الديناميكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

دوران الجسم الجاسئ

عزوم القصور الذاتي حول G: القضيب mL²/12، القرص ½mR²، الحلقة mR²، الكرة المصمتة (2/5)mR²، الكرة المجوّفة (2/3)mR²
نظرية المحور الموازي: I = I_G + m·d²
نصف قطر الدوران: I = m·k²
القضيب حول طرفه: I = mL²/3
معادلة الحركة: ΣM = I·α
السرعة بوحدة rad/s: ω = 2π·n/60
الطاقة الحركية: E = ½·I·ω²
الشغل والقدرة: W = T·θ, P = T·ω
التدحرج دون انزلاق: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
كمية الحركة الزاوية: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
الاصطدام حول محور ارتكاز: m·v·d = I·ω

الطريقة

اختر المحور: محور ارتكاز ثابت، أو مركز الكتلة للأجسام المتدحرجة.
أوجد عزم القصور الذاتي حول ذلك المحور من النتائج القياسية، مستخدمًا I = I_G + m·d² للمحور المزاح.
اختر الطريقة: ΣM = I·α للتسارعات والقوى، والطاقة (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) للسرعات، وكمية الحركة الزاوية للاصطدامات والتغيّرات المفاجئة.
اربط الحركة الخطية بالحركة الزاوية بالعلاقتين v = ω·r وa = α·r، وحوّل rpm إلى rad/s.

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 100 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 3 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 100 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

يبدأ ترام من السكون ويتسارع بمقدار 3 m/s² لمدة 7 s، ثم يسير بسرعة ثابتة لمدة 15 s، وأخيرًا يكبح بمقدار 4 m/s² حتى يتوقّف. أوجد زمن الرحلة الكلي t.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 7 st₂ = 15 sa₃ = −4 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق صندوق على أرضية مستوية بسرعة ابتدائية 8 m/s ويتوقّف بعد 22 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معامل الاحتكاك الحركي μ.

v₀ = 8 m/sd = 22 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 4 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 4,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 4 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 40° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد أقصى ارتفاع H تبلغه الكرة.

v₀ = 34 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

H = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 18 m/s وبزاوية 60° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 40 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى ارتفاع H فوق الأرض عند أسفل الجرف.

v₀ = 18 m/sθ = 60°h = 40 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 95 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 95 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

منعطف نصف قطره 180 m مائل بزاوية 20°، ومعامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,4. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أعلى سرعة v_max يمكن لسيارة أن تسلك بها المنعطف دون أن تنزلق إلى الأعلى والخارج.

r = 180 mθ = 20°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 5 kg مسافة 8 m على منحدر يميل بزاوية 40° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,2. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 5 kgθ = 40°μ = 0,2d = 8 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

جسم كتلته 2 kg يستقر على طاولة أفقية خشنة (μ = 0,3). يمتدّ منه خيط خفيف فوق بكرة ملساء عند حافة الطاولة إلى جسم معلّق كتلته 5 kg. يُترك النظام من السكون. أوجد سرعة الجسمين v بعد أن يهبط الجسم المعلّق 2 m.

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgμ = 0,3d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

قذيفة كتلتها 20 kg تتحرّك أفقيًا بسرعة 6 m/s تنفجر إلى شظيتين تتحرّكان على الخط نفسه. تواصل الشظية ذات الكتلة 9 kg إلى الأمام بسرعة 61 m/s. أوجد سرعة v′₂ الشظية ذات الكتلة 11 kg (موجبة في الاتجاه الأصلي).

M = 20 kgu = 6 m/sm₁ = 9 kgv′₁ = 61 m/sm₂ = 11 kg

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 12 g أفقيًا في كتلة مقدارها 2 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 0,6 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 25° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 12 gM = 2 kgL = 0,6 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.دوران الجسم الجاسئمتوسطة

حدّافة عزم قصورها الذاتي 10 kg·m² تدور بسرعة 2700 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 175 N·m. كم من الوقت t تستغرق حتى تتوقّف؟

I = 10 kg·m²n = 2700 rpmT_b = 175 N·m

t = s

14.دوران الجسم الجاسئصعبة

جسم على شكل طوق رقيق كتلته 15 kg يتدحرج دون انزلاق بسرعة 6,5 m/s. أوجد طاقته الحركية الدورانية E_rot.

m = 15 kgv = 6,5 m/sI = m·r²

E_rot = J

15.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

دودة لها 1 مدخل (مداخل) تدور بسرعة 2900 rpm وتدير عجلة دودية لها 80 سنًّا. أوجد سرعة العجلة n_w.

z = 1N_w = 80n = 2900 rpm

n_w = rpm

16.التروس ومجموعات التروسصعبة

محرّك قدرته 1,1 kW بسرعة 1450 rpm يدير الترس A (12 سنًّا)، الذي يتعشّق مع الترس B (25 سنًّا). الترس C (25 سنًّا) على عمود B نفسه يدير الترس D (45 سنًّا) على عمود الخرج. كفاءة كل تعشيق 95%. أوجد عزم الخرج T_out.

P = 1,1 kWn_in = 1450 rpmA = 12B = 25C = 25D = 45η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 0,3 kg على نابض k = 90 N/m تُسحب 4 cm في الاتجاه الموجب وتُترك من السكون عند t = 0. أوجد سرعتها v عند t = 1,25 s (مع الإشارة).

m = 0,3 kgk = 90 N/mA = 4 cmt = 1,25 s

v = m/s

18.النوابض والبندولاتصعبة

تُربط كتلة مقدارها 2,5 kg بالطرف السفلي لنابض رأسي غير ممطوط k = 190 N/m وتُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر سرعة v_max للكتلة.

m = 2,5 kgk = 190 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 10 kg على نابض جساءته 200 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,45. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 10 kgk = 200 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

20.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 100 kN/m و k₂ = 30 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 25 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 128,6 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·3) = 128,6 m

الإجابة

s = 128,6 m

2.علم الحركة

الإجابة: t = 27,25 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

السرعة القصوى

v = a₁·t₁ = 3·7 = 21 m/s

زمن الكبح

t₃ = v/a₃ = 21/4 = 5,25 s

الزمن الكلي

t = 7 + 15 + 5,25 = 27,25 s

الإجابة

t = 27,25 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: μ = 0,1483

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

التباطؤ

a = v₀²/(2d) = 8²/(2·22) = 1,455 m/s²

معامل الاحتكاك

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,455/9,81 = 0,1483

الإجابة

μ = 0,1483

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 22,85 N

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 3,924)/8,5 = 4,732 m/s²

قوة الشد من الجسم الموجود على الطاولة

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·4,732 + 3,924 = 22,85 N

الإجابة

T = 22,85 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 24,34 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 40° = 26,05 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 40° = 21,85 m/s

أعلى نقطة

في القمة تكون السرعة الرأسية صفرًا: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 21,85²/(2·9,81) = 24,34 m

الإجابة

H = 24,34 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 52,39 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

سرعة القذف الرأسية

v_y = 18·sin 60° = 15,59 m/s

الارتفاع فوق الجرف

Δh = v_y²/(2g) = 15,59²/(2·9,81) = 12,39 m

الارتفاع فوق الأرض

H = 40 + 12,39 = 52,39 m

الإجابة

H = 52,39 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 21,59 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·95) = 21,59 m/s

الإجابة

v_max = 21,59 m/s (77,71 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 39,74 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

موازنات القوى

يتجه الاحتكاك إلى أسفل المنحدر.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

السرعة

v = √(180·9,81·0,7179/0,8029) = 39,74 m/s

الإجابة

v_max = 39,74 m/s

(143 km/h)

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 60,12 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 49,05·0,766 = 37,57 N

F = μN = 0,2·37,57 = 7,515 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 7,515·8 = 60,12 J

الإجابة

W_f = 60,12 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 4,966 m/s

الطاقة المحرَّرة والمفقودة

m₂g·d = 49,05·2 = 98,1 J

μ·m₁g·d = 0,3·19,62·2 = 11,77 J

الطاقة الحركية للجسمين

½(m₁ + m₂)v² = 86,33 → v = √(2·86,33/7) = 4,966 m/s

الإجابة

v = 4,966 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = −39 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

كمية الحركة قبل التصادم

p = M·u = 20·6 = 120 kg·m/s

كمية الحركة بعد التصادم

120 = 9·61 + 11·v′₂

v′₂ = (120 − 549)/11 = −39 m/s

الإجابة

v′₂ = −39 m/s

إشارة السالب تعني أن الشظية الثانية تطير إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 176,1 m/s

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 0,6·(1 − cos 25°) = 0,05622 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,05622) = 1,05 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 2,012·1,05/0,012 = 176,1 m/s

الإجابة

v = 176,1 m/s

13.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: t = 16,16 s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

السرعة الزاوية

ω = 2π·2700/60 = 282,7 rad/s

التباطؤ والزمن

α = T_b/I = 175/10 = 17,5 rad/s²

t = ω/α = 282,7/17,5 = 16,16 s

الإجابة

t = 16,16 s

14.دوران الجسم الجاسئ

الإجابة: E_rot = 316,9 J

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

الجزآن الانتقالي والدوراني

E_trans = ½·m·v² = ½·15·6,5² = 316,9 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·316,9 = 316,9 J

الإجابة

E_rot = 316,9 J

15.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_w = 36,25 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العجلة

n_w = n·z/N_w = 2900·1/80 = 36,25 rpm

الإجابة

n_w = 36,25 rpm

16.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T_out = 24,52 N·m

سرعة الخرج

n_out = 1450·(12/25)·(25/45) = 386,7 rpm

ω_out = 2π·386,7/60 = 40,49 rad/s

قدرة الخرج والعزم

P_out = 1100·0,95² = 992,8 W

T_out = P_out/ω_out = 992,8/40,49 = 24,52 N·m

الإجابة

T_out = 24,52 N·m

17.النوابض والبندولات

الإجابة: v = −0,2314 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(90/0,3) = 17,32 rad/s

ω·t = 17,32·1,25 = 21,65 rad

السرعة المتجهة

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,04·17,32·sin(21,65) = −0,2314 m/s

الإجابة

v = −0,2314 m/s

18.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 1,125 m/s

الاتزان والسعة

x₀ = m·g/k = 2,5·9,81/190 = 0,1291 m = A

أكبر سرعة

تكون السرعة أكبر ما يمكن عند موضع الاتزان.

ω = √(190/2,5) = 8,718 rad/s

v_max = A·ω = 0,1291·8,718 = 1,125 m/s

الإجابة

v_max = 1,125 m/s

19.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 20,1 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(200000/10) = 141,4 rad/s

f_n = 141,4/(2π) = 22,51 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 22,51·√(1 − 0,45²) = 20,1 Hz

الإجابة

f_d = 20,1 Hz

20.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 11,48 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 30 = 130 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(130000/25) = 72,11 rad/s

f_n = 72,11/(2π) = 11,48 Hz

الإجابة

f_n = 11,48 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics