الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 50 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 3,5 m/s² حتى تتوقف. كم يستغرق الكبح؟ أوجد t.

v₀ = 50 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

t = s

2.علم الحركةصعبة

يُسقَط حجر من السكون في بئر. يُسمع صوت ارتطامه بالماء بعد 4,4 s من إفلاته. سرعة الصوت 343 m/s؛ أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد عمق البئر d.

t_total = 4,4 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 16 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 40° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 16 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 1,5 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 6 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 6 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 25° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 38 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

t = s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 30° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 60 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 19 m/sθ = 30°h = 60 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 90 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 90 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

منعطف نصف قطره 80 m مائل بزاوية 15°، ومعامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أعلى سرعة v_max يمكن لسيارة أن تسلك بها المنعطف دون أن تنزلق إلى الأعلى والخارج.

r = 80 mθ = 15°μ_s = 0,2g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم من السكون على منحدر يميل بزاوية 25° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. أوجد سرعته v بعد أن ينزلق 18 m على المنحدر.

θ = 25°μ = 0,2d = 18 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.الشغل والطاقةصعبة

جسم كتلته 15 kg يبدأ من السكون عند أسفل منحدر بزاوية 25° ويُسحب إلى أعلى المنحدر بقوة ثابتة 95 N موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,1. أوجد سرعة الجسم v بعد أن يتحرّك 2 m إلى أعلى المنحدر.

m = 15 kgF = 95 Nθ = 25°μ = 0,1d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 1,5 kg يتحرك بسرعة 8 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 0,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 1,5 kgm₂ = 0,5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,15 kg تصطدم بجدار بسرعة 13 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 14 m/s. يدوم التلامس 40 ms. أوجد مقدار الدفع J الذي يعطيه الجدار للكرة.

m = 0,15 kgv_in = 13 m/sv_out = 14 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 6,5 kg وطوله 1,5 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ومُمسَك أفقيًا. يُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع a_tip الطرف الحر مباشرةً بعد تركه.

m = 6,5 kgL = 1,5 mg = 9,81 m/s²

a_tip = m/s²

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قرص مصمت منتظم (كتلته 17 kg، ونصف قطره 0,3 m) يدور بحرية بسرعة 950 rpm حول عمود رأسي عديم الاحتكاك. تُسقَط عليه من السكون حلقة رقيقة كتلتها 15 kg ولها نصف القطر نفسه، متمركزة على العمود، وسرعان ما يدوران معًا. كم من الطاقة الحركية ΔE يُفقد في العملية؟

M_disc = 17 kgM_ring = 15 kgR = 0,3 mn₁ = 950 rpm

ΔE = J

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

تدير بكرة قطرها 125 mm تدور بسرعة 960 rpm بكرةً قطرها 500 mm بسير انزلاقه 4 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n₂.

n₁ = 960 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 500 mms = 4 %

n₂ = rpm

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (18 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 2900 rpm الترسَ B (80 سنًّا). الترس C (24 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (48 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 2900 rpmA = 18B = 80C = 24D = 48

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 2,9 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 2,9 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 0,6 kg على نابض k = 290 N/m تُسحب 15 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد الطاقة الكلية E للاهتزاز.

m = 0,6 kgk = 290 N/mA = 15 cm

E = J

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 15 mm بعد 5 دورات قمةٌ مقدارها 0,6 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 15 mmx₅ = 0,6 mmn = 5

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 40 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 12 kN/m و k₂ = 25 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 40 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: t = 3,968 s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

زمن الكبح

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13,89/3,5 = 3,968 s

الإجابة

t = 3,968 s

2.علم الحركة

الإجابة: d = 84,61 m

جزآن من الزمن

½·9,81·t₁² = 343·(4,4 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1509 = 0

زمن السقوط

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1509))/(2·4,905) = 4,153 s

العمق

d = ½·9,81·4,153² = 84,61 m

الإجابة

d = 84,61 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 5,179 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 40° − 0,15·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1149) = 5,179 m/s²

الإجابة

a = 5,179 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 14,71 N

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 3,679)/7,5 = 7,358 m/s²

قوة الشد من الجسم الموجود على الطاولة

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1,5·7,358 + 3,679 = 14,71 N

الإجابة

T = 14,71 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 3,274 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 25° = 34,44 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 25° = 16,06 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·16,06/9,81 = 3,274 s

الإجابة

t = 3,274 s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 75,65 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 30° = 16,45 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 30° = 9,5 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 60 + 9,5·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,5 + √(90,25 + 1177))/9,81 = 4,597 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 16,45·4,597 = 75,65 m

الإجابة

x = 75,65 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 16,27 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·90) = 16,27 m/s

الإجابة

v_max = 16,27 m/s (58,59 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 19,7 m/s

موازنات القوى

يتجه الاحتكاك إلى أسفل المنحدر.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

السرعة

v = √(80·9,81·0,452/0,9142) = 19,7 m/s

الإجابة

v_max = 19,7 m/s

(70,92 km/h)

9.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 9,232 m/s

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

موازنة الطاقة على المنحدر

ينخفض الجسم مسافة رأسية d·sin θ بينما يسلب الاحتكاك μmg·cos θ·d. تُختصر الكتلة.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·18·(0,4226 − 0,2·0,9063)) = 9,232 m/s

الإجابة

v = 9,232 m/s

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 2,279 m/s

القوى على امتداد المنحدر

m·g = 15·9,81 = 147,2 N

mg·sin θ = 62,19 N

μ·mg·cos θ = 13,34 N

الشغل والطاقة

½mv² = (95 − 75,52)·2 = 38,95 J

v = √(2·38,95/15) = 2,279 m/s

الإجابة

v = 2,279 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = 4 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (1,5 − 0,5)/(1,5 + 0,5)·8 = 4 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 0,5)·8 = 12 m/s

الإجابة

v′₁ = 4 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: J = 4,05 N·s

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,15·(14 + 13) = 4,05 N·s

الإجابة

J = 4,05 N·s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: a_tip = 14,71 m/s²

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

العزوم حول المسمار

لحظة الترك ω = 0، لذا لا يوجد تسارع مركزي ويتسارع المركز رأسيًا إلى الأسفل.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1,5) = 9,81 rad/s²

تسارع الطرف الحر

a_tip = α·L = 9,81·1,5 = 14,71 m/s²

الإجابة

a_tip = 14,71 m/s²

a_tip = 1,5·g لأي طول: الطرف الحر يسقط أسرع من حجر مُسقَط.

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: ΔE = 2416 J

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

عزوم القصور الذاتي

I₁ = ½·17·0,3² = 0,765 kg·m²

I₂ = 15·0,3² = 1,35 kg·m²

حفظ كمية الحركة الزاوية

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 950·0,765/2,115 = 343,6 rpm

الطاقة الحركية قبل وبعد

E₁ = ½·0,765·99,48² = 3786 J

E₂ = ½·2,115·35,98² = 1369 J

ΔE = 3786 − 1369 = 2416 J

الإجابة

ΔE = 2416 J

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n₂ = 230,4 rpm

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

السرعة من دون انزلاق

960·125/500 = 240 rpm

مع الانزلاق

n₂ = 240·0,96 = 230,4 rpm

الإجابة

n₂ = 230,4 rpm

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 326,3 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 2900·18/80 = 652,5 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 652,5·24/48 = 326,3 rpm

الإجابة

n_out = 326,3 rpm

النسبة الكلية = 8,889 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 3,416 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(2,9/9,81) = 3,416 s

الإجابة

T = 3,416 s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: E = 3,262 J

التردد الزاوي

ω = √(290/0,6) = 21,98 rad/s

الطاقة

E = ½·k·A² = ½·290·0,15² = 3,262 J

الإجابة

E = 3,262 J

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,1019

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/5)·ln(15/0,6) = 0,6438

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6438/√(39,48 + 0,4144) = 0,1019

الإجابة

ζ = 0,1019

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 37 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 25 = 37 kN/m

الإجابة

k_eq = 37 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics