الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 54 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 4,5 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 54 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُسقَط الكرة A من السكون من ارتفاع 55 m. في اللحظة نفسها تُقذف الكرة B رأسيًا إلى الأعلى من الأرض تحتها مباشرةً بسرعة 18 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y فوق الأرض تلتقيان؟

H = 55 mv_0B = 18 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

صندوق كتلته 35 kg يُدفع إلى أعلى منحدر يميل 20° عن الأفق بسرعة ثابتة، بقوة موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الدفع F.

m = 35 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

F = N

4.قوانين نيوتنصعبة

يُدفع جسم فيبدأ الانزلاق إلى أعلى منحدر يميل 35° بسرعة 4,5 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². ما المسافة d التي ينزلقها على المنحدر قبل أن يتوقّف؟

v₀ = 4,5 m/sθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 50° فوق الأفق وتهبط على بعد 95 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

θ = 50°R = 95 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 25° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 5 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 11 m/sθ = 25°h = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 70 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 70 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

عربة كتلتها 2 kg تُترك من السكون على ارتفاع 7 m على مسار عديم الاحتكاك وتمرّ بحلقة رأسية نصف قطرها 2 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N_bottom التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قاع الحلقة.

m = 2 kgh = 7 mR = 2 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

كرة كتلتها 2 kg معلّقة بخيط خفيف طوله 2 m. تُسحب جانبًا حتى يصنع الخيط 60° مع الرأسي ثم تُترك من السكون. أوجد الشدّ T في الخيط عندما تمرّ الكرة بأدنى نقطة.

m = 2 kgL = 2 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

T = N

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 4 kg من السكون على ارتفاع 5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 1 m (μ = 0,15) ثم يصطدم بنابض (k = 5000 N/m) على سطح أملس. أوجد سرعة v الجسم عندما يصل إلى النابض.

m = 4 kgh = 5 mL = 1 mμ = 0,15k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 0,5 kg يتحرك بسرعة 11 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 2 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 0,5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,5 kg تصطدم بجدار بسرعة 18 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 17 m/s. يدوم التلامس 10 ms. أوجد متوسط القوة F_avg التي يؤثر بها الجدار على الكرة.

m = 0,5 kgv_in = 18 m/sv_out = 17 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

حدّافة عزم قصورها الذاتي 2,5 kg·m² تدور بسرعة 900 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 5 N·m. كم دورة N تدورها الحدّافة قبل أن تتوقّف؟

I = 2,5 kg·m²n = 900 rpmT_b = 5 N·m

N = rev

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

قضيب نحيف منتظم كتلته 8 kg وطوله 0,5 m معلّق ساكنًا من محور ارتكاز عديم الاحتكاك عند طرفه العلوي. رصاصة كتلتها 35 g تتحرّك أفقيًا بسرعة 220 m/s تصطدم بالقضيب على بعد 0,35 m تحت محور الارتكاز وتنغرس فيه. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر زاوية φ عن الرأسي يتأرجح بها القضيب.

M = 8 kgL = 0,5 mm = 35 gv = 220 m/sd = 0,35 mg = 9,81 m/s²

φ = °

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 2,2 kW بسرعة 1440 rpm يدير دودة لها 3 مدخل (مداخل). للعجلة الدودية 48 سنًّا وكفاءة نقل الحركة 85%. أوجد عزم الخرج T_w على عمود العجلة.

z = 3N_w = 48n = 1440 rpmP = 2,2 kWη = 85%

T_w = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (24 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 2900 rpm الترسَ B (72 سنًّا). الترس C (25 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (72 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 2900 rpmA = 24B = 72C = 25D = 72

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

يجد رائد فضاء على كوكب آخر أن بندولًا بسيطًا طوله 2 m زمنه الدوري 2,66 s للتأرجحات الصغيرة. أوجد تسارع الجاذبية g على ذلك الكوكب.

L = 2 mT = 2,66 s

g = m/s²

18.النوابض والبندولاتصعبة

رصاصة كتلتها 15 g تتحرّك بسرعة 200 m/s تصطدم بكتلة مقدارها 3 kg ساكنة على سطح أملس وتستقر فيها. الكتلة موصولة بنابض أفقي k = 1700 N/m. أوجد سعة الاهتزاز الناتج A بوحدة cm.

m = 15 gv = 200 m/sM = 3 kgk = 1700 N/m

A = cm

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 80 kg على نابض جساءته 8 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,4. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 80 kgk = 8 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 25 kN/m والسفلي k₂ = 50 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 25 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 25 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·4,5) = 25 m

الإجابة

s = 25 m

2.علم الحركة

الإجابة: y = 9,205 m

زمن الالتقاء

الاتجاه إلى الأعلى موجب، والأرض عند y = 0.

55 − ½g·t² = 18·t − ½g·t² → t = 55/18 = 3,056 s

ارتفاع الالتقاء

y = 18·3,056 − ½·9,81·3,056² = 9,205 m

الإجابة

y = 9,205 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: F = 165,8 N

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

سرعة ثابتة: القوى متوازنة.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

قوة الدفع

F = 117,4 + 48,4 = 165,8 N

الإجابة

F = 165,8 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: d = 1,26 m

التباطؤ

القوتان تتجهان إلى أسفل المنحدر؛ وتُختصر الكتلة.

a = 9,81·(sin 35° + 0,3·cos 35°) = 8,038 m/s²

المسافة

d = v₀²/(2a) = 4,5²/(2·8,038) = 1,26 m

الإجابة

d = 1,26 m

5.حركة المقذوفات

الإجابة: v₀ = 30,76 m/s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّ صيغة المدى لإيجاد v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·95/sin 100°) = 30,76 m/s

الإجابة

v₀ = 30,76 m/s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 15,84 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 25° = 9,969 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 25° = 4,649 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 5 + 4,649·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4,649 + √(21,61 + 98,1))/9,81 = 1,589 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 9,969·1,589 = 15,84 m

الإجابة

x = 15,84 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 18,53 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·70) = 18,53 m/s

الإجابة

v_max = 18,53 m/s (66,71 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: N_bottom = 157 N

السرعة من حفظ الطاقة

v² = 2·9,81·7 = 137,3 m²/s²

القوى

الاتجاه نحو المركز موجب.

N = m·v²/R + m·g = 2·137,3/2 + 19,62 = 157 N

الإجابة

N_bottom = 157 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: T = 39,24 N

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). على مسار دائري يجب أن تساوي القوة المحصّلة نحو المركز mv²/r.

السرعة عند الأسفل

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 60°) = 19,62 m²/s²

القوى عند الأسفل

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

T = mg + mv²/L = 19,62 + 2·19,62/2 = 39,24 N

الإجابة

T = 39,24 N

تحقّق: T = mg(3 − 2cos θ) = 39,24 N.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 9,755 m/s

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 39,24·(5 − 0,15·1) = 190,3 J

السرعة عند النابض

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·4,85) = 9,755 m/s

الإجابة

v = 9,755 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 4,4 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (0,5 − 2)/(0,5 + 2)·11 = −6,6 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 2)·11 = 4,4 m/s

الإجابة

v′₂ = 4,4 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: F_avg = 1750 N

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,5·(17 + 18) = 17,5 N·s

متوسط القوة

F_avg = J/Δt = 17,5/0,01 = 1750 N

الإجابة

F_avg = 1750 N

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: N = 353,4 rev

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·900/60 = 94,25 rad/s

شغل المكبح يساوي الطاقة الحركية

½·I·ω² = ½·2,5·94,25² = 11103 J

θ = 11103/5 = 2221 rad

الدورات

N = θ/2π = 353,4 rev

الإجابة

N = 353,4 rev

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: φ = 43,46 °

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

عزم القصور الذاتي بعد الاصطدام

I = M·L²/3 + m·d² = 8·0,5²/3 + 0,035·0,35² = 0,671 kg·m²

كمية الحركة الزاوية حول محور الارتكاز

قوة محور الارتكاز تمرّ بمحور الارتكاز، لذا ليس لها عزم حوله أثناء الاصطدام.

m·v·d = I·ω → ω = 0,035·220·0,35/0,671 = 4,017 rad/s

الطاقة أثناء التأرجح

½·I·ω² = ½·0,671·4,017² = 5,412 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 19,74·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 5,412/19,74 = 0,7258 → φ = 43,46°

الإجابة

φ = 43,46°

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T_w = 198,4 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

سرعة العجلة

n_w = n·z/N_w = 1440·3/48 = 90 rpm

عزم الخرج

ω_w = 2π·90/60 = 9,425 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,85·2200/9,425 = 198,4 N·m

الإجابة

T_w = 198,4 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 335,6 rpm

المرحلة الأولى

n_B = 2900·24/72 = 966,7 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 966,7·25/72 = 335,6 rpm

الإجابة

n_out = 335,6 rpm

النسبة الكلية = 8,64 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: g = 11,16 m/s²

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

حلّ لإيجاد g

g = 4π²·L/T² = 4π²·2/2,66² = 11,16 m/s²

الإجابة

g = 11,16 m/s²

18.النوابض والبندولات

الإجابة: A = 4,19 cm

السرعة بعد الاصطدام

V = m·v/(m + M) = 0,015·200/3,015 = 0,995 m/s

التردد الزاوي

ω = √(k/(m + M)) = √(1700/3,015) = 23,75 rad/s

السعة

A = V/ω = 0,995/23,75 = 0,0419 m = 4,19 cm

الإجابة

A = 4,19 cm

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 1,459 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(8000/80) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,4²) = 1,459 Hz

الإجابة

f_d = 1,459 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 16,67 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/50 → k_eq = 25·50/(25 + 50) = 16,67 kN/m

الإجابة

k_eq = 16,67 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics