الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 36 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 5 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 36 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

يبدأ ترام من السكون ويتسارع بمقدار 2,5 m/s² لمدة 10 s، ثم يسير بسرعة ثابتة لمدة 29 s، وأخيرًا يكبح بمقدار 4,5 m/s² حتى يتوقّف. أوجد المسافة الكلية s بين المحطّتين.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 10 st₂ = 29 sa₃ = −4,5 m/s²

s = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

زلّاجة كتلتها 20 kg تُسحب على ثلج مستوٍ بحبل يميل 35° فوق الأفق بقوة 160 N. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الزلّاجة a.

m = 20 kgF = 160 Nθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 9 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 2,5 kg. الطاولة ملساء. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 9 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 28 m/s ويجب أن تهبط على بعد 50 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 28 m/sR = 50 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 21 m/s وبزاوية 30° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 10 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع H فوق الأرض عند أسفل الجرف.

v₀ = 21 m/sθ = 30°h = 10 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

كرة صغيرة مربوطة بخيط طوله 1,2 m تتحرّك في دائرة أفقية بحيث يصنع الخيط زاوية ثابتة 35° مع الرأسي (بندول مخروطي). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الكرة v.

L = 1,2 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

منعطف نصف قطره 200 m مائل بزاوية 30°، ومعامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أدنى سرعة v_min يمكن لسيارة أن تسلك بها المنعطف دون أن تنزلق إلى أسفل الميل.

r = 200 mθ = 30°μ_s = 0,2g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 4 kg مسافة 15 m على منحدر يميل بزاوية 30° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,1. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 4 kgθ = 30°μ = 0,1d = 15 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

جسم كتلته 2 kg يبدأ من السكون عند أسفل منحدر بزاوية 35° ويُسحب إلى أعلى المنحدر بقوة ثابتة 25 N موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. أوجد سرعة الجسم v بعد أن يتحرّك 6 m إلى أعلى المنحدر.

m = 2 kgF = 25 Nθ = 35°μ = 0,2d = 6 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

تُطلق رصاصة كتلتها 8 g أفقيًا في كتلة خشبية مقدارها 5 kg معلّقة بخيوط خفيفة، وتستقر داخلها. تتأرجح الكتلة إلى الأعلى حتى تصبح أعلى بمقدار 22 cm من البداية. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 8 gM = 5 kgh = 22 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,15 kg تصطدم بجدار بسرعة 16 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 13 m/s. يدوم التلامس 25 ms. أوجد مقدار الدفع J الذي يعطيه الجدار للكرة.

m = 0,15 kgv_in = 16 m/sv_out = 13 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

يرفع محرّك سرعة حدّافة عزم قصورها الذاتي 7,5 kg·m² من السكون إلى 400 rpm في 49 s. بإهمال الفواقد، أوجد متوسط القدرة P_avg التي يعطيها، بوحدة kW.

I = 7,5 kg·m²n = 400 rpmt = 49 s

P_avg = kW

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قضيب نحيف منتظم كتلته 2,5 kg وطوله 1,9 m معلّق ساكنًا من محور ارتكاز عديم الاحتكاك عند طرفه العلوي. رصاصة كتلتها 10 g تتحرّك أفقيًا بسرعة 180 m/s تصطدم بالقضيب على بعد 0,81 m تحت محور الارتكاز وتنغرس فيه. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر زاوية φ عن الرأسي يتأرجح بها القضيب.

M = 2,5 kgL = 1,9 mm = 10 gv = 180 m/sd = 0,81 mg = 9,81 m/s²

φ = °

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 5,5 kW يعمل بسرعة 1440 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 16 سنًّا وموديول 2,5 mm. أوجد القوة المماسية F_t على أسنان الترس الصغير.

P = 5,5 kWn = 1440 rpmN₁ = 16m = 2,5 mm

F_t = N

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (40 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 1450 rpm الترسَ B (48 سنًّا). الترس C (24 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (60 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 1450 rpmA = 40B = 48C = 24D = 60

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 0,2 kg على نابض k = 120 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 15 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 5 cm من موضع الاتزان.

m = 0,2 kgk = 120 N/mA = 15 cmx = 5 cm

v = m/s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 2 kg على نابض k = 330 N/m تُسحب 14 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى سرعة لها v_max.

m = 2 kgk = 330 N/mA = 14 cm

v_max = m/s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 150 kg يحملها نابض جساءته 100 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 2320 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 150 kgk = 100 kN/mc = 2320 N·s/m

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 5 kg معلّقة بالنابض k₃ = 100 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 25 kN/m و k₂ = 25 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 5 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 10 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·5) = 10 m

الإجابة

s = 10 m

2.علم الحركة

الإجابة: s = 919,4 m

السرعة القصوى

v = a₁·t₁ = 2,5·10 = 25 m/s

مسافة كل مرحلة

s₁ = ½·2,5·10² = 125 m

s₂ = 25·29 = 725 m

s₃ = 25²/(2·4,5) = 69,44 m

المسافة الكلية

s = 125 + 725 + 69,44 = 919,4 m

الإجابة

s = 919,4 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 5,509 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوة العمودية

N = m·g − F·sin θ = 196,2 − 160·sin 35° = 104,4 N

القوى الأفقية

m·a = F·cos θ − μ·N = 131,1 − 20,89

a = 110,2/20 = 5,509 m/s²

الإجابة

a = 5,509 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 2,133 m/s²

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 0)/11,5 = 2,133 m/s²

الإجابة

a = 2,133 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 19,36 °

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·50/28² = 0,6256

الزاوية

2θ = 38,73° → θ = 19,36°

الإجابة

θ = 19,36°

الحل الآخر 90° − θ = 70,64°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 15,62 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

سرعة القذف الرأسية

v_y = 21·sin 30° = 10,5 m/s

الارتفاع فوق الجرف

Δh = v_y²/(2g) = 10,5²/(2·9,81) = 5,619 m

الارتفاع فوق الأرض

H = 10 + 5,619 = 15,62 m

الإجابة

H = 15,62 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v = 2,174 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

نصف قطر الدائرة

r = L·sin θ = 1,2·sin 35° = 0,6883 m

السرعة

الشدّ والجاذبية معًا يعطيان القوة المتجهة إلى الداخل: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,6883·9,81·tan 35°) = 2,174 m/s

الإجابة

v = 2,174 m/s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 25,76 m/s

موازنات القوى

يتجه الاحتكاك إلى أعلى المنحدر.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

السرعة

v = √(200·9,81·0,3268/0,966) = 25,76 m/s

الإجابة

v_min = 25,76 m/s

(92,75 km/h)

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 50,97 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 39,24·0,866 = 33,98 N

F = μN = 0,1·33,98 = 3,398 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 3,398·15 = 50,97 J

الإجابة

W_f = 50,97 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 7,949 m/s

القوى على امتداد المنحدر

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

mg·sin θ = 11,25 N

μ·mg·cos θ = 3,214 N

الشغل والطاقة

½mv² = (25 − 14,47)·6 = 63,19 J

v = √(2·63,19/2) = 7,949 m/s

الإجابة

v = 7,949 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 1301 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

التأرجح بعد الاصطدام

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,22) = 2,078 m/s

تصادم

m·v = (m + M)·V → v = (0,008 + 5)·2,078/0,008 = 1301 m/s

الإجابة

v = 1301 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: J = 4,35 N·s

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,15·(13 + 16) = 4,35 N·s

الإجابة

J = 4,35 N·s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: P_avg = 0,1343 kW

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·400/60 = 41,89 rad/s

الطاقة

E = ½·I·ω² = ½·7,5·41,89² = 6580 J

متوسط القدرة

P_avg = E/t = 6580/49 = 134,3 W = 0,1343 kW

الإجابة

P_avg = 0,1343 kW

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: φ = 9,963 °

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

عزم القصور الذاتي بعد الاصطدام

I = M·L²/3 + m·d² = 2,5·1,9²/3 + 0,01·0,81² = 3,015 kg·m²

كمية الحركة الزاوية حول محور الارتكاز

قوة محور الارتكاز تمرّ بمحور الارتكاز، لذا ليس لها عزم حوله أثناء الاصطدام.

m·v·d = I·ω → ω = 0,01·180·0,81/3,015 = 0,4836 rad/s

الطاقة أثناء التأرجح

½·I·ω² = ½·3,015·0,4836² = 0,3525 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 23,38·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 0,3525/23,38 = 0,9849 → φ = 9,963°

الإجابة

φ = 9,963°

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: F_t = 1824 N

هندسة التروس: الموديول m يحدّد حجم السن. الترس ذو N سنًّا قطر خطوته d = m·N، والترسان المتعشّقان لهما الموديول نفسه، والمسافة بين مركزيهما a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. سرعة خط الخطوة v = π·d·n/60، وقوة السن المماسية تُستنتج من العزم: F_t = 2T/d.

العزم على الترس الصغير

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 5500/150,8 = 36,47 N·m

قطر الخطوة

d = m·N = 2,5·16 = 40 mm

القوة المماسية

F_t = 2T/d = 2·36,47/0,04 = 1824 N

الإجابة

F_t = 1824 N

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 483,3 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 1450·40/48 = 1208 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 1208·24/60 = 483,3 rpm

الإجابة

n_out = 483,3 rpm

النسبة الكلية = 3 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 3,464 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(120/0,2) = 24,49 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 24,49·√(0,15² − 0,05²) = 3,464 m/s

الإجابة

v = 3,464 m/s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 1,798 m/s

التردد الزاوي

ω = √(330/2) = 12,85 rad/s

أقصى سرعة

v_max = A·ω = 0,14·12,85 = 1,798 m/s

الإجابة

v_max = 1,798 m/s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,2995

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·150) = 7746 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 2320/7746 = 0,2995

الإجابة

ζ = 0,2995

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 12,99 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 25 + 25 = 50 kN/m

k_eq = 50·100/(50 + 100) = 33,33 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(33333/5) = 81,65 rad/s

f_n = 81,65/(2π) = 12,99 Hz

الإجابة

f_n = 12,99 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics