الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 120 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 7 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 120 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 9 m/s من حافة سطح يرتفع 25 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 9 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 14 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 35° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 14 kgθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 3,5 kg على منحدر يميل 30° موصول بخيط خفيف يمرّ فوق بكرة عديمة الاحتكاك أعلى المنحدر بكتلة معلّقة مقدارها 9 kg. الكتلة المعلّقة تتحرّك إلى الأسفل. المنحدر عديم الاحتكاك. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 9 kgθ = 30°μ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 70° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 32 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

x = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 45° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 10 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 28 m/sθ = 45°h = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.الحركة الدائريةمتوسطة

سيارة كتلتها 1000 kg تمرّ فوق قمة نتوء في الطريق بسرعة 5 m/s. قمة النتوء قوس دائري نصف قطره 80 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها الطريق على السيارة عند القمة.

m = 1000 kgv = 5 m/sr = 80 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1 kg مربوطة بخيط خفيف طوله 1,5 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة سرعتها 9 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T_top في الخيط عند أعلى نقطة.

m = 1 kgr = 1,5 mv_bottom = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 2 kg مسافة 10 m على منحدر يميل بزاوية 25° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,35. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 2 kgθ = 25°μ = 0,35d = 10 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

نابض صلابته 2000 N/m عند أسفل منحدر بزاوية 20° يُضغط بمقدار 20 cm أمام جسم كتلته 2 kg ثم يُترك. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,25. ما المسافة d التي يقطعها الجسم إلى أعلى المنحدر من نقطة الإطلاق قبل أن يتوقّف؟ (أهمل المسافة القصيرة التي يدفع خلالها النابض، أي خذ الاحتكاك والجاذبية على المسافة d كلها.)

m = 2 kgk = 2000 N/mx = 20 cmθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 2 kg يتحرك بسرعة 8 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,35 kg تصطدم بجدار بسرعة 16 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 16 m/s. يدوم التلامس 20 ms. أوجد مقدار الدفع J الذي يعطيه الجدار للكرة.

m = 0,35 kgv_in = 16 m/sv_out = 16 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

حدّافة عزم قصورها الذاتي 15 kg·m² تدور بسرعة 2400 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 125 N·m. كم دورة N تدورها الحدّافة قبل أن تتوقّف؟

I = 15 kg·m²n = 2400 rpmT_b = 125 N·m

N = rev

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل أسطوانة مصمتة يتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 15° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر معامل احتكاك سكوني μ_s يمنعه من الانزلاق.

θ = 15°I = ½·m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

دودة لها 2 مدخل (مداخل) تدور بسرعة 2900 rpm وتدير عجلة دودية لها 30 سنًّا. أوجد سرعة العجلة n_w.

z = 2N_w = 30n = 2900 rpm

n_w = rpm

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (12 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 1500 rpm الترسَ B (60 سنًّا). الترس C (20 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (80 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 1500 rpmA = 12B = 60C = 20D = 80

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 1,5 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 1,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.النوابض والبندولاتصعبة

جسم يهتز حركة توافقية بسيطة بزمن دوري 2,8 s وسعة 9 cm. ما أقصر زمن t يحتاجه للانتقال من أقصى إزاحة له 9 cm إلى إزاحة 6,75 cm؟

T = 2,8 sA = 9 cmx = 6,75 cm

t = s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 15 kg على نابض جساءته 100 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,35. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 15 kgk = 100 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 12 kN/m والسفلي k₂ = 60 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 79,37 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·7) = 79,37 m

الإجابة

s = 79,37 m

2.علم الحركة

الإجابة: t = 3,354 s

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−25 = 9·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 9·t − 25 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (9 + √(9² + 2·9,81·25))/9,81 = 3,354 s

الإجابة

t = 3,354 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 3,618 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 35° − 0,25·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,2048) = 3,618 m/s²

الإجابة

a = 3,618 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 37,08 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوى على امتداد الخيط

m₂·g = 88,29 N

m₁·g·sin θ = 17,17 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

تسارع النظام

a = (88,29 − 17,17 − 0)/12,5 = 5,69 m/s²

الشدّ من الكتلة المعلّقة

m₂·g − T = m₂·a → T = 9·(9,81 − 5,69) = 37,08 N

الإجابة

T = 37,08 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 67,1 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 70° = 10,94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 70° = 30,07 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·30,07/9,81 = 6,131 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 10,94·6,131 = 67,1 m

الإجابة

x = 67,1 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 4,491 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 45° = 19,8 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 45° = 19,8 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 10 + 19,8·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19,8 + √(392 + 196,2))/9,81 = 4,491 s

الإجابة

t = 4,491 s

7.الحركة الدائرية

الإجابة: N = 9498 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

القوى عند القمة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأسفل) موجب.

m·g − N = m·v²/r

N = 1000·9,81 − 1000·5²/80 = 9810 − 312,5 = 9498 N

الإجابة

N = 9498 N

تبدو السيارة أخفّ: يدفعها الطريق إلى الأعلى بأقل من وزنها.

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T_top = 4,95 N

السرعة عند القمة

تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة وضع على ارتفاع 2r.

v_top² = 9² − 4·9,81·1,5 = 22,14 m²/s²

القوى عند القمة

الشدّ والجاذبية كلاهما يتجهان إلى الأسفل، نحو المركز.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1·22,14/1,5 − 1·9,81 = 4,95 N

الإجابة

T_top = 4,95 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 62,24 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 19,62·0,9063 = 17,78 N

F = μN = 0,35·17,78 = 6,224 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 6,224·10 = 62,24 J

الإجابة

W_f = 62,24 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 3,534 m

طاقة النابض

x = 20 cm = 0,2 m

½kx² = ½·2000·0,2² = 40 J

موازنة الطاقة على المنحدر

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 40/(19,62·(0,342 + 0,25·0,9397)) = 3,534 m

الإجابة

d = 3,534 m

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 4,571 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (2 − 5)/(2 + 5)·8 = −3,429 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 5)·8 = 4,571 m/s

الإجابة

v′₂ = 4,571 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: J = 11,2 N·s

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,35·(16 + 16) = 11,2 N·s

الإجابة

J = 11,2 N·s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: N = 603,2 rev

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·2400/60 = 251,3 rad/s

شغل المكبح يساوي الطاقة الحركية

½·I·ω² = ½·15·251,3² = 473741 J

θ = 473741/125 = 3790 rad

الدورات

N = θ/2π = 603,2 rev

الإجابة

N = 603,2 rev

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: μ_s = 0,08932

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

معادلات الحركة

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,5·m·r²·(a/r) → f = 0,5·m·a

التسارع

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 15°/1,5 = 1,693 m/s²

الاحتكاك اللازم

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0,5·tan 15°/1,5 = 0,08932

الإجابة

μ_s = 0,08932

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_w = 193,3 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العجلة

n_w = n·z/N_w = 2900·2/30 = 193,3 rpm

الإجابة

n_w = 193,3 rpm

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 75 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 1500·12/60 = 300 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 300·20/80 = 75 rpm

الإجابة

n_out = 75 rpm

النسبة الكلية = 20 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 2,457 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(1,5/9,81) = 2,457 s

الإجابة

T = 2,457 s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: t = 0,3221 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = 2π/T = 2π/2,8 = 2,244 rad/s

حلّ لإيجاد الزمن

0,75 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,75) = 0,7227 rad

t = 0,7227/2,244 = 0,3221 s

الإجابة

t = 0,3221 s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 12,17 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(100000/15) = 81,65 rad/s

f_n = 81,65/(2π) = 12,99 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 12,99·√(1 − 0,35²) = 12,17 Hz

الإجابة

f_d = 12,17 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 10 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/60 → k_eq = 12·60/(12 + 60) = 10 kN/m

الإجابة

k_eq = 10 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics