الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سائقة تسير بسرعة 50 km/h ترى عائقًا. زمن ردّ فعلها 0,5 s، تكبح السيارة بعده بتباطؤ ثابت 8 m/s². أوجد مسافة التوقّف الكلية d من لحظة رؤيتها العائق.

v₀ = 50 km/ht_r = 0,5 sa = −8 m/s²

d = m

2.علم الحركةصعبة

يُطلق صاروخ نموذجي رأسيًا إلى الأعلى من السكون. يمنحه محرّكه تسارعًا ثابتًا إلى الأعلى مقداره 34 m/s² لمدة 1,5 s، ثم يتوقّف المحرّك ويتحرّك الصاروخ حرًّا. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع h_max يبلغه الصاروخ.

a = 34 m/s²t₁ = 1,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 2 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 25° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 2 kgθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 6 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 4 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 6 kgm₂ = 4 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 35° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد أقصى ارتفاع H تبلغه الكرة.

v₀ = 22 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

H = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 50° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 40 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 28 m/sθ = 50°h = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 95 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,4. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 95 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

تُترك عربة صغيرة من السكون على مسار عديم الاحتكاك وتدخل حلقة رأسية نصف قطرها 2,5 m. من أيّ ارتفاع أدنى h_min فوق قاع الحلقة يجب أن تبدأ كي تبقى على المسار عند قمة الحلقة؟

R = 2,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 10 kg مسافة 6 m على منحدر يميل بزاوية 20° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,15. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 10 kgθ = 20°μ = 0,15d = 6 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 1 kg من السكون على ارتفاع 2 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 2,5 m (μ = 0,15) ثم يصطدم بنابض (k = 5000 N/m) على سطح أملس. أوجد سرعة v الجسم عندما يصل إلى النابض.

m = 1 kgh = 2 mL = 2,5 mμ = 0,15k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

سيارة كتلتها 1800 kg تتحرّك بسرعة 5 m/s تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1800 kg وتلتحمان معًا. ما النسبة المئوية ΔK/K المفقودة من الطاقة الحركية الأصلية؟

m₁ = 1800 kgv₁ = 5 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 12 g أفقيًا في كتلة مقدارها 2 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 1,7 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 15° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 12 gM = 2 kgL = 1,7 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

جسم كتلته 8,5 kg معلّق بحبل خفيف ملفوف حول بكرة، وهي قرص مصمت منتظم كتلته 10,5 kg ونصف قطره 0,2 m يدور على محور أفقي عديم الاحتكاك. يُترك الجسم من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد التسارع الزاوي α للبكرة.

m = 8,5 kgM = 10,5 kgR = 0,2 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل أسطوانة مصمتة يتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 35° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر معامل احتكاك سكوني μ_s يمنعه من الانزلاق.

θ = 35°I = ½·m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

تدير بكرة قطرها 100 mm تدور بسرعة 720 rpm بكرةً قطرها 250 mm بسير انزلاقه 2 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n₂.

n₁ = 720 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 250 mms = 2 %

n₂ = rpm

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 125 mm تدور بسرعة 1450 rpm وبكرة قطرها 200 mm؛ والمسافة بين المركزين 800 mm. معامل الاحتكاك 0,3 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 1200 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 200 mmC = 800 mmμ = 0,3T₁ = 1200 N

P = kW

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 2,3 kg على نابض k = 360 N/m تُسحب 7 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد إزاحتها x عن موضع الاتزان عند t = 0,15 s (مع الإشارة).

m = 2,3 kgk = 360 N/mA = 7 cmt = 0,15 s

x = cm

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 2,6 kg على نابض k = 210 N/m تُسحب 2 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى سرعة لها v_max.

m = 2,6 kgk = 210 N/mA = 2 cm

v_max = m/s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 12 mm بعد 2 دورات قمةٌ مقدارها 7,3 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 12 mmx₂ = 7,3 mmn = 2

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 5 kg معلّقة بالنابض k₃ = 80 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 10 kN/m و k₂ = 20 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 5 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: d = 19 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

الوحدات

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

مسافة ردّ الفعل

d₁ = v₀·t_r = 13,89·0,5 = 6,944 m

مسافة الكبح

d₂ = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·8) = 12,06 m

المجموع

d = 6,944 + 12,06 = 19 m

الإجابة

d = 19 m

2.علم الحركة

الإجابة: h_max = 170,8 m

مرحلة الدفع

v₁ = 34·1,5 = 51 m/s

h₁ = ½·34·1,5² = 38,25 m

الطيران الحرّ صعودًا

عند القمة تكون السرعة صفرًا.

Δh = v₁²/(2g) = 51²/(2·9,81) = 132,6 m

h_max = 38,25 + 132,6 = 170,8 m

الإجابة

h_max = 170,8 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 1,923 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 25° − 0,25·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,2266) = 1,923 m/s²

الإجابة

a = 1,923 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 29,43 N

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 14,71)/10 = 2,453 m/s²

قوة الشد من الجسم الموجود على الطاولة

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6·2,453 + 14,71 = 29,43 N

الإجابة

T = 29,43 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 8,116 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 35° = 18,02 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 35° = 12,62 m/s

أعلى نقطة

في القمة تكون السرعة الرأسية صفرًا: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 12,62²/(2·9,81) = 8,116 m

الإجابة

H = 8,116 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 5,783 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 50° = 18 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 50° = 21,45 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 40 + 21,45·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (21,45 + √(460,1 + 784,8))/9,81 = 5,783 s

الإجابة

t = 5,783 s

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 19,31 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·95) = 19,31 m/s

الإجابة

v_max = 19,31 m/s (69,51 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: h_min = 6,25 m

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

الشرط عند القمة

m·g = m·v²/R → v² = g·R

حفظ الطاقة

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·2,5 = 6,25 m

الإجابة

h_min = 6,25 m

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 82,97 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 98,1·0,9397 = 92,18 N

F = μN = 0,15·92,18 = 13,83 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 13,83·6 = 82,97 J

الإجابة

W_f = 82,97 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 5,646 m/s

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 9,81·(2 − 0,15·2,5) = 15,94 J

السرعة عند النابض

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,625) = 5,646 m/s

الإجابة

v = 5,646 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: ΔK/K = 50 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

السرعة المشتركة

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1800·5/3600 = 2,5 m/s

الطاقة الحركية قبل وبعد

K_before = ½·1800·5² = 22500 J

K_after = ½·3600·2,5² = 11250 J

الكسر المفقود

ΔK/K = 11250/22500 = 50 %

الإجابة

ΔK/K = 50 %

تذهب الطاقة المفقودة إلى التشوّه والحرارة والصوت.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 178,7 m/s

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 1,7·(1 − cos 15°) = 0,05793 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,05793) = 1,066 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 2,012·1,066/0,012 = 178,7 m/s

الإجابة

v = 178,7 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: α = 30,32 rad/s²

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

الجسم والبكرة

الجسم: m·g − T = m·a

البكرة: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

التسارع

a = m·g/(m + M/2) = 8,5·9,81/(8,5 + 5,25) = 6,064 m/s²

التسارع الزاوي

α = a/R = 6,064/0,2 = 30,32 rad/s²

الإجابة

α = 30,32 rad/s²

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: μ_s = 0,2334

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

معادلات الحركة

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,5·m·r²·(a/r) → f = 0,5·m·a

التسارع

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 35°/1,5 = 3,751 m/s²

الاحتكاك اللازم

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0,5·tan 35°/1,5 = 0,2334

الإجابة

μ_s = 0,2334

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n₂ = 282,2 rpm

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

السرعة من دون انزلاق

720·100/250 = 288 rpm

مع الانزلاق

n₂ = 288·0,98 = 282,2 rpm

الإجابة

n₂ = 282,2 rpm

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 6,824 kW

زاوية الالتفاف

θ = 3,048 rad

الشد في الجانب المرتخي

e^μθ = e^0,9143 = 2,495, T₂ = 1200/2,495 = 480,9 N

القدرة

P = (1200 − 480,9)·9,49 = 6,824 kW

الإجابة

P = 6,824 kW

17.النوابض والبندولات

الإجابة: x = −2,108 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(360/2,3) = 12,51 rad/s

ω·t = 12,51·0,15 = 1,877 rad

الإزاحة

x = A·cos(ω·t) = 7·cos(1,877) = −2,108 cm

الإجابة

x = −2,108 cm

18.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 0,1797 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(210/2,6) = 8,987 rad/s

أقصى سرعة

v_max = A·ω = 0,02·8,987 = 0,1797 m/s

الإجابة

v_max = 0,1797 m/s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,03952

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/2)·ln(12/7,3) = 0,2485

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2485/√(39,48 + 0,06176) = 0,03952

الإجابة

ζ = 0,03952

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 10,51 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 10 + 20 = 30 kN/m

k_eq = 30·80/(30 + 80) = 21,82 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(21818/5) = 66,06 rad/s

f_n = 66,06/(2π) = 10,51 Hz

الإجابة

f_n = 10,51 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics