الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة مسرعة بسرعة ثابتة 24 m/s تمرّ بسيارة شرطة متوقّفة. في تلك اللحظة تنطلق سيارة الشرطة وتتسارع بانتظام بمقدار 2 m/s². كم تستغرق سيارة الشرطة لتلحق بها؟ أوجد t.

v_car = 24 m/sa_police = 2 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.علم الحركةصعبة

يُسقَط حجر من السكون في بئر. يُسمع صوت ارتطامه بالماء بعد 2,3 s من إفلاته. سرعة الصوت 343 m/s؛ أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد عمق البئر d.

t_total = 2,3 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

صندوق كتلته 5 kg يُدفع إلى أعلى منحدر يميل 20° عن الأفق بسرعة ثابتة، بقوة موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الدفع F.

m = 5 kgθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

F = N

4.قوانين نيوتنصعبة

يُدفع جسم فيبدأ الانزلاق إلى أعلى منحدر يميل 25° بسرعة 10 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². ما المسافة d التي ينزلقها على المنحدر قبل أن يتوقّف؟

v₀ = 10 m/sθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُركل كرة من أرض مستوية بسرعة 40 m/s وبزاوية 25° فوق الأفق نحو جدار على بعد 75 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y تمرّ الكرة بالجدار؟

v₀ = 40 m/sθ = 25°x = 75 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 45° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 20 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 28 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

كرة صغيرة مربوطة بخيط طوله 0,3 m تتحرّك في دائرة أفقية بحيث يصنع الخيط زاوية ثابتة 40° مع الرأسي (بندول مخروطي). استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الكرة v.

L = 0,3 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 0,8 kg مربوطة بخيط طوله 1,4 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 4,5 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 0,8 kgr = 1,4 mv = 4,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 0,5 kg مسافة 13 m على منحدر يميل بزاوية 15° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,15. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 0,5 kgθ = 15°μ = 0,15d = 13 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

عربة كتلتها 2 kg تُترك من السكون على ارتفاع 10,5 m على مسار أملس يؤدي إلى حلقة دائرية رأسية نصف قطرها 3 m. أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.

m = 2 kgh = 10,5 mR = 3 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 3,5 kg يتحرك بسرعة 5 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 4 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,2 kg تصطدم بجدار بسرعة 11 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 15 m/s. يدوم التلامس 25 ms. أوجد متوسط القوة F_avg التي يؤثر بها الجدار على الكرة.

m = 0,2 kgv_in = 11 m/sv_out = 15 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 9,5 kg وطوله 1,9 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ومُمسَك أفقيًا. يُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارعه الزاوي α مباشرةً بعد تركه.

m = 9,5 kgL = 1,9 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل كرة مصمتة يبدأ من السكون ويتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 15° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعته v بعد أن يتدحرج 4 m على امتداد المنحدر.

θ = 15°s = 4 mI = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

v = m/s

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 125 mm تدور بسرعة 960 rpm. الشد 600 N في الجانب المشدود و120 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 600 NT₂ = 120 N

P = kW

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (32 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 2900 rpm الترسَ B (40 سنًّا). الترس C (15 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (36 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 2900 rpmA = 32B = 40C = 15D = 36

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 3,6 kg على نابض k = 500 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 15 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 12 cm من موضع الاتزان.

m = 3,6 kgk = 500 N/mA = 15 cmx = 12 cm

v = m/s

18.النوابض والبندولاتصعبة

تُربط كتلة مقدارها 1,8 kg بالطرف السفلي لنابض رأسي غير ممطوط k = 60 N/m وتُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر استطالة x_max للنابض بوحدة cm.

m = 1,8 kgk = 60 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 2 kg يحملها نابض جساءته 100 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 70 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 2 kgk = 100 kN/mc = 70 N·s/m

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 20 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 10 kN/m و k₂ = 5 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 20 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: t = 24 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

تساوي المسافتين

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·24/2 = 24 s

الإجابة

t = 24 s

في تلك اللحظة تتحرّك سيارة الشرطة بسرعة 2v = 48 m/s.

2.علم الحركة

الإجابة: d = 24,37 m

جزآن من الزمن

½·9,81·t₁² = 343·(2,3 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 788,9 = 0

زمن السقوط

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·788,9))/(2·4,905) = 2,229 s

العمق

d = ½·9,81·2,229² = 24,37 m

الإجابة

d = 24,37 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: F = 25,99 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوى على امتداد المنحدر

سرعة ثابتة: القوى متوازنة.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

قوة الدفع

F = 16,78 + 9,218 = 25,99 N

الإجابة

F = 25,99 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: d = 7,339 m

التباطؤ

القوتان تتجهان إلى أسفل المنحدر؛ وتُختصر الكتلة.

a = 9,81·(sin 25° + 0,3·cos 25°) = 6,813 m/s²

المسافة

d = v₀²/(2a) = 10²/(2·6,813) = 7,339 m

الإجابة

d = 7,339 m

5.حركة المقذوفات

الإجابة: y = 13,98 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

الزمن حتى الجدار

v_x = 40·cos 25° = 36,25 m/s

t = x/v_x = 75/36,25 = 2,069 s

الارتفاع في تلك اللحظة

y = 16,9·2,069 − ½·9,81·2,069² = 13,98 m

الإجابة

y = 13,98 m

الكرة في طريقها إلى الأسفل أصلًا عند الجدار.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 96,48 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 45° = 19,8 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 45° = 19,8 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 20 + 19,8·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19,8 + √(392 + 392,4))/9,81 = 4,873 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 19,8·4,873 = 96,48 m

الإجابة

x = 96,48 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v = 1,26 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

نصف قطر الدائرة

r = L·sin θ = 0,3·sin 40° = 0,1928 m

السرعة

الشدّ والجاذبية معًا يعطيان القوة المتجهة إلى الداخل: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,1928·9,81·tan 40°) = 1,26 m/s

الإجابة

v = 1,26 m/s

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 19,42 N

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,8·9,81 + 0,8·4,5²/1,4 = 7,848 + 11,57 = 19,42 N

الإجابة

T = 19,42 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 9,239 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 4,905·0,9659 = 4,738 N

F = μN = 0,15·4,738 = 0,7107 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 0,7107·13 = 9,239 J

الإجابة

W_f = 9,239 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: N = 39,24 N

السرعة عند القمة

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(10,5 − 6) = 88,29 m²/s²

القوى عند القمة

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

N = mv²/R − mg = 2·88,29/3 − 19,62 = 39,24 N

الإجابة

N = 39,24 N

تكمل العربة الحلقة بالكاد عندما h = 2,5R؛ وعندئذٍ N = 0 عند القمة.

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = −0,3333 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (3,5 − 4)/(3,5 + 4)·5 = −0,3333 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 4)·5 = 4,667 m/s

الإجابة

v′₁ = −0,3333 m/s

الإشارة السالبة تعني أن المنزلق الأول يرتد إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: F_avg = 208 N

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,2·(15 + 11) = 5,2 N·s

متوسط القوة

F_avg = J/Δt = 5,2/0,025 = 208 N

الإجابة

F_avg = 208 N

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: α = 7,745 rad/s²

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

العزوم حول المسمار

لحظة الترك ω = 0، لذا لا يوجد تسارع مركزي ويتسارع المركز رأسيًا إلى الأسفل.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1,9) = 7,745 rad/s²

الإجابة

α = 7,745 rad/s²

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: v = 3,809 m/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

الارتفاع المهبوط

h = s·sin θ = 4·sin 15° = 1,035 m

موازنة الطاقة مع التدحرج

التدحرج دون انزلاق: ω = v/r، والاحتكاك لا يبذل شغلًا عند نقطة التلامس.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,4)

v = √(2·9,81·1,035/1,4) = 3,809 m/s

الإجابة

v = 3,809 m/s

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 3,016 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 6,283 m/s

القدرة

P = (600 − 120)·6,283 = 3016 W = 3,016 kW

الإجابة

P = 3,016 kW

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 966,7 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 2900·32/40 = 2320 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 2320·15/36 = 966,7 rpm

الإجابة

n_out = 966,7 rpm

النسبة الكلية = 3 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 1,061 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(500/3,6) = 11,79 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 11,79·√(0,15² − 0,12²) = 1,061 m/s

الإجابة

v = 1,061 m/s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: x_max = 58,86 cm

الاتزان والسعة

x₀ = m·g/k = 1,8·9,81/60 = 0,2943 m = A

أدنى نقطة

x_max = 2A = 0,5886 m = 58,86 cm

الإجابة

x_max = 58,86 cm

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,07826

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·2) = 894,4 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 70/894,4 = 0,07826

الإجابة

ζ = 0,07826

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 15 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 5 = 15 kN/m

الإجابة

k_eq = 15 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics