الرياضيات الهندسية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

الأعداد المركبة

الصيغة الديكارتية: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
القسمة: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

الطريقة

قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

المصفوفات والمحددات

محدد 2×2: det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
المنتج: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
القيم الذاتية: det(A − λI) = 0
قاعدة كرامر: x_i = det(A_i)/det(A)

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^2x. أعطِ قيمة عشرية.

f(x) = (1 − 1/x)^2xx → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(4x²)، مع x بالراديان.

f(x) = (1 − cos 5x)/(4x²)x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = x·e^x. أوجد f′(0,5).

f(x) = x·e^xx = 0,5

f′(0.5) =

4.المشتقاتصعبة

لتكن f(x) = x³ − 10,5x² + 36x. أوجد الإحداثي x x للقيمة الصغرى المحلية.

f(x) = x³ − 10,5x² + 36x

x =

5.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀¹ e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 1]

I =

6.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة بين القطع المكافئ y = 1 − x² والمحور x.

y = 1 − x²

A =

7.الأعداد المركبةمتوسطة

يُظهر المخطط z = 4 − j. مع w = 2∠90°، انقر على النقطة التي تمثل z·w.

z = 4 − jw = 2∠90°

1A (1 + j4)
2B (−2 − j8)
3C (8 − j2)
4D (2 + j8)

8.الأعداد المركبةصعبة

حلّ z² − 6z + 10 = 0. الجذران a ± jb؛ جد الجزء الحقيقي a.

p = −6q = 10

a =

9.المعادلات التفاضليةمتوسطة

حلّ y″ + 8y′ + 16y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = -1. أوجد y(1).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 5y′(0) = -1

y(1) =

10.المعادلات التفاضليةصعبة

يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 6,25y = 6,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.

y″ + 3y′ + 6,25y = 6,25y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

11.المصفوفات والمحدداتمتوسطة

لتكن C = AB للمصفوفتين المعروضتين. أوجد العنصر c₁₁ (الصف 1، العمود 1).

A = [−6 5; 0 3]B = [−2 3; −3 1]

c₁₁ =

12.المصفوفات والمحدداتصعبة

أوجد القيمة الذاتية الأكبر λ للمصفوفة A المعروضة.

A = [−2 −2; 1 −5]

λ =

13.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد الضرب القياسي a·b للمتّجهين a = (0, 7, 1) و b = (4, −7, −4).

a = (0, 7, 1)b = (4, −7, −4)

a·b =

14.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

للمتّجهين a = (4, 6, −6) و b = (−1, −2, 1)، أوجد المركّبة x (a × b)_x للضرب الاتجاهي a × b.

a = (4, 6, −6)b = (−1, −2, 1)

(a × b)_x =

15.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,3, 0,2, 0,1, 0,2

σ =

16.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 9 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,25، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 4 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 9p = 0,25k = 4

P =

17.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 38, 59, 15, 45, 60.

n = 5

s =

18.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 8. ما نسبة P القيم الأكبر من 63,6؟

μ = 70σ = 8x = 63,6

P =

19.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل الركاب مع أمتعتهم مستقلة وطبيعية بمتوسط 85 kg وانحراف معياري 12 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 12 منها عن 1103 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12< 1103 kg

P =

20.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,02 mm وانحراف معياري 0,015 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,01 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = 0,1353

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

خذ اللوغاريتم

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 1/x)

احسب

ln(1 + u)/u → 1 عندما u → 0، لذا x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·(−1) = −2

أزل اللوغاريتم

L = e⁻² = 0,1353

الإجابة

L = 0,1353

2.النهايات

الإجابة: L = 3,125

التطبيق الأول

5·sin 5x/(8x) → 0/0

التطبيق الثاني

25·cos 5x/8

عوّض x = 0

L = 25/8 = 3,125

الإجابة

L = 3,125

3.المشتقات

الإجابة: f′(0.5) = 2,473

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة الضرب

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(1 + 1·x)

عوّض

f′(0,5) = 1,649·(1 + 0,5) = 2,473

الإجابة

f′(0,5) = 2,473

4.المشتقات

الإجابة: x = 4

المشتقة

f′(x) = 3x² − 21x + 36 = 3·(x² − 7x + 12)

حُلّ f′(x) = 0

x = 3 أو x = 4

أيهما أي

f″(x) = 6x − 21: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(3) = −3, f″(4) = 3

x = 4

الإجابة

x = 4

5.التكاملات

الإجابة: I = 0,6321

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = e^−x/(−1)

عوّض الحدود

I = (e⁻¹ − 1)/(−1) = (0,3679 − 1)/(−1) = 0,6321

الإجابة

I = 0,6321

6.التكاملات

الإجابة: A = 1,333

الأصفار

1 − x² = 0 → x = ±1

كامل

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

الإجابة

A = 1,333

7.الأعداد المركبة

الإجابة: D (2 + j8)

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

أثر w

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + 90°

النقطة

z·w = 2 + j8 → D

الإجابة

D (2 + j8)

8.الأعداد المركبة

الإجابة: a = 3

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R^1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

المميِّز

p² − 4q = 36 − 40 = −4 < 0

قانون المعادلة التربيعية

z = (6 ± j√4)/2 = 3 + j, 3 − j

الإجابة

a = 3

الإجابة

a = 3

9.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(1) = 0,4396

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذر المضاعف

(r + 4)² = 0 → r = −4

الثوابت

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 4A → B = -1 + 20 = 19

احسب

y(1) = (5 + 19·1)·e⁻⁴ = 0,4396

الإجابة

y(1) = 0,4396

10.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(0.25) = 0,1497

القيمة المستقرة والجذور

y_ss = 1, r = −1,5 ± 2j

الثابتان من القيم الابتدائية

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1,5A + 2B = 0 → B = −0,75

احسب

y(0,25) = 1·(1 − e^−0,375(cos 0,5 + 0,75·sin 0,5)) = 0,1497

الإجابة

y(0,25) = 0,1497

11.المصفوفات والمحددات

الإجابة: c₁₁ = −3

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

صف في عمود

c₁₁ = (−6)·(−2) + 5·(−3) = −3

الإجابة

c₁₁ = −3

12.المصفوفات والمحددات

الإجابة: λ = −3

المعادلة المميزة

λ² − (−7)λ + (12) = 0

الحل

λ = (−7 ± √(1))/2 → λ = −4, −3

λ = −3

الإجابة

λ = −3

13.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: a·b = −53

الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

اضرب المركّبات المتناظرة واجمع

a·b = 0·4 + 7·(−7) + 1·(−4) = 0 + (−49) + (−4) = −53

الإجابة

a·b = −53

سالب: الزاوية بين المتّجهين أكبر من 90°.

14.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: (a × b)_x = −6

الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو M_O = r × F، مع r = A − O.

الضرب الاتجاهي، مركّبةً مركّبة

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 6·1 − (−6)·(−2) = −6

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−6)·(−1) − 4·1 = 2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·(−2) − 6·(−1) = −2

المركّبة المطلوبة

(a × b)_x = −6

الإجابة

(a × b)_x = −6

تحقّق: a × b عمودي على المتّجهين كليهما، لذا ضربه القياسي مع a ومع b صفر.

15.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,4

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,2 + 1·0,3 + 2·0,2 + 3·0,1 + 4·0,2 = 1,8

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,3 + 4·0,2 + 9·0,1 + 16·0,2 = 5,2

التباين

Var(X) = 5,2 − 1,8² = 1,96

σ = √1,96 = 1,4

الإجابة

σ = 1,4

16.الاحتمال

الإجابة: P = 0,1168

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 4) = 126·0,25⁴·0,75⁵ = 126·0,003906·0,2373 = 0,1168

الإجابة

P = 0,1168

17.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 18,42

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 217/5 = 43,4

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−5,4)² + 15,6² + (−28,4)² + 1,6² + 16,6² = 1357

الانحراف المعياري

s = √(1357/4) = 18,42

الإجابة

s = 18,42

18.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,7881

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −0,8

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

19.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9772

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 1020 kg, σ_T = 12·√12 = 41,57 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (1103 − 1020)/41,57 = 2

الاحتمال

P = Φ(2) = 0,9772

الإجابة

P = 0,9772

20.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8665

توزيع الفرق

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665

الإجابة

P = 0,8665

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics