الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تبدأ طائرة من السكون وتتسارع بانتظام بمقدار 4 m/s² على مدرج. أوجد سرعتها v بعد 800 m.

v₀ = 0a = 4 m/s²s = 800 m

v = m/s

2.علم الحركةصعبة

يبدأ ترام من السكون ويتسارع بمقدار 3 m/s² لمدة 4 s، ثم يسير بسرعة ثابتة لمدة 28 s، وأخيرًا يكبح بمقدار 3,5 m/s² حتى يتوقّف. أوجد زمن الرحلة الكلي t.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 4 st₂ = 28 sa₃ = −3,5 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 6 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 45° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 6 kgθ = 45°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 7 kg على منحدر يميل 20° موصول بخيط خفيف يمرّ فوق بكرة عديمة الاحتكاك أعلى المنحدر بكتلة معلّقة مقدارها 9,5 kg. الكتلة المعلّقة تتحرّك إلى الأسفل. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 7 kgm₂ = 9,5 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 45° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 34 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

t = s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 35 m/s وبزاوية 70° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 10 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع H فوق الأرض عند أسفل الجرف.

v₀ = 35 m/sθ = 70°h = 10 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 25 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,4. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 25 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1 kg مربوطة بخيط طوله 1,5 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 4,5 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 1 kgr = 1,5 mv = 4,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة كتلتها 1000 kg تصعد منحدرًا بزاوية 3° بسرعة ثابتة 90 km/h. مقاومة الهواء ومقاومة التدحرج معًا تبلغان 350 N. أوجد القدرة P التي يجب أن تعطيها العجلات، بوحدة kW.

m = 1000 kgθ = 3°F_r = 350 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.الشغل والطاقةصعبة

نابض صلابته 2000 N/m عند أسفل منحدر بزاوية 25° يُضغط بمقدار 5 cm أمام جسم كتلته 0,5 kg ثم يُترك. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والمنحدر 0,25. ما المسافة d التي يقطعها الجسم إلى أعلى المنحدر من نقطة الإطلاق قبل أن يتوقّف؟ (أهمل المسافة القصيرة التي يدفع خلالها النابض، أي خذ الاحتكاك والجاذبية على المسافة d كلها.)

m = 0,5 kgk = 2000 N/mx = 5 cmθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

سيارة كتلتها 700 kg تتحرّك بسرعة 18 m/s تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1700 kg وتلتحمان معًا. كم من الطاقة الحركية ΔK يُفقد في التصادم؟

m₁ = 700 kgv₁ = 18 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,4 kg تصطدم بجدار بسرعة 24 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 6 m/s. يدوم التلامس 10 ms. أوجد متوسط القوة F_avg التي يؤثر بها الجدار على الكرة.

m = 0,4 kgv_in = 24 m/sv_out = 6 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

ينقل عمود 59,5 kW بسرعة 900 rpm. أوجد العزم T في العمود.

P = 59,5 kWn = 900 rpm

T = N·m

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل طوق رقيق كتلته 2,5 kg يتدحرج دون انزلاق بسرعة 5,5 m/s. ما النسبة المئوية p من طاقته الحركية الكلية التي هي دورانية؟

m = 2,5 kgv = 5,5 m/sI = m·r²

p = %

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 7,5 kW يعمل بسرعة 1440 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 12 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 36 سنًّا. كفاءة زوج التروس 97%. أوجد عزم الخرج T₂ على عمود الترس.

P = 7,5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 12N₂ = 36η = 97%

T₂ = N·m

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

محرّك قدرته 5,5 kW بسرعة 960 rpm يدير الترس A (24 سنًّا)، الذي يتعشّق مع الترس B (48 سنًّا). الترس C (30 سنًّا) على عمود B نفسه يدير الترس D (40 سنًّا) على عمود الخرج. كفاءة كل تعشيق 96%. أوجد عزم الخرج T_out.

P = 5,5 kWn_in = 960 rpmA = 24B = 48C = 30D = 40η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 0,7 kg على نابض k = 40 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 8 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 2 cm من موضع الاتزان.

m = 0,7 kgk = 40 N/mA = 8 cmx = 2 cm

v = m/s

18.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 2,3 kg على نابض k = 130 N/m تُسحب 20 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى سرعة لها v_max.

m = 2,3 kgk = 130 N/mA = 20 cm

v_max = m/s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 25 kg يحملها نابض جساءته 4 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 190 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 25 kgk = 4 kN/mc = 190 N·s/m

ζ =

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بالنابض k₃ = 30 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 20 kN/m و k₂ = 15 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 10 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: v = 80 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

السرعة بعد المسافة

v = √(2·a·s) = √(2·4·800) = 80 m/s

الإجابة

v = 80 m/s

(288 km/h)

2.علم الحركة

الإجابة: t = 35,43 s

السرعة القصوى

v = a₁·t₁ = 3·4 = 12 m/s

زمن الكبح

t₃ = v/a₃ = 12/3,5 = 3,429 s

الزمن الكلي

t = 4 + 28 + 3,429 = 35,43 s

الإجابة

t = 35,43 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 5,203 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 45° − 0,25·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1768) = 5,203 m/s²

الإجابة

a = 5,203 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 58,63 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوى على امتداد الخيط

m₂·g = 93,2 N

m₁·g·sin θ = 23,49 N

μ·m₁·g·cos θ = 9,679 N

تسارع النظام

a = (93,2 − 23,49 − 9,679)/16,5 = 3,638 m/s²

الشدّ من الكتلة المعلّقة

m₂·g − T = m₂·a → T = 9,5·(9,81 − 3,638) = 58,63 N

الإجابة

T = 58,63 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 4,901 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 45° = 24,04 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 45° = 24,04 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·24,04/9,81 = 4,901 s

الإجابة

t = 4,901 s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 65,13 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

سرعة القذف الرأسية

v_y = 35·sin 70° = 32,89 m/s

الارتفاع فوق الجرف

Δh = v_y²/(2g) = 32,89²/(2·9,81) = 55,13 m

الارتفاع فوق الأرض

H = 10 + 55,13 = 65,13 m

الإجابة

H = 65,13 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 9,905 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·25) = 9,905 m/s

الإجابة

v_max = 9,905 m/s (35,66 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 23,31 N

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 1·9,81 + 1·4,5²/1,5 = 9,81 + 13,5 = 23,31 N

الإجابة

T = 23,31 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: P = 21,59 kW

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). القدرة هي القوة مضروبة في السرعة: P = F·v.

قوة الدفع

m·g = 1000·9,81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 3° = 513,4 N

F = 513,4 + 350 = 863,4 N

القدرة

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 863,4·25 = 21585 W = 21,59 kW

الإجابة

P = 21,59 kW

10.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 0,7851 m

طاقة النابض

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·2000·0,05² = 2,5 J

موازنة الطاقة على المنحدر

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 2,5/(4,905·(0,4226 + 0,25·0,9063)) = 0,7851 m

الإجابة

d = 0,7851 m

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: ΔK = 80325 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

السرعة المشتركة

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·18/2400 = 5,25 m/s

الطاقة الحركية قبل وبعد

K_before = ½·700·18² = 113400 J

K_after = ½·2400·5,25² = 33075 J

الطاقة المفقودة

ΔK = 113400 − 33075 = 80325 J

الإجابة

ΔK = 80325 J

تذهب الطاقة المفقودة إلى التشوّه والحرارة والصوت.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: F_avg = 1200 N

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,4·(6 + 24) = 12 N·s

متوسط القوة

F_avg = J/Δt = 12/0,01 = 1200 N

الإجابة

F_avg = 1200 N

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: T = 631,3 N·m

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·900/60 = 94,25 rad/s

العزم

T = P/ω = 59500/94,25 = 631,3 N·m

الإجابة

T = 631,3 N·m

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: p = 50 %

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

الجزآن الانتقالي والدوراني

E_trans = ½·m·v² = ½·2,5·5,5² = 37,81 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·37,81 = 37,81 J

حصة الدوران

p = 37,81/75,63·100% = c/(1 + c)·100% = 50%

الإجابة

p = 50 %

الحصة تعتمد على الشكل فقط، لا على الكتلة أو السرعة.

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₂ = 144,7 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/150,8 = 49,74 N·m

عزم الخرج

T₂ = 49,74·36/12·0,97 = 144,7 N·m

الإجابة

T₂ = 144,7 N·m

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T_out = 134,5 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة الخرج

n_out = 960·(24/48)·(30/40) = 360 rpm

ω_out = 2π·360/60 = 37,7 rad/s

قدرة الخرج والعزم

P_out = 5500·0,96² = 5069 W

T_out = P_out/ω_out = 5069/37,7 = 134,5 N·m

الإجابة

T_out = 134,5 N·m

17.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 0,5855 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(40/0,7) = 7,559 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 7,559·√(0,08² − 0,02²) = 0,5855 m/s

الإجابة

v = 0,5855 m/s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 1,504 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(130/2,3) = 7,518 rad/s

أقصى سرعة

v_max = A·ω = 0,2·7,518 = 1,504 m/s

الإجابة

v_max = 1,504 m/s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,3004

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·25) = 632,5 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 190/632,5 = 0,3004

الإجابة

ζ = 0,3004

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 6,397 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 20 + 15 = 35 kN/m

k_eq = 35·30/(35 + 30) = 16,15 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(16154/10) = 40,19 rad/s

f_n = 40,19/(2π) = 6,397 Hz

الإجابة

f_n = 6,397 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics