الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 90 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 8 m/s² حتى تتوقف. كم يستغرق الكبح؟ أوجد t.

v₀ = 90 km/ha = −8 m/s²v = 0

t = s

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 15 m/s من حافة سطح يرتفع 25 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 15 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 6 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 35° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 6 kgθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 9 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 3,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 9 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 60° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 16 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

t = s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 45° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 60 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 19 m/sθ = 45°h = 60 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

في لعبة الدوّار بمدينة الملاهي يقف الراكبون مستندين إلى جدار أسطوانة رأسية نصف قطرها 4 m. عندما تدور بسرعة كافية تنخفض الأرضية ويثبّتهم الاحتكاك. معامل الاحتكاك السكوني 0,6. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر معدّل دوران n بالدورات في الدقيقة.

r = 4 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 0,7 kg مربوطة بخيط خفيف طوله 0,6 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة سرعتها 8,5 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T_top في الخيط عند أعلى نقطة.

m = 0,7 kgr = 0,6 mv_bottom = 8,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

كرة كتلتها 2 kg معلّقة بخيط خفيف طوله 0,8 m. تُسحب جانبًا حتى يصنع الخيط 60° مع الرأسي ثم تُترك من السكون. أوجد الشدّ T في الخيط عندما تمرّ الكرة بأدنى نقطة.

m = 2 kgL = 0,8 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

T = N

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 4 kg من السكون على ارتفاع 5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 2 m (μ = 0,15) ثم يصطدم بنابض (k = 2000 N/m) على سطح أملس. أوجد سرعة v الجسم عندما يصل إلى النابض.

m = 4 kgh = 5 mL = 2 mμ = 0,15k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 3 kg يتحرك بسرعة 11 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 1 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 3 kgm₂ = 1 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 10 g أفقيًا في كتلة مقدارها 3 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 0,9 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 30° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 10 gM = 3 kgL = 0,9 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

حدّافة عزم قصورها الذاتي 5,5 kg·m² تدور بسرعة 400 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 195 N·m. كم من الوقت t تستغرق حتى تتوقّف؟

I = 5,5 kg·m²n = 400 rpmT_b = 195 N·m

t = s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قرص مصمت منتظم (كتلته 17 kg، ونصف قطره 0,25 m) يدور بحرية بسرعة 200 rpm حول عمود رأسي عديم الاحتكاك. تُسقَط عليه من السكون حلقة رقيقة كتلتها 16 kg ولها نصف القطر نفسه، متمركزة على العمود، وسرعان ما يدوران معًا. كم من الطاقة الحركية ΔE يُفقد في العملية؟

M_disc = 17 kgM_ring = 16 kgR = 0,25 mn₁ = 200 rpm

ΔE = J

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

عمودان متوازيان المسافة بينهما 108 mm. يجب وصلهما بزوج من التروس المستقيمة بموديول 2 mm وتخفيض سرعة 5 : 1. كم سنًّا N₂ يجب أن يكون للترس الكبير؟

a = 108 mmm = 2 mmi = 5

N₂ =

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

محرّك قدرته 1,1 kW بسرعة 960 rpm يدير الترس A (25 سنًّا)، الذي يتعشّق مع الترس B (32 سنًّا). الترس C (25 سنًّا) على عمود B نفسه يدير الترس D (50 سنًّا) على عمود الخرج. كفاءة كل تعشيق 95%. أوجد عزم الخرج T_out.

P = 1,1 kWn_in = 960 rpmA = 25B = 32C = 25D = 50η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 1 kg على نابض k = 500 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 15 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 12 cm من موضع الاتزان.

m = 1 kgk = 500 N/mA = 15 cmx = 12 cm

v = m/s

18.النوابض والبندولاتصعبة

جسم يهتز حركة توافقية بسيطة بزمن دوري 1,8 s وسعة 16 cm. ما أقصر زمن t يحتاجه للانتقال من موضع الاتزان إلى إزاحة 14,4 cm؟

T = 1,8 sA = 16 cmx = 14,4 cm

t = s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 12 mm بعد 5 دورات قمةٌ مقدارها 1,8 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 12 mmx₅ = 1,8 mmn = 5

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بالنابض k₃ = 10 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 40 kN/m و k₂ = 100 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 25 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: t = 3,125 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

زمن الكبح

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/8 = 3,125 s

الإجابة

t = 3,125 s

2.علم الحركة

الإجابة: t = 4,256 s

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−25 = 15·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 15·t − 25 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (15 + √(15² + 2·9,81·25))/9,81 = 4,256 s

الإجابة

t = 4,256 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 3,618 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 35° − 0,25·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,2048) = 3,618 m/s²

الإجابة

a = 3,618 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 0,6278 m/s²

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 26,49)/12,5 = 0,6278 m/s²

الإجابة

a = 0,6278 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 2,825 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 60° = 8 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 60° = 13,86 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·13,86/9,81 = 2,825 s

الإجابة

t = 2,825 s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 68,86 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 45° = 13,44 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 45° = 13,44 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 60 + 13,44·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13,44 + √(180,5 + 1177))/9,81 = 5,126 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 13,44·5,126 = 68,86 m

الإجابة

x = 68,86 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: n = 19,31 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

القوى على الراكب

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

السرعة الزاوية

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·4)) = 2,022 rad/s

معدّل الدوران

n = ω·60/(2π) = 19,31 rpm

الإجابة

n = 19,31 rpm

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T_top = 49,96 N

السرعة عند القمة

تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة وضع على ارتفاع 2r.

v_top² = 8,5² − 4·9,81·0,6 = 48,71 m²/s²

القوى عند القمة

الشدّ والجاذبية كلاهما يتجهان إلى الأسفل، نحو المركز.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,7·48,71/0,6 − 0,7·9,81 = 49,96 N

الإجابة

T_top = 49,96 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: T = 39,24 N

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). على مسار دائري يجب أن تساوي القوة المحصّلة نحو المركز mv²/r.

السرعة عند الأسفل

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,8·(1 − cos 60°) = 7,848 m²/s²

القوى عند الأسفل

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

T = mg + mv²/L = 19,62 + 2·7,848/0,8 = 39,24 N

الإجابة

T = 39,24 N

تحقّق: T = mg(3 − 2cos θ) = 39,24 N.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 9,603 m/s

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 39,24·(5 − 0,15·2) = 184,4 J

السرعة عند النابض

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·4,7) = 9,603 m/s

الإجابة

v = 9,603 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = 5,5 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (3 − 1)/(3 + 1)·11 = 5,5 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 1)·11 = 16,5 m/s

الإجابة

v′₁ = 5,5 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 463 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 0,9·(1 − cos 30°) = 0,1206 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,1206) = 1,538 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 3,01·1,538/0,01 = 463 m/s

الإجابة

v = 463 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: t = 1,181 s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·400/60 = 41,89 rad/s

التباطؤ والزمن

α = T_b/I = 195/5,5 = 35,45 rad/s²

t = ω/α = 41,89/35,45 = 1,181 s

الإجابة

t = 1,181 s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ΔE = 76,09 J

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

عزوم القصور الذاتي

I₁ = ½·17·0,25² = 0,5313 kg·m²

I₂ = 16·0,25² = 1 kg·m²

حفظ كمية الحركة الزاوية

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 200·0,5313/1,531 = 69,39 rpm

الطاقة الحركية قبل وبعد

E₁ = ½·0,5313·20,94² = 116,5 J

E₂ = ½·1,531·7,266² = 40,42 J

ΔE = 116,5 − 40,42 = 76,09 J

الإجابة

ΔE = 76,09 J

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N₂ = 90

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

العدد الكلي للأسنان

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·108/2 = 108

قسّم وفق النسبة

N₁ = 108/(1 + 5) = 18

N₂ = 5·18 = 90

الإجابة

N₂ = 90

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T_out = 25,28 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة الخرج

n_out = 960·(25/32)·(25/50) = 375 rpm

ω_out = 2π·375/60 = 39,27 rad/s

قدرة الخرج والعزم

P_out = 1100·0,95² = 992,8 W

T_out = P_out/ω_out = 992,8/39,27 = 25,28 N·m

الإجابة

T_out = 25,28 N·m

17.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 2,012 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(500/1) = 22,36 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 22,36·√(0,15² − 0,12²) = 2,012 m/s

الإجابة

v = 2,012 m/s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: t = 0,3208 s

التردد الزاوي

ω = 2π/T = 2π/1,8 = 3,491 rad/s

حلّ لإيجاد الزمن

0,9 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,9) = 1,12 rad

t = 1,12/3,491 = 0,3208 s

الإجابة

t = 0,3208 s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,06028

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/5)·ln(12/1,8) = 0,3794

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3794/√(39,48 + 0,144) = 0,06028

الإجابة

ζ = 0,06028

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 3,075 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 40 + 100 = 140 kN/m

k_eq = 140·10/(140 + 10) = 9,333 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(9333/25) = 19,32 rad/s

f_n = 19,32/(2π) = 3,075 Hz

الإجابة

f_n = 3,075 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics