الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تبدأ طائرة من السكون وتتسارع بانتظام بمقدار 3 m/s² على مدرج. أوجد سرعتها v بعد 1800 m.

v₀ = 0a = 3 m/s²s = 1800 m

v = m/s

2.علم الحركةصعبة

يُسقَط حجر من السكون في بئر. يُسمع صوت ارتطامه بالماء بعد 3,3 s من إفلاته. سرعة الصوت 343 m/s؛ أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد عمق البئر d.

t_total = 3,3 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

زلّاجة كتلتها 15 kg تُسحب على ثلج مستوٍ بحبل يميل 25° فوق الأفق بقوة 110 N. معامل الاحتكاك الحركي 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الزلّاجة a.

m = 15 kgF = 110 Nθ = 25°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 3 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 2 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 3 kgm₂ = 2 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 22 m/s ويجب أن تهبط على بعد 15 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 22 m/sR = 15 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 15° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 60 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 24 m/sθ = 15°h = 60 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 110 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 110 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1,8 kg مربوطة بخيط خفيف طوله 1 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة سرعتها 8 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T_top في الخيط عند أعلى نقطة.

m = 1,8 kgr = 1 mv_bottom = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

لقاذف ألعاب نابض رأسي صلابته 500 N/m. توضع عليه كرة كتلتها 0,1 kg ويُضغط النابض بمقدار 10 cm ثم يُترك. بإهمال مقاومة الهواء وكتلة النابض، أوجد الارتفاع h الذي ترتفعه الكرة، مقيسًا من موضعها عندما كان النابض مضغوطًا.

m = 0,1 kgk = 500 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.الشغل والطاقةصعبة

جسم كتلته 4 kg يستقر على طاولة أفقية خشنة (μ = 0,15). يمتدّ منه خيط خفيف فوق بكرة ملساء عند حافة الطاولة إلى جسم معلّق كتلته 2 kg. يُترك النظام من السكون. أوجد سرعة الجسمين v بعد أن يهبط الجسم المعلّق 1,5 m.

m₁ = 4 kgm₂ = 2 kgμ = 0,15d = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 2 kg يتحرك بسرعة 2 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 2,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 2 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 900 kg تسير شرقًا بسرعة 10 m/s بسيارة كتلتها 1900 kg تسير شمالًا بسرعة 18 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد سرعة الحطام v′ مباشرةً بعد التصادم.

m₁ = 900 kgv₁ = 10 m/s (E)m₂ = 1900 kgv₂ = 18 m/s (N)

v′ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 14 kg وطوله 2,8 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ومُمسَك أفقيًا. يُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارعه الزاوي α مباشرةً بعد تركه.

m = 14 kgL = 2,8 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل كرة مجوّفة كتلته 1,5 kg يتدحرج دون انزلاق بسرعة 5,5 m/s. أوجد طاقته الحركية الكلية E_k.

m = 1,5 kgv = 5,5 m/sI = (2/3)·m·r²

E_k = J

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 2,2 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 25 سنًّا وموديول 2,5 mm. أوجد القوة المماسية F_t على أسنان الترس الصغير.

P = 2,2 kWn = 1450 rpmN₁ = 25m = 2,5 mm

F_t = N

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

محرّك قدرته 7,5 kW بسرعة 2900 rpm يدير الترس A (12 سنًّا)، الذي يتعشّق مع الترس B (60 سنًّا). الترس C (32 سنًّا) على عمود B نفسه يدير الترس D (48 سنًّا) على عمود الخرج. كفاءة كل تعشيق 96%. أوجد عزم الخرج T_out.

P = 7,5 kWn_in = 2900 rpmA = 12B = 60C = 32D = 48η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 2,5 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 2,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.النوابض والبندولاتصعبة

تُربط كتلة مقدارها 0,5 kg بالطرف السفلي لنابض رأسي غير ممطوط k = 110 N/m وتُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر سرعة v_max للكتلة.

m = 0,5 kgk = 110 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 50 mm بعد 4 دورات قمةٌ مقدارها 1,1 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 50 mmx₄ = 1,1 mmn = 4

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 25 kN/m والسفلي k₂ = 100 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 25 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: v = 103,9 m/s

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

السرعة بعد المسافة

v = √(2·a·s) = √(2·3·1800) = 103,9 m/s

الإجابة

v = 103,9 m/s

(374,1 km/h)

2.علم الحركة

الإجابة: d = 48,9 m

جزآن من الزمن

½·9,81·t₁² = 343·(3,3 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1132 = 0

زمن السقوط

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1132))/(2·4,905) = 3,157 s

العمق

d = ½·9,81·3,157² = 48,9 m

الإجابة

d = 48,9 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 4,633 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوة العمودية

N = m·g − F·sin θ = 147,2 − 110·sin 25° = 100,7 N

القوى الأفقية

m·a = F·cos θ − μ·N = 99,69 − 30,2

a = 69,5/15 = 4,633 m/s²

الإجابة

a = 4,633 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 12,95 N

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19,62 − 2,943)/5 = 3,335 m/s²

قوة الشد من الجسم الموجود على الطاولة

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3·3,335 + 2,943 = 12,95 N

الإجابة

T = 12,95 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 8,85 °

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·15/22² = 0,304

الزاوية

2θ = 17,7° → θ = 8,85°

الإجابة

θ = 8,85°

الحل الآخر 90° − θ = 81,15°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 4,188 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 15° = 23,18 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 15° = 6,212 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 60 + 6,212·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6,212 + √(38,58 + 1177))/9,81 = 4,188 s

الإجابة

t = 4,188 s

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 17,99 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·110) = 17,99 m/s

الإجابة

v_max = 17,99 m/s (64,77 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T_top = 26,91 N

السرعة عند القمة

تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة وضع على ارتفاع 2r.

v_top² = 8² − 4·9,81·1 = 24,76 m²/s²

القوى عند القمة

الشدّ والجاذبية كلاهما يتجهان إلى الأسفل، نحو المركز.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,8·24,76/1 − 1,8·9,81 = 26,91 N

الإجابة

T_top = 26,91 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: h = 2,548 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

طاقة النابض

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·500·0,1² = 2,5 J

الارتفاع

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 2,5/0,981 = 2,548 m

الإجابة

h = 2,548 m

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 2,62 m/s

الطاقة المحرَّرة والمفقودة

m₂g·d = 19,62·1,5 = 29,43 J

μ·m₁g·d = 0,15·39,24·1,5 = 8,829 J

الطاقة الحركية للجسمين

½(m₁ + m₂)v² = 20,6 → v = √(2·20,6/6) = 2,62 m/s

الإجابة

v = 2,62 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 1,778 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (2 − 2,5)/(2 + 2,5)·2 = −0,2222 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 2,5)·2 = 1,778 m/s

الإجابة

v′₂ = 1,778 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′ = 12,63 m/s

مركّبات كمية الحركة

p_x = 900·10 = 9000 kg·m/s

p_y = 1900·18 = 34200 kg·m/s

سرعة الحطام

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 35364/2800 = 12,63 m/s

الإجابة

v′ = 12,63 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: α = 5,255 rad/s²

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

العزوم حول المسمار

لحظة الترك ω = 0، لذا لا يوجد تسارع مركزي ويتسارع المركز رأسيًا إلى الأسفل.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·2,8) = 5,255 rad/s²

الإجابة

α = 5,255 rad/s²

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: E_k = 37,81 J

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

الجزآن الانتقالي والدوراني

E_trans = ½·m·v² = ½·1,5·5,5² = 22,69 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,6667·m·r²·(v/r)² = 0,6667·22,69 = 15,13 J

المجموع

E_k = 22,69 + 15,13 = 37,81 J

الإجابة

E_k = 37,81 J

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: F_t = 463,6 N

هندسة التروس: الموديول m يحدّد حجم السن. الترس ذو N سنًّا قطر خطوته d = m·N، والترسان المتعشّقان لهما الموديول نفسه، والمسافة بين مركزيهما a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. سرعة خط الخطوة v = π·d·n/60، وقوة السن المماسية تُستنتج من العزم: F_t = 2T/d.

العزم على الترس الصغير

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 2200/151,8 = 14,49 N·m

قطر الخطوة

d = m·N = 2,5·25 = 62,5 mm

القوة المماسية

F_t = 2T/d = 2·14,49/0,0625 = 463,6 N

الإجابة

F_t = 463,6 N

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T_out = 170,7 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

سرعة الخرج

n_out = 2900·(12/60)·(32/48) = 386,7 rpm

ω_out = 2π·386,7/60 = 40,49 rad/s

قدرة الخرج والعزم

P_out = 7500·0,96² = 6912 W

T_out = P_out/ω_out = 6912/40,49 = 170,7 N·m

الإجابة

T_out = 170,7 N·m

17.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 3,172 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(2,5/9,81) = 3,172 s

الإجابة

T = 3,172 s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 0,6614 m/s

الاتزان والسعة

x₀ = m·g/k = 0,5·9,81/110 = 0,04459 m = A

أكبر سرعة

تكون السرعة أكبر ما يمكن عند موضع الاتزان.

ω = √(110/0,5) = 14,83 rad/s

v_max = A·ω = 0,04459·14,83 = 0,6614 m/s

الإجابة

v_max = 0,6614 m/s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,1501

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/4)·ln(50/1,1) = 0,9542

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9542/√(39,48 + 0,9105) = 0,1501

الإجابة

ζ = 0,1501

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 20 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/100 → k_eq = 25·100/(25 + 100) = 20 kN/m

الإجابة

k_eq = 20 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics