أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
تحتاج طائرة إلى سرعة 200 km/h للإقلاع وطول المدرج المتاح 2400 m. بدءًا من السكون، ما التسارع الثابت a الذي تحتاجه؟
تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 5 m/s من حافة سطح يرتفع 10 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.
ينزلق جسم كتلته 11 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 40° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,25. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.
يُدفع جسم فيبدأ الانزلاق إلى أعلى منحدر يميل 35° بسرعة 5,5 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². ما المسافة d التي ينزلقها على المنحدر قبل أن يتوقّف؟
تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 22 m/s ويجب أن تهبط على بعد 30 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.
تُقذف كرة بزاوية 55° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 20 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.
تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 120 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة vmax يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.
كرة كتلتها 0,9 kg مربوطة بخيط طوله 0,5 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة تتحرك بسرعة 6,5 m/s. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط عند أدنى نقطة.
سيارة كتلتها 1000 kg تصعد منحدرًا بزاوية 4° بسرعة ثابتة 90 km/h. مقاومة الهواء ومقاومة التدحرج معًا تبلغان 600 N. أوجد القدرة P التي يجب أن تعطيها العجلات، بوحدة kW.
يُترك جسم كتلته 10 kg من السكون على ارتفاع 5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 5 m (μ = 0,25) ثم يصطدم بنابض (k = 800 N/m) على سطح أملس. أوجد سرعة v الجسم عندما يصل إلى النابض.
منزلق كتلته 3,5 kg يتحرك بسرعة 5 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 4,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′1 بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).
كرة كتلتها 0,1 kg تصطدم بجدار بسرعة 21 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 10 m/s. يدوم التلامس 20 ms. أوجد متوسط القوة Favg التي يؤثر بها الجدار على الكرة.
حدّافة عزم قصورها الذاتي 33,5 kg·m² تدور بسرعة 1200 rpm. يؤثّر مكبح بعزم احتكاك ثابت 135 N·m. كم من الوقت t تستغرق حتى تتوقّف؟
يقف شخص على قرص دوّار عديم الاحتكاك ويمسك ثقلًا يدويًا كتلته 2,5 kg في كل يد، على بعد 0,9 m من المحور. عزم القصور الذاتي للشخص والقرص الدوّار وحدهما 2 kg·m² حول المحور. يدوران بسرعة 40 rpm، ثم يسحب الثقلين إلى 0,3 m من المحور. عامل الثقلين ككتلتين نقطيتين. أوجد السرعة الجديدة n2 بوحدة rpm.
عمودان متوازيان المسافة بينهما 67,5 mm. يجب وصلهما بزوج من التروس المستقيمة بموديول 3 mm وتخفيض سرعة 2 : 1. كم سنًّا N1 يجب أن يكون للترس الصغير؟
يصل سير مفتوح بين بكرة قطرها 120 mm وبكرة قطرها 500 mm والمسافة بين مركزيهما 1000 mm. أوجد زاوية الالتفاف θ على البكرة الأصغر بالدرجات.
يجد رائد فضاء على كوكب آخر أن بندولًا بسيطًا طوله 1,7 m زمنه الدوري 2,75 s للتأرجحات الصغيرة. أوجد تسارع الجاذبية g على ذلك الكوكب.
كتلة مقدارها 1,2 kg على نابض k = 400 N/m تُسحب 17 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى تسارع لها amax.
كتلة 5 kg على نابض جساءته 40 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,5. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد fd لاهتزازها الحر بالـ Hz.
كتلة 20 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 25 kN/m و k₂ = 40 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي fn للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.
الإجابة: a = 0,643 m/s²
الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.
الإجابة: t = 2,026 s
الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.
الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.
الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.
الإجابة: a = 4,427 m/s²
قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.
الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.
الإجابة: d = 2,091 m
قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.
القوتان تتجهان إلى أسفل المنحدر؛ وتُختصر الكتلة.
الإجابة: θ = 18,72 °
حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = vxt و y = h + vyt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.
الحل الآخر 90° − θ = 71,28°.
الإجابة: t = 4,29 s
حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = vxt و y = h + vyt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.
السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.
حلّ y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.
الإجابة: vmax = 24,26 m/s
الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.
الإجابة: T = 84,88 N
الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.
الاتجاه نحو المركز (إلى الأعلى) موجب.
الإجابة: P = 32,11 kW
مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d). القدرة هي القوة مضروبة في السرعة: P = F·v.
الإجابة: v = 8,578 m/s
مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).
المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.
الإجابة: v′1 = −0,625 m/s
حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.
حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.
الإشارة السالبة تعني أن المنزلق الأول يرتد إلى الخلف.
الإجابة: Favg = 155 N
حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.
الإجابة: t = 31,18 s
الدوران حول محور ثابت: مجموع العزوم حول المحور يساوي I·α (ΣM = I·α)، تمامًا كما ΣF = m·a في الانتقال. وبصيغة الطاقة، العزم T الذي يدير بزاوية θ (بالراديان) يبذل شغلًا T·θ، يغيّر الطاقة الحركية ½·I·ω²؛ والجاذبية تضيف أو تنزع m·g·Δh لمركز الكتلة. القدرة P = T·ω.
الإجابة: n2 = 98,78 rpm
التدحرج وكمية الحركة الزاوية: الجسم المتدحرج دون انزلاق له v = ω·r، لذا طاقته الحركية ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). وعلى منحدر يعطي ذلك a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). عندما لا يؤثّر عزم خارجي حول محور، تبقى كمية الحركة الزاوية حول ذلك المحور ثابتة، I₁·ω₁ = I₂·ω₂، حتى لو فُقدت طاقة حركية.
تزداد الطاقة الحركية: الطاقة الإضافية تأتي من الشغل الذي يبذله الشخص لسحب الثقلين.
الإجابة: N1 = 15
هندسة التروس: الموديول m يحدّد حجم السن. الترس ذو N سنًّا قطر خطوته d = m·N، والترسان المتعشّقان لهما الموديول نفسه، والمسافة بين مركزيهما a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. سرعة خط الخطوة v = π·d·n/60، وقوة السن المماسية تُستنتج من العزم: Ft = 2T/d.
الإجابة: θ = 158,1 °
نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = eμθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.
الإجابة: g = 8,874 m/s²
الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².
الإجابة: amax = 56,67 m/s²
الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².
الإجابة: fd = 12,33 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
الإجابة: fn = 9,073 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics