الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 80 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 5,5 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 80 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 5 m/s من حافة سطح يرتفع 5 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 5 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

كتلتان مقدارهما 7 kg و 2 kg معلّقتان على جانبي بكرة خفيفة عديمة الاحتكاك، موصولتان بخيط خفيف. يُترك النظام من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 7 kgm₂ = 2 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.قوانين نيوتنصعبة

يُدفع جسم فيبدأ الانزلاق إلى أعلى منحدر يميل 15° بسرعة 4,5 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². ما المسافة d التي ينزلقها على المنحدر قبل أن يتوقّف؟

v₀ = 4,5 m/sθ = 15°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 25° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 18 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

x = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 11 m/s وبزاوية 20° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 40 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع H فوق الأرض عند أسفل الجرف.

v₀ = 11 m/sθ = 20°h = 40 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

في لعبة الدوّار بمدينة الملاهي يقف الراكبون مستندين إلى جدار أسطوانة رأسية نصف قطرها 3,6 m. عندما تدور بسرعة كافية تنخفض الأرضية ويثبّتهم الاحتكاك. معامل الاحتكاك السكوني 0,6. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر سرعة زاوية ω بوحدة rad/s.

r = 3,6 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 0,5 kg مربوطة بخيط طوله 0,5 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 4,5 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 0,5 kgr = 0,5 mv = 4,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 1 kg مسافة 14 m على منحدر يميل بزاوية 35° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,15. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 1 kgθ = 35°μ = 0,15d = 14 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 10 kg من السكون على ارتفاع 3,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 1 m (μ = 0,1) ثم يصطدم بنابض (k = 2000 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 10 kgh = 3,5 mL = 1 mμ = 0,1k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 3,5 kg يتحرك بسرعة 10 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 2 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,4 kg تصطدم بجدار بسرعة 27 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 8 m/s. يدوم التلامس 10 ms. أوجد مقدار الدفع J الذي يعطيه الجدار للكرة.

m = 0,4 kgv_in = 27 m/sv_out = 8 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

جسم كتلته 6,5 kg معلّق بحبل خفيف ملفوف حول بكرة، وهي قرص مصمت منتظم كتلته 3,5 kg ونصف قطره 0,25 m يدور على محور أفقي عديم الاحتكاك. يُترك الجسم من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T في الحبل.

m = 6,5 kgM = 3,5 kgR = 0,25 mg = 9,81 m/s²

T = N

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قرص مصمت منتظم (كتلته 14 kg، ونصف قطره 0,1 m) يدور بحرية بسرعة 250 rpm حول عمود رأسي عديم الاحتكاك. تُسقَط عليه من السكون حلقة رقيقة كتلتها 2 kg ولها نصف القطر نفسه، متمركزة على العمود، وسرعان ما يدوران معًا. كم من الطاقة الحركية ΔE يُفقد في العملية؟

M_disc = 14 kgM_ring = 2 kgR = 0,1 mn₁ = 250 rpm

ΔE = J

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 100 mm تدور بسرعة 2880 rpm. الشد 500 N في الجانب المشدود و100 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 100 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 500 NT₂ = 100 N

P = kW

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (24 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 2900 rpm الترسَ B (50 سنًّا). الترس C (15 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (30 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 2900 rpmA = 24B = 50C = 15D = 30

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كم يجب أن يكون طول بندول بسيط ليكون زمنه الدوري 1,5 s؟ استخدم g = 9,81 m/s². أوجد L.

T = 1,5 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 1,3 kg على نابض k = 420 N/m تُسحب 12 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى تسارع لها a_max.

m = 1,3 kgk = 420 N/mA = 12 cm

a_max = m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 200 kg على نابض جساءته 25 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,5. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 200 kgk = 25 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 100 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 60 kN/m و k₂ = 30 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 44,89 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·5,5) = 44,89 m

الإجابة

s = 44,89 m

2.علم الحركة

الإجابة: t = 1,641 s

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−5 = 5·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 5·t − 5 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (5 + √(5² + 2·9,81·5))/9,81 = 1,641 s

الإجابة

t = 1,641 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 30,52 N

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

التسارع

القوة الدافعة المحصّلة هي الفرق بين الوزنين؛ وهي تحرّك الكتلة الكلية.

a = (7 − 2)·9,81/(7 + 2) = 5,45 m/s²

الشدّ من الكتلة الأخف

T − m₂·g = m₂·a → T = 2·(9,81 + 5,45) = 30,52 N

الإجابة

T = 30,52 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: d = 2,063 m

التباطؤ

القوتان تتجهان إلى أسفل المنحدر؛ وتُختصر الكتلة.

a = 9,81·(sin 15° + 0,25·cos 15°) = 4,908 m/s²

المسافة

d = v₀²/(2a) = 4,5²/(2·4,908) = 2,063 m

الإجابة

d = 2,063 m

5.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 25,3 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 25° = 16,31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 25° = 7,607 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·7,607/9,81 = 1,551 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 16,31·1,551 = 25,3 m

الإجابة

x = 25,3 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 40,72 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

سرعة القذف الرأسية

v_y = 11·sin 20° = 3,762 m/s

الارتفاع فوق الجرف

Δh = v_y²/(2g) = 3,762²/(2·9,81) = 0,7214 m

الارتفاع فوق الأرض

H = 40 + 0,7214 = 40,72 m

الإجابة

H = 40,72 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: ω = 2,131 rad/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى على الراكب

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

السرعة الزاوية

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·3,6)) = 2,131 rad/s

الإجابة

ω = 2,131 rad/s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 25,16 N

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,5·9,81 + 0,5·4,5²/0,5 = 4,905 + 20,25 = 25,16 N

الإجابة

T = 25,16 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 16,88 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 9,81·0,8192 = 8,036 N

F = μN = 0,15·8,036 = 1,205 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 1,205·14 = 16,88 J

الإجابة

W_f = 16,88 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 57,75 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 98,1·(3,5 − 0,1·1) = 333,5 J

أقصى انضغاط

½kx² = 333,5 → x = √(2·333,5/2000) = 0,5775 m = 57,75 cm

الإجابة

x = 57,75 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = 2,727 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (3,5 − 2)/(3,5 + 2)·10 = 2,727 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 2)·10 = 12,73 m/s

الإجابة

v′₁ = 2,727 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: J = 14 N·s

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,4·(8 + 27) = 14 N·s

الإجابة

J = 14 N·s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: T = 13,53 N

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

الجسم والبكرة

الجسم: m·g − T = m·a

البكرة: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

التسارع

a = m·g/(m + M/2) = 6,5·9,81/(6,5 + 1,75) = 7,729 m/s²

الشدّ

T = m·(g − a) = 6,5·(9,81 − 7,729) = 13,53 N

الإجابة

T = 13,53 N

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ΔE = 5,331 J

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

عزوم القصور الذاتي

I₁ = ½·14·0,1² = 0,07 kg·m²

I₂ = 2·0,1² = 0,02 kg·m²

حفظ كمية الحركة الزاوية

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 250·0,07/0,09 = 194,4 rpm

الطاقة الحركية قبل وبعد

E₁ = ½·0,07·26,18² = 23,99 J

E₂ = ½·0,09·20,36² = 18,66 J

ΔE = 23,99 − 18,66 = 5,331 J

الإجابة

ΔE = 5,331 J

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 6,032 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 15,08 m/s

القدرة

P = (500 − 100)·15,08 = 6032 W = 6,032 kW

الإجابة

P = 6,032 kW

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 696 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 2900·24/50 = 1392 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 1392·15/30 = 696 rpm

الإجابة

n_out = 696 rpm

النسبة الكلية = 4,167 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: L = 0,5591 m

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

احسب الطول

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,5/2π)² = 0,5591 m

الإجابة

L = 0,5591 m

18.النوابض والبندولات

الإجابة: a_max = 38,77 m/s²

التردد الزاوي

ω = √(420/1,3) = 17,97 rad/s

أقصى تسارع

a_max = A·ω² = 0,12·17,97² = 38,77 m/s²

الإجابة

a_max = 38,77 m/s²

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 1,541 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(25000/200) = 11,18 rad/s

f_n = 11,18/(2π) = 1,779 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,779·√(1 − 0,5²) = 1,541 Hz

الإجابة

f_d = 1,541 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 90 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 30 = 90 kN/m

الإجابة

k_eq = 90 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics