الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 60 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 4,5 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 60 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 7 m/s من حافة سطح يرتفع 10 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max فوق الأرض.

v₀ = 7 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 20 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 35° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 20 kgθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 1 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 3,5 kg. الطاولة ملساء. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 1 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 30° فوق الأفق وتهبط على بعد 130 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

θ = 30°R = 130 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 50° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 35 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 23 m/sθ = 50°h = 35 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

في لعبة الدوّار بمدينة الملاهي يقف الراكبون مستندين إلى جدار أسطوانة رأسية نصف قطرها 2,4 m. عندما تدور بسرعة كافية تنخفض الأرضية ويثبّتهم الاحتكاك. معامل الاحتكاك السكوني 0,7. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر معدّل دوران n بالدورات في الدقيقة.

r = 2,4 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.الحركة الدائريةصعبة

منعطف نصف قطره 150 m مائل بزاوية 10°، ومعامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أدنى سرعة v_min يمكن لسيارة أن تسلك بها المنعطف دون أن تنزلق إلى أسفل الميل.

r = 150 mθ = 10°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 2,5 kg مسافة 15 m على منحدر يميل بزاوية 30° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,4. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 2,5 kgθ = 30°μ = 0,4d = 15 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 0,5 kg من السكون على ارتفاع 1,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 2 m (μ = 0,2) ثم يصطدم بنابض (k = 1000 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 0,5 kgh = 1,5 mL = 2 mμ = 0,2k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

قذيفة كتلتها 16 kg تتحرّك أفقيًا بسرعة 8 m/s تنفجر إلى شظيتين تتحرّكان على الخط نفسه. تواصل الشظية ذات الكتلة 11 kg إلى الأمام بسرعة 22 m/s. أوجد سرعة v′₂ الشظية ذات الكتلة 5 kg (موجبة في الاتجاه الأصلي).

M = 16 kgu = 8 m/sm₁ = 11 kgv′₁ = 22 m/sm₂ = 5 kg

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

سيارة كتلتها 1600 kg تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1600 kg. يلتحم الحطامان وينزلقان 9,5 m قبل التوقّف. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,7. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة السيارة الأولى v₁ قبيل التصادم.

m₁ = 1600 kgm₂ = 1600 kgd = 9,5 mμ = 0,7g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

ينقل عمود 5,5 kW بسرعة 1500 rpm. أوجد العزم T في العمود.

P = 5,5 kWn = 1500 rpm

T = N·m

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل طوق رقيق يتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 30° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع مركزه a.

θ = 30°I = m·r²g = 9,81 m/s²

a = m/s²

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

تدير بكرة قطرها 80 mm تدور بسرعة 1440 rpm بكرةً قطرها 315 mm بسير انزلاقه 1 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n₂.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 315 mms = 1 %

n₂ = rpm

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قطرها 125 mm وبكرة قطرها 300 mm والمسافة بين مركزيهما 500 mm. أوجد زاوية الالتفاف θ على البكرة الأصغر بالدرجات.

d₁ = 125 mmd₂ = 300 mmC = 500 mm

θ = °

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 1,9 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 1,9 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.النوابض والبندولاتصعبة

تُربط كتلة مقدارها 0,3 kg بالطرف السفلي لنابض رأسي غير ممطوط k = 110 N/m وتُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر سرعة v_max للكتلة.

m = 0,3 kgk = 110 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 12 kg على نابض جساءته 5 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,4. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 12 kgk = 5 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 50 kN/m والسفلي k₂ = 40 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 30,86 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·4,5) = 30,86 m

الإجابة

s = 30,86 m

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 12,5 m

الارتفاع فوق السطح

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 7²/(2·9,81) = 2,497 m

الارتفاع فوق الأرض

h_max = 10 + 2,497 = 12,5 m

الإجابة

h_max = 12,5 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 4,02 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 35° − 0,2·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,1638) = 4,02 m/s²

الإجابة

a = 4,02 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 7,63 m/s²

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 0)/4,5 = 7,63 m/s²

الإجابة

a = 7,63 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: v₀ = 38,37 m/s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّ صيغة المدى لإيجاد v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·130/sin 60°) = 38,37 m/s

الإجابة

v₀ = 38,37 m/s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 74,14 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 50° = 14,78 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 50° = 17,62 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 35 + 17,62·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17,62 + √(310,4 + 686,7))/9,81 = 5,015 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 14,78·5,015 = 74,14 m

الإجابة

x = 74,14 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: n = 23,08 rpm

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى على الراكب

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

السرعة الزاوية

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,7·2,4)) = 2,416 rad/s

معدّل الدوران

n = ω·60/(2π) = 23,08 rpm

الإجابة

n = 23,08 rpm

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 6,143 m/s

موازنات القوى

يتجه الاحتكاك إلى أعلى المنحدر.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

السرعة

v = √(150·9,81·0,02593/1,011) = 6,143 m/s

الإجابة

v_min = 6,143 m/s

(22,12 km/h)

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 127,4 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 24,53·0,866 = 21,24 N

F = μN = 0,4·21,24 = 8,496 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 8,496·15 = 127,4 J

الإجابة

W_f = 127,4 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 10,39 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 4,905·(1,5 − 0,2·2) = 5,396 J

أقصى انضغاط

½kx² = 5,396 → x = √(2·5,396/1000) = 0,1039 m = 10,39 cm

الإجابة

x = 10,39 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = −22,8 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

كمية الحركة قبل التصادم

p = M·u = 16·8 = 128 kg·m/s

كمية الحركة بعد التصادم

128 = 11·22 + 5·v′₂

v′₂ = (128 − 242)/5 = −22,8 m/s

الإجابة

v′₂ = −22,8 m/s

إشارة السالب تعني أن الشظية الثانية تطير إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v₁ = 22,84 m/s

السرعة بعد التصادم

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,7·9,81·9,5) = 11,42 m/s

كمية الحركة في التصادم

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3200·11,42/1600 = 22,84 m/s

الإجابة

v₁ = 22,84 m/s

(82,24 km/h)

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: T = 35,01 N·m

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

العزم

T = P/ω = 5500/157,1 = 35,01 N·m

الإجابة

T = 35,01 N·m

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: a = 2,452 m/s²

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

معادلات الحركة

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

التسارع

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 30°/2 = 2,452 m/s²

الإجابة

a = 2,452 m/s²

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n₂ = 362,1 rpm

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

السرعة من دون انزلاق

1440·80/315 = 365,7 rpm

مع الانزلاق

n₂ = 365,7·0,99 = 362,1 rpm

الإجابة

n₂ = 362,1 rpm

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: θ = 159,8 °

زاوية السير

asin(0,175) = 10,08°

زاوية الالتفاف

θ = 180 − 2·10,08 = 159,8°

الإجابة

θ = 159,8°

17.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 2,765 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(1,9/9,81) = 2,765 s

الإجابة

T = 2,765 s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 0,5123 m/s

الاتزان والسعة

x₀ = m·g/k = 0,3·9,81/110 = 0,02675 m = A

أكبر سرعة

تكون السرعة أكبر ما يمكن عند موضع الاتزان.

ω = √(110/0,3) = 19,15 rad/s

v_max = A·ω = 0,02675·19,15 = 0,5123 m/s

الإجابة

v_max = 0,5123 m/s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 2,978 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(5000/12) = 20,41 rad/s

f_n = 20,41/(2π) = 3,249 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,249·√(1 − 0,4²) = 2,978 Hz

الإجابة

f_d = 2,978 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 22,22 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/40 → k_eq = 50·40/(50 + 40) = 22,22 kN/m

الإجابة

k_eq = 22,22 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics