الرياضيات الهندسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
القسمة: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

المصفوفات والمحددات

محدد 2×2: det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
المنتج: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
القيم الذاتية: det(A − λI) = 0
قاعدة كرامر: x_i = det(A_i)/det(A)

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (√(4x² − 8x) − 2x).

f(x) = √(4x² − 8x) − 2xx → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(5x)، مع x بالراديان.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(5x)x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = ln(2x² + 1). أوجد f′(1).

f(x) = ln(2x² + 1)x = 1

f′(1) =

4.المشتقاتصعبة

المماس لـ f(x) = 3x² + 3x − 4 عند x = 3 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = 3x² + 3x − 4x = 3

b =

5.التكاملاتمتوسطة

تُدوَّر المنطقة تحت y = 2x من x = 0 إلى x = 1 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مخروط).

y = 2x0 ≤ x ≤ 1

V =

6.التكاملاتصعبة

احسب I = ∫₀² x²·eˣ dx.

∫₀² x²eˣ dx

I =

7.الأعداد المركبةمتوسطة

اكتب z = 4∠50° بالصيغة الديكارتية a + jb وأعطِ الجزء الحقيقي a.

r = 4θ = 50°

a =

8.الأعداد المركبةصعبة

جذور zⁿ = w مع n = 3 و w = 64∠60° هي z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)، k = 0, 1, 2. جد سعة z₁ بالدرجات، بين −180° و180°.

w = 64∠60°n = 3k = 1

θ₁ = °

9.المعادلات التفاضليةمتوسطة

حلّ y″ + 7y′ + 12y = 0 مع y(0) = 4 وy′(0) = 6. أوجد y(1).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 4y′(0) = 6

y(1) =

10.المعادلات التفاضليةصعبة

يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 29y = 29 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى y_max لاستجابته للدخل الدرجي.

y″ + 4y′ + 29y = 29y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.المصفوفات والمحدداتمتوسطة

أوجد المحدد det A للمصفوفة A ذات 3×3 المعروضة.

A = [4 −2 −5; 4 3 −4; −2 0 4]

det A =

12.المصفوفات والمحدداتصعبة

أوجد القيمة الذاتية الأكبر λ للمصفوفة A المعروضة.

A = [−3 1; −2 0]

λ =

13.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

تؤثّر قوة ثابتة F = (−30, −25, 0) N على جسم بينما يتحرّك في خط مستقيم من النقطة A(3, −3, −1) إلى النقطة B(2, 0, 4). الإحداثيات بالمتر. أوجد الشغل W الذي تبذله القوة.

F = (−30, −25, 0) NA(3, −3, −1) mB(2, 0, 4) m

W = J

14.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

متّجه الوحدة n̂ عمودي على a = (−2, 4, −3) و b = (0, 5, −4) كليهما وله مركّبة z موجبة. أوجد مركّبته y n̂_y.

a = (−2, 4, −3)b = (0, 5, −4)n̂_z > 0

n̂_y =

15.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 4 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 4

P =

16.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 5 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,2، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 4 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 5p = 0,2k = 4

P =

17.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 38, 40, 60, 17, 14, 28, 46.

n = 7

s =

18.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 8. ما نسبة P القيم الأقل من 116؟

μ = 100σ = 8x = 116

P =

19.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل الصناديق مستقلة وطبيعية بمتوسط 12 kg وانحراف معياري 0,8 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 12 منها عن 145,4 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12< 145.4 kg

P =

20.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 5% منها (المئين 5).

μ = 100σ = 15P = 5%

x = درجة

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = −2

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

اضرب في المرافق

f(x) = −8x/(√(4x² − 8x) + 2x)

اقسم على x

f(x) = −8/(√(4 + (−8)/x) + 2)

اجعل x → ∞

L = −8/(2 + 2) = −2

الإجابة

L = −2

2.النهايات

الإجابة: L = 0,6

قاعدة لوبيتال

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[5·cos 5x]

عوّض x = 0

L = 3/5 = 0,6

الإجابة

L = 0,6

3.المشتقات

الإجابة: f′(1) = 1,333

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة للوغاريتم

f′(x) = 4x/(2x² + 1)

عوّض

f′(1) = 4/3 = 1,333

الإجابة

f′(1) = 1,333

4.المشتقات

الإجابة: b = −31

النقطة والميل

f(3) = 32

f′(x) = 6x + 3 → f′(3) = 21

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 32 − 21·3 = −31

الإجابة

b = −31

5.التكاملات

الإجابة: V = 4,189

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

طريقة الأقراص

V = π∫₀¹ 4x² dx

كامل

V = π·4·1³/3 = 4,189

الإجابة

V = 4,189

تحقق: للمخروط الذي نصف قطره 2 وارتفاعه 1 الحجم (1/3)πr²h = 4,189.

6.التكاملات

الإجابة: I = 12,78

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

الجولة الأولى

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

الجولة الثانية

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

النهايات

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

الإجابة

I = 12,78

7.الأعداد المركبة

الإجابة: a = 2,571

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

المركّبات

a = 4·cos(50°) = 2,571

b = 4·sin(50°) = 3,064

الصيغة الديكارتية

z = 2,571 + j3,064

a = 2,571

الإجابة

a = 2,571

8.الأعداد المركبة

الإجابة: θ₁ = 140 °

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R^1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

طويلة الجذور

64^1/3 = 4

سعة الجذر

θ₁ = (60° + 360°·1)/3 = 140°

السعة

θ₁ = 140°

الإجابة

θ₁ = 140°

تقع الجذور الـ 3 على دائرة نصف قطرها 4، تفصل بين كل جذرين زاوية 120°.

9.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(1) = 0,7656

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذور المميِّزة

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

الثابتان من القيم الابتدائية

A + B = 4, −3A − 4B = 6

A = 22, B = −18

احسب

y(1) = 22·e⁻³ + (−18)·e⁻⁴ = 0,7656

الإجابة

y(1) = 0,7656

10.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y_max = 1,285

القيمة المستقرة والجذور

y_ss = 1, r = −2 ± 5j

الثابتان من القيم الابتدائية

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −2A + 5B = 0 → B = −0,4

الذروة

t = π/5 = 0,6283

y_max = 1·(1 + e^−2·π/5) = 1,285

الإجابة

y_max = 1,285

11.المصفوفات والمحددات

الإجابة: det A = 34

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

مصغّرات 2×2 للصف الأول

M₁₁ = 12, M₁₂ = 8, M₁₃ = 6

النشر بالمعاملات المرافقة

det A = 4·12 − (−2)·8 + (−5)·6 = 34

الإجابة

det A = 34

12.المصفوفات والمحددات

الإجابة: λ = −1

المعادلة المميزة

λ² − (−3)λ + (2) = 0

الحل

λ = (−3 ± √(1))/2 → λ = −2, −1

λ = −1

الإجابة

λ = −1

13.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: W = −45 J

الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

الإزاحة

d = B − A = (2, 0, 4) − (3, −3, −1) = (−1, 3, 5) m

الشغل

W = F·d = (−30)·(−1) + (−25)·3 + 0·5 = −45 J

الإجابة

W = −45 J

شغل سالب: القوة تؤثّر في الغالب عكس الحركة.

14.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: n̂_y = 0,6228

الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو M_O = r × F، مع r = A − O.

الضرب الاتجاهي

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·(−4) − (−3)·5 = −1

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·0 − (−2)·(−4) = −8

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·5 − 4·0 = −10

التسوية إلى الوحدة

المركّبة z لـ a × b سالبة، لذا استخدم −(a × b).

|a × b| = √((−1)² + (−8)² + (−10)²) = 12,85

n̂ = −(−1, −8, −10)/12,85 = (0,07785, 0,6228, 0,7785)

n̂_y = 0,6228

الإجابة

n̂_y = 0,6228

15.الاحتمال

الإجابة: P = 0,5177

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

الإجابة

P = 0,5177

16.الاحتمال

الإجابة: P = 0,0064

صيغة ذي الحدين

P(X = 4) = 5·0,2⁴·0,8¹ = 5·0,0016·0,8 = 0,0064

الإجابة

P = 0,0064

17.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,3

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 243/7 = 34,71

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 3,286² + 5,286² + 25,29² + (−17,71)² + (−20,71)² + (−6,714)² + 11,29² = 1593

الانحراف المعياري

s = √(1593/6) = 16,3

الإجابة

s = 16,3

18.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9772

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

الإجابة

P = 0,9772

19.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,695

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 144 kg, σ_T = 0,8·√12 = 2,771 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (145,4 − 144)/2,771 = 0,51

الاحتمال

P = Φ(0,51) = 0,695

الإجابة

P = 0,695

20.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 75,33 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

العودة إلى x

x = 100 + −1,645·15 = 75,33 درجة

الإجابة

x = 75,33 درجة

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics