7,848 J

الطاقة الحركية للجسمين

½(m₁ + m₂)v² = 11,77 → v = √(2·11,77/8) = 1,716 m/s

الإجابة

v = 1,716 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 10,29 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (2 − 1,5)/(2 + 1,5)·9 = 1,286 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 1,5)·9 = 10,29 m/s

الإجابة

v′₂ = 10,29 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: F_avg = 495 N

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,6·(9 + 24) = 19,8 N·s

متوسط القوة

F_avg = J/Δt = 19,8/0,04 = 495 N

الإجابة

F_avg = 495 N

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: T = 2715 N·m

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·700/60 = 73,3 rad/s

العزم

T = P/ω = 199000/73,3 = 2715 N·m

الإجابة

T = 2715 N·m

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ΔE = 1948 J

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

عزوم القصور الذاتي

I₁ = ½·25·0,45² = 2,531 kg·m²

I₂ = 16·0,45² = 3,24 kg·m²

حفظ كمية الحركة الزاوية

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 500·2,531/5,771 = 219,3 rpm

الطاقة الحركية قبل وبعد

E₁ = ½·2,531·52,36² = 3470 J

E₂ = ½·5,771·22,96² = 1522 J

ΔE = 3470 − 1522 = 1948 J

الإجابة

ΔE = 1948 J

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: F_t = 1061 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

العزم على الترس الصغير

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 4000/100,5 = 39,79 N·m

قطر الخطوة

d = m·N = 2,5·30 = 75 mm

القوة المماسية

F_t = 2T/d = 2·39,79/0,075 = 1061 N

الإجابة

F_t = 1061 N

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 347,2 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 3000·25/72 = 1042 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 1042·20/60 = 347,2 rpm

الإجابة

n_out = 347,2 rpm

النسبة الكلية = 8,64 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 2,886 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(280/0,4) = 26,46 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 26,46·√(0,12² − 0,05²) = 2,886 m/s

الإجابة

v = 2,886 m/s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 3,555 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(140/0,4) = 18,71 rad/s

أقصى سرعة

v_max = A·ω = 0,19·18,71 = 3,555 m/s

الإجابة

v_max = 3,555 m/s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,06028

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/5)·ln(10/1,5) = 0,3794

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3794/√(39,48 + 0,144) = 0,06028

الإجابة

ζ = 0,06028

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 6,562 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 80 = 85 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(85000/50) = 41,23 rad/s

f_n = 41,23/(2π) = 6,562 Hz

الإجابة

f_n = 6,562 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics