الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 72 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 7,5 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 72 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 12 m/s من حافة سطح يرتفع 15 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 12 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

كتلتان مقدارهما 6,5 kg و 2,5 kg معلّقتان على جانبي بكرة خفيفة عديمة الاحتكاك، موصولتان بخيط خفيف. يُترك النظام من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 6,5 kgm₂ = 2,5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.قوانين نيوتنصعبة

يُدفع جسم فيبدأ الانزلاق إلى أعلى منحدر يميل 25° بسرعة 3,5 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². ما المسافة d التي ينزلقها على المنحدر قبل أن يتوقّف؟

v₀ = 3,5 m/sθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 75° فوق الأفق وتهبط على بعد 115 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

θ = 75°R = 115 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 60° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 25 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 32 m/sθ = 60°h = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.الحركة الدائريةمتوسطة

سيارة كتلتها 1400 kg تمرّ فوق قمة نتوء في الطريق بسرعة 18 m/s. قمة النتوء قوس دائري نصف قطره 50 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها الطريق على السيارة عند القمة.

m = 1400 kgv = 18 m/sr = 50 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1,3 kg مربوطة بخيط طوله 1,3 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 5 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.

m = 1,3 kgr = 1,3 mv = 5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 50 km/h على طريق مستوٍ تكبح بقوة وتنزلق حتى تتوقّف وعجلاتها مقفلة. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,5. أوجد مسافة التوقّف d.

v = 50 km/hμ = 0,5g = 9,81 m/s²

d = m

10.الشغل والطاقةصعبة

عربة كتلتها 1 kg تُترك من السكون على ارتفاع 6,4 m على مسار أملس يؤدي إلى حلقة دائرية رأسية نصف قطرها 2 m. أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.

m = 1 kgh = 6,4 mR = 2 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 4 kg يتحرك بسرعة 10 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 1,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 4 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

سيارة كتلتها 1300 kg تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 900 kg. يلتحم الحطامان وينزلقان 4 m قبل التوقّف. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,7. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة السيارة الأولى v₁ قبيل التصادم.

m₁ = 1300 kgm₂ = 900 kgd = 4 mμ = 0,7g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

قضيب نحيف منتظم كتلته 1 kg وطوله 1,7 m مثبَّت بمسمار عند أحد طرفيه ومُمسَك أفقيًا. يُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارعه الزاوي α مباشرةً بعد تركه.

m = 1 kgL = 1,7 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل أسطوانة مصمتة يتدحرج دون انزلاق على منحدر يميل 15° عن الأفق. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع مركزه a.

θ = 15°I = ½·m·r²g = 9,81 m/s²

a = m/s²

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

عمودان متوازيان المسافة بينهما 135 mm. يجب وصلهما بزوج من التروس المستقيمة بموديول 3 mm وتخفيض سرعة 4 : 1. كم سنًّا N₂ يجب أن يكون للترس الكبير؟

a = 135 mmm = 3 mmi = 4

N₂ =

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (50 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 2900 rpm الترسَ B (60 سنًّا). الترس C (25 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (60 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 2900 rpmA = 50B = 60C = 25D = 60

n_out = rpm

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 1,7 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 1,7 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.النوابض والبندولاتصعبة

رصاصة كتلتها 10 g تتحرّك بسرعة 100 m/s تصطدم بكتلة مقدارها 1,5 kg ساكنة على سطح أملس وتستقر فيها. الكتلة موصولة بنابض أفقي k = 1800 N/m. أوجد سعة الاهتزاز الناتج A بوحدة cm.

m = 10 gv = 100 m/sM = 1,5 kgk = 1800 N/m

A = cm

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 150 kg على نابض جساءته 150 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,5. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 150 kgk = 150 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 5 kN/m والسفلي k₂ = 80 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 25 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 26,67 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·7,5) = 26,67 m

الإجابة

s = 26,67 m

2.علم الحركة

الإجابة: t = 3,357 s

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−15 = 12·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 12·t − 15 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (12 + √(12² + 2·9,81·15))/9,81 = 3,357 s

الإجابة

t = 3,357 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 35,42 N

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

التسارع

القوة الدافعة المحصّلة هي الفرق بين الوزنين؛ وهي تحرّك الكتلة الكلية.

a = (6,5 − 2,5)·9,81/(6,5 + 2,5) = 4,36 m/s²

الشدّ من الكتلة الأخف

T − m₂·g = m₂·a → T = 2,5·(9,81 + 4,36) = 35,42 N

الإجابة

T = 35,42 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: d = 1,216 m

التباطؤ

القوتان تتجهان إلى أسفل المنحدر؛ وتُختصر الكتلة.

a = 9,81·(sin 25° + 0,1·cos 25°) = 5,035 m/s²

المسافة

d = v₀²/(2a) = 3,5²/(2·5,035) = 1,216 m

الإجابة

d = 1,216 m

5.حركة المقذوفات

الإجابة: v₀ = 47,5 m/s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّ صيغة المدى لإيجاد v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·115/sin 150°) = 47,5 m/s

الإجابة

v₀ = 47,5 m/s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 6,441 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 60° = 16 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 60° = 27,71 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 25 + 27,71·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (27,71 + √(768 + 490,5))/9,81 = 6,441 s

الإجابة

t = 6,441 s

7.الحركة الدائرية

الإجابة: N = 4662 N

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

القوى عند القمة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأسفل) موجب.

m·g − N = m·v²/r

N = 1400·9,81 − 1400·18²/50 = 13734 − 9072 = 4662 N

الإجابة

N = 4662 N

تبدو السيارة أخفّ: يدفعها الطريق إلى الأعلى بأقل من وزنها.

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T = 37,75 N

القوى عند أدنى نقطة

الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,3·9,81 + 1,3·5²/1,3 = 12,75 + 25 = 37,75 N

الإجابة

T = 37,75 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 19,66 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

السرعة بالوحدات الأساسية

v = 50/3,6 = 13,89 m/s

موازنة الطاقة

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 13,89²/(2·0,5·9,81) = 19,66 m

الإجابة

d = 19,66 m

مضاعفة السرعة تجعل مسافة التوقّف أطول بأربع مرات.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: N = 13,73 N

السرعة عند القمة

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(6,4 − 4) = 47,09 m²/s²

القوى عند القمة

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

N = mv²/R − mg = 1·47,09/2 − 9,81 = 13,73 N

الإجابة

N = 13,73 N

تكمل العربة الحلقة بالكاد عندما h = 2,5R؛ وعندئذٍ N = 0 عند القمة.

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = 4,545 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (4 − 1,5)/(4 + 1,5)·10 = 4,545 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 1,5)·10 = 14,55 m/s

الإجابة

v′₁ = 4,545 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v₁ = 12,54 m/s

السرعة بعد التصادم

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,7·9,81·4) = 7,412 m/s

كمية الحركة في التصادم

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2200·7,412/1300 = 12,54 m/s

الإجابة

v₁ = 12,54 m/s

(45,16 km/h)

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: α = 8,656 rad/s²

الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.

العزوم حول المسمار

لحظة الترك ω = 0، لذا لا يوجد تسارع مركزي ويتسارع المركز رأسيًا إلى الأسفل.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1,7) = 8,656 rad/s²

الإجابة

α = 8,656 rad/s²

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: a = 1,693 m/s²

التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.

معادلات الحركة

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,5·m·r²·(a/r) → f = 0,5·m·a

التسارع

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 15°/1,5 = 1,693 m/s²

الإجابة

a = 1,693 m/s²

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N₂ = 72

هندسة التروس: الموديول m يحدّد حجم السن. الترس ذو N سنًّا قطر خطوته d = m·N، والترسان المتعشّقان لهما الموديول نفسه، والمسافة بين مركزيهما a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. سرعة خط الخطوة v = π·d·n/60، وقوة السن المماسية تُستنتج من العزم: F_t = 2T/d.

العدد الكلي للأسنان

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·135/3 = 90

قسّم وفق النسبة

N₁ = 90/(1 + 4) = 18

N₂ = 4·18 = 72

الإجابة

N₂ = 72

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 1007 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 2900·50/60 = 2417 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 2417·25/60 = 1007 rpm

الإجابة

n_out = 1007 rpm

النسبة الكلية = 2,88 : 1

17.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 2,616 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(1,7/9,81) = 2,616 s

الإجابة

T = 2,616 s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: A = 1,918 cm

السرعة بعد الاصطدام

V = m·v/(m + M) = 0,01·100/1,51 = 0,6623 m/s

التردد الزاوي

ω = √(k/(m + M)) = √(1800/1,51) = 34,53 rad/s

السعة

A = V/ω = 0,6623/34,53 = 0,01918 m = 1,918 cm

الإجابة

A = 1,918 cm

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 4,359 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(150000/150) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,5²) = 4,359 Hz

الإجابة

f_d = 4,359 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 2,184 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/5 + 1/80 → k_eq = 5·80/(5 + 80) = 4,706 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(4706/25) = 13,72 rad/s

f_n = 13,72/(2π) = 2,184 Hz

الإجابة

f_n = 2,184 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics